浙教版数学八年级下册第4章平行四边形教案（12课时）

第4章平行四边形
4.1
多边形（1）
教学目标：
1.理解多边形的有关概念.
2.掌握四边形内角和定理的证明及简单应用.
3.体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想.
教学重点和难点：
重点：四边形内角和定理.
难点：由于四边形内角和定理的证明思路学生不易形成，是数学转化思想的应用.
教学过程：
一、新课引入
目前，整个社会的经济有了很大发展，许多家庭的地面都铺上了地砖、木板，不知同学们有没有仔细看过这些地砖的图形是如何构造，它们有什么特征.这一章我们将学习多边形的有关性质.
二、讲解新课
1、生活中的四边形寻找：
小明家有一间木材加工场，发现有很多余料，你能从图中找出你所熟悉的图形吗?
2、生活中的四边形举例，如图：
等.
3、四边形及其有关概念.
在同一个平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形.结合图形讲解四边形、四边形的边、顶点、角.强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写.如图，可表示为四边形ABCD或四边形ADCB.
4、适当解释空间四边形和凸四边形与凹四边形（结合下图）的概念和区别：
凸四边形：四边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧.
凹四边形：四边形的各条边不都在任意一条边所在直线的同一侧.
5、四边形内角和定理
（1）让学生在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）.或让学生利用拼图的方法（如图），通过实验、观察、猜想得到：四边形的内角和为3600
.
或
让学生根据猜想得到的命题，画图、写出已知、求证.
（2）利用手中的一副三角板拼出四边形.
已知：四边形ABCD；求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
证明：连结BD
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°（
）
∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°
即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°
由于学生有前面的铺垫，添辅助线对于学生来说并不难，因此本题在解决中要注意采用多种思维的思考，及题后的小结，当然对这个命题的证明，也可作如下启发或小结：
①我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？②能否把问题化归为三角形来解决？这样可以使学生对证明思路的转化更有体会.
（3）学生小组合作探讨出其他至少两种方法：
要求有恰当的图形，并简单地叙述解答的思路.
（以上的8种方法均为学生探讨所得(预设)，教师只做适当补充）
6、推导四边形的外角和定理
在图（2）中分别画出以A、B、C、D为顶点的一个外角，记作∠2，∠3，∠4，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值.
猜想并证明四边形的四个外角和等于360°.
解：∵∠1+∠α=∠2+∠β=∠3+∠γ=∠4+∠δ=180°
∴∠1+∠α+∠2+∠β+∠3+∠γ+∠4+∠δ=4×180°=720°
即：(∠1+∠2+∠3+∠4)+(∠α+∠β+∠γ+∠δ)=720°
∵∠α+∠β+∠γ+∠δ=360°(根据四边形的内角和是360°)
∴∠1+∠2+∠3+∠4=720°－360°=360°
7、例题讲解
例1、如图，四边形风筝的四个内角∠A，
∠B，
∠C，∠D的度数之比为1：1：0.6：1
.
求它的四个内角的度数.
分析：有了前面练习的经验，对于学生而言，本例的解答应该不成困难，所以可以放手让学生自行解决，教师只需要注意学生在解答中的不足及对学生能够进行恰当的小结即可.
解：∵∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1：1：0.6：1，∴可设∠A=x，则∠B=∠D=
x，∠C=0.6
x；又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴x+
x+
0.6x+
x=360°，∴x=100
∴∠A=∠B=∠D=100°∠C=100×0.6
=60°
注意：本例在知识上主要是两个方面的应用，①四边形的内角和，②比例的转化.
（补充）例2、在四边形ABCD中，已知∠A与∠C互补，∠B比∠D大15°，求∠B、∠D的度数.
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D=180°①
又∵∠B－∠D=15°②
由①、②得∠B=97.5°，∠D=82.5°
注意：当四边形的四个内角中有两个角互补时，另两个角也互补.这个结论也可让学生记一记.
三、课堂小结
1.四边形的概念.通过与三角形的类比，得到四边形了有关概念.
2.四边形的内角和定理与四边形外角和定理.
3.四边形的内角和等于360°，外角和也等于360°.
4.把四边形的问题转化成三角形问题来求，数学常用的化归思想.把四边形问题转化为三角形进行讨论，体现了转化的思想，即把未知转化为已知，把复杂转化为简单.这是我们研究知识解决问题的一种重要方法.
5.作四边形的对角线，是研究四边形的常用辅助线之一.
四、布置作业
1.课内练习
2.作业题
4.1
多边形（2）
教学目标：
1.探索任意多边形的内角和，体验归纳发现规律的思想方法.
2.掌握多边形内角和的计算公式及外角和等于360°.
3.会用多边形的内角和与外角和的性质解决简单几何问题.
教学重点和难点：
重点：本节教学的重点是任意多边形的内角和公式.
难点：例2的解题思路不易形成.
教学过程：
一、创设情境，导入新课
（1）
昨天我们已经学习了四边形的定义，今天清晨，小明在广场的小路上跑步，请问小明跑步的图案可以抽象出什么图形呢？
（2）上图广场上的小路可以抽象出一个边数为5的多边形——五边形．我们知道边数为3的多边形——三角形，边数为4的多边形——四边形，……边数为n的多边形——n边形(n≥3，n是整数)．
多边形定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形。
让学生例举多边形在生活中的实例。如：
连结多边形不相邻两顶点的线段叫做多边形的对角线（这是解决多边形问题的常用辅助线）。——解决多边形的问题，就是将它转化为三角形或四边形。如图：
二、合作交流，探究新知
（1）你能设法求出这个五边形的五个内角和吗？先启发学生回顾四边形的内角和及推理方法，下面可用连结对角线这同样的方法把多边形划分成若干个三角形来完成书本第78页的合作学习。
边数
图形
从某顶点出发的对角线条数
划分成的三角形个数
多边形的内角和
3
0
1
1×180°
=180°
4
1
2
2×180°
=360°
5
2
3
3×180°
=540°
6
3
4
4×180°
=720°
…
…
…
…
…
n
n-3
n-2
(n-2)×180°
（2）再启发学生观察所能划分成的三角形个数与边数n有关。
（3)结论：n边形的内角和为（n－2）×180°(n≥3)。
（4）如上例，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过一个角，他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？即在此图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
主要利用的是①可以利用五边形的外角和来计算；
②可以应用转身的角度（一周）来思考。
（5）先启发学生回顾四边形的外角和及推理方法，由学生自己完成推论：任何多边形的外角和为360?。
多边形的外角和
三、例题讲解，应用新知
例2、一个六边形如图。已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
因本题中学生的思考思路通常不容易形成，可以作适当的教师启发：先观察图形，发现六边形的内角之间可能存在什么关系，设法用推理的方法予以证明；再结合已知平行线的性质并通过尝试添加辅助线(连结对角线)，转化思想的应用，找到解题的途径。
方法一方法二
解：连结AD，如图一
∵AB∥DE，
CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠C＋∠E=
1／2
×720°=360°
引导学生一题多解，把多边形的问题转化到三角形中去解决。可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。（如图二）
∵
CD∥AF∴∠1=∠R，同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，∴∠AFE=∠DCB
同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF=
1／2
×720°=360°
本题对于学生而言，主要是没有或很少接触此类问题的时机，因此学生的思路通常很有局限性，在解决问题之后，可以培养学生进行合适的题后小结，尤其是寻找解题途径的思路，或解题中常用的转化方法——利用对角线将多边形转化为三角形或四边形等比较熟悉的问题来解决（可在内部，也可向外拓展）。
四、深化知识，升华能力
（1）一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
（3）有一个n边形的内角和与外角和之比为9：2，求n边形的边数。
（4）铺地板的六角砖内角和是多少度？
（5）公园里的八角亭的内角和是多少度?
（6）十边形的内角和是多少？外角和呢?
（7）若一个n边形内角和是1800°
，则n=?
（8）n边形的每个内角都等于120°，则n=?
五、小结内容，自我反馈
学生自由发言：这节课学了什么？有什么规律？有什么常用方法？
六、布置作业
1.课内练习
2.作业题
4.2
平行四边形及其性质（1）
教学目标：
1.了解平行四边形的概念，会用符号表示平行四边形.
2.理解“平行四边形的对角、对边相等”的性质，并初步运用性质进行有关的论证和计算.
3.了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.
教学重点和难点：
重点：平行四边形的定义和定义在证明中的应用.
难点：本节范例的证明方法思路不易形成.
教学过程：
一、创设情景，提出问题
任意剪两个全等的三角形，然后用这两个全等三角形拼四边形.你能拼出几种不同形状的四边形？（可让学生事先准备好）
活动1．自主学习
学生动手剪全等三角形，
然后动脑思考，拼出四边形，通过议论，最后得到：
若两个全等三角形都是锐角三角形，则一般有如图所示的6个四边形.
上面几种情况，那几个图，可以看作是由一个三角形旋转变换而成的.
活动2．合作学习
任意画一个△ABC，以其中的一条边AC的中点O为旋转中心，按逆时针（或顺时针）方向旋转180°，所得的像△CDA与原像△ABC组成四边形ABCD.
（1）找出这个四边形中相等的角；
（2）你认为四边形ABCD的两组对边AD与BC，AB与CD有什么关系？请说出你的理由；
（3）四边形ABCD是什么四边形？
二、构建新知，解决问题
（1）平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD可记作“ABCD”.
（2）深化知识，培养能力
1．已知ABCD（如图），将它沿AB方向平移，平移的距离为AB.
（1）作出经平移后所得的像；
（2）写出像与原平行四边形构成的图形中所有的平行四边形.
2．ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH交于点K，写出图中所有的平行四边形：
（除ABCD外）.
3．已知：如图，将ABCD作平移变换，得A′B′C′D′.A′D′交CD于点E，A′B′交BC于点F.
求证：四边形A′FCE是平行四边形.
（让学生通过练习，达到掌握平行四边形的概念，并能应用定义进行简单的证明.）
（3）适当提高，应用新知
练习：
1．ABCD中，AB∥
，
AD∥
.
2．ABCD中，∠A＋∠D＝
，∠A＋∠B＝
，
∠B＋∠C＝
，∠C＋∠D＝
.
3．已知ABCD中，∠A＝55°，则∠B＝
°，∠C＝
°，∠D＝
°.
4．在ABCD中，∠BAC＝26°，∠ACB＝34°，
则∠DAC＝
°，∠ACD＝
°，∠D＝
°
（通过本组练习，使学生从平行四边形的定义中获取平行四边形的性质，应用新知，拓展新知，在教会学生如何学的同时，为学生继续探索平行四边形的性质铺设台阶，使范例的教学顺理成章，水到渠成.）
5.已知四边形ABCD是平行四边形，如图所示，求证：∠A＝∠C，∠B＝∠D.
分析：本题图形简单，基本图形不足以引起对∠A与∠C、∠B与∠D的联系，也没有全等三角形、等腰三角形等可以进行转换；而通过平行线的同旁内角互补进行转换，又不易察觉；知识层面上，学生缺乏几何证明的经验，更不要说添辅助线等方法，在证明中存在一种想达到又达不到的感觉，出现了证明上的盲点，诸多原因造成本例的证明方法思路不易形成，成为了本节教学的难点.
安排
“适当提高，应用新知”的4个练习，不仅突出了重点，又能轻易地突破难点.
教师引导：挖掘已知条件，观察图形中∠A与∠C，∠B与∠D
有没有傍系的联系，引起学生对平行线同旁内角互补的重视；
进一步引导学生，“证角等，找全等”，连结对角线，寻找全等三角形，拓展思路，激发学生的学习兴趣.
（4）例题展示，规范做法
例1
已知:如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且AF//CE.
求证：DE=BF，
∠BAF=∠DCE
（借本例回顾平行四边形的性质）
（5）适当提高，巩固新知
1．已知平行四边形相邻两个角的度数之比为3∶2，求平行四边形各个内角的度数.
2．已知平行四边形的最大角比最小角大100°,求它的各个内角的度数.
3．如图，在ABCD中，∠ADC＝135°，∠CAD＝23°，求∠ABC，∠CAB的度数.
4．如图，一块平行四边形场地中，道路AFCE的两条边AE，CF分别平分ABCD的两个对角.这条道路的形状是平行四边形吗？请证明你的判断.
（逐级练习，内化新知，使知识及时巩固，并转化为能力.）
三、小结内容，自我反馈
今天你学会了什么？
平行四边形的定义，平行四边形对角相等的性质
四、布置作业
1.课内练习和课本作业题
2.作业本
4.2
平行四边形及其性质（2）
教学目标：
1.掌握平行线之间的距离的概念．
2.会用平行四边形的性质定理解决简单的几何问题．
3.掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”．“夹在两条平行线间的垂线段相等”．
教学重点和难点：
?重点：平行四边形的两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”．
?
难点：
例2涉及平行四边形性质的应用和根据定义判定四边形是平行四边形两方面推理过程．
教学过程：
一、构建新知，解决问题
1、学生口述从做一做归纳出的两个推论，老师帮助学生概括出平行四边形性质定理的两上推论．
板书：夹在两条平行线间的平行线段相等．
夹在两条平行线间的垂线段相等．
老师在解释两个推论时，重点突出第一个推论是平行四边形性质定理的具体应用；第二个推论很容易从第一个推论推理得出，并和八年级上册已经学过的两平行线之间的距离的概念有着密切的关系，启发学生回顾当时学习平行线之间的距离的情形．
二、例题讲解，规范做法
例2
一个放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形，腰长为1.4m，现在要将这个立柜搬过宽为1.2m的通道，能通过吗？
（引导学生思考解答）
三、深化知识，培养能力
1、学生活动：四人小组共同完成课本“课内练习”（1）（2）
2、教师引导：巡视整个教室，重点辅导学困生，指正个别学生解题习惯．
四、适当提高，应用新知
1、让学生思考此题：
已知：如图在△ABC中，∠C=Rt∠，D，E，F分别是边BC，AB，AC上的点，且DF//AB，DE//AC，EF//BC．
求证：△DEF是直角三角形，且D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．
2、教师点拨：解题的关键是找出入手点，四边形DEFC和四边形AEDF和四边形BEFD都是平行四边形．
3、期望达到的目标：步步深入，探索新知，学生亲身体验，巩固所学内容，思维能力有所提高．
五、小结内容，自我反馈
学生自由发言，这节课你学了什么？老师略作小结．
六、布置作业
1.课本作业题A组、B组.
2.作业本
4.2
平行四边形及其性质（3）
教学目标：
1.掌握平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”.
2.通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法，经历探索平行四边形性质的过程.
3.通过探索平行四边形的性质，进一步发展学生的逻辑推理能力及条理的表达能力.
4.会应用平行四边形的上述定理解决简单几何问题.
教学重点和难点：
重点：平行四边形的性质定理“平行四边形的对角线互相平分”.而
难点：例4比较复杂，并要求一题多解.
教学过程：
一、概念复习，情景引入.
画一个平行四边形ABCD，在这个图形中有那些线段相等？
上这体现了平行四边形的哪些性质？怎样发现这些性质的？
（通过回忆并再现旧知识的产生过程，让学生积累学习知识的方法，为新课做准备.）
二、自主研究，探索新知.
画出平行四边形ABCD的对角线AC和BD，它们交于点O.你还能得到图形有那些线段相等？
在让AC与BD画好后，细心观察，鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质，可用三角板量一量，也可采用其他的方法.（初步尝试，体验产生悬念，造成认知冲突，激发学生探索的欲望.）
三、交流归纳，获得新知.
学生观察、讨论，并年进行小组交流.通过以上活动，你能得到哪些结论？并由各小组派学生表述看法.
学生动手量，有的学生讨论如何进行折叠，动脑思考，议论，有的学生在思考如何证明OA=OC，OB=OD，有的学生讨论找全等三角形，最后得到：OA=OC，OB=OD.
在学生得到OA=OC，OB=OD的基础上，概括出平行四边形的对角线的性质（若学生不能进行很好的叙述，可提示学生采用仿照性质定理1的方法进行叙述）：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如上图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC(平行四边形的定义)
∴∠1=∠2，
∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）.
又∵AD=BC(平行四边形的对边相等).
∴⊿AOD≌⊿COB（ASA）.
∴OA=OC，OB=OD（全等三角形的对应边相等）.
四、学以致用，形成技能
1、学生尝试：课本例3.已知：如图，
平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F.求证：OE=OF.
开展讨论.——发现△DOF与△BOE，△COF与△AOE可能全等.
点拨：欲证OE=OF，需证明哪两个三角形全等？在发现的两对三角形中先找角等，再找边等.
在本题证明完后，教师结合图形的适当变换对学生进行变式训练（主要结合下面的图形），而且在学生的解答中主要是思路的总结，帮助学生总结出该类题目解答的要求是：①利用平行四边形的对边的性质；②利用平行四边形对角线的性质；③寻找到合适的全等三角形来证明线段相等.
例(补充)、如图：四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长及平行四边形ABCD的面积.
解：∵
四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=10，
AD=BC=8
∵
AC⊥BC，∴ΔABC是直角三角形.
AC===6.
又
OA=OC
∴
OA=
AC=3，
∴S平行四边形ABCD=BC·AC=8×6=48.
2、课堂训练：
（1）在平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，AB=4，△AOB的周长为16，求AC+BD的长度.
（2）在平行四边形ABCD中，过AC的中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F.求证：BE=DF.
点拨：解题的关键是找出入手点：第一题的入手点是△AOB的周长为16；第二题的入手点是O是AC的中点.
（3）已知O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AC=24cm，BC=38cm，OD=28cm，则⊿OBC的周长为__________.
（4）有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为14cm和20cm，它的一边长为18cm?为什么?若平行四边形的边长为xcm，则x的取值范围为多少？
（5）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD的长为__________.
（6）平行四边形ABCD的周长为40cm，⊿ABC的周长为25cm，则对角线AC长为（
）A、5cm
B、15cm
C、6cm
D、16cm
（7）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O.
①图中有多少对全等三角形?请把它们写出来；
②图中有多少对面积相等的三角形?
（通过多角度练习，巩固所学内容，同时将新知识迁移到新的情景中.诱导学生主动探索，通过学生的活动，激发学生的思维，培养学生的探索能力和合作精神.）
3、例3、如图，在平行四边形ABCD中对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC，AC=4，AB=5，求BD的长?
（请说说你的解题思路）
五、构建新知、提升能力：
1.学生复述平行四边形的性质.
2.让学生谈谈通过本节课的学习说一句自己最想说的话.
六、布置作业
1.课本作业题A组、B组.
2.作业本
4.3中心对称
教学目标：
?
1.了解中心对称的概念.
2.了解平行四边形是中心对称图形.
3.掌握中心对称图形的性质.
?
4.会作关于已知点对称的中心对称图形.
?
5.了解关于原点对称的点的坐标变化.
教学重点和难点：
?
重点：中心对称图形的概念和性质.
?难点：范例中既有新概念，分析又要仔细、透彻.
教学过程：
一、复习导入
回顾七下学过的轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换。
二、创设情境
用剪好的图案，让学生欣赏。
师：这剪纸有哪些变换？
生：轴对称变换。
师：指出对称轴。
生：（能结合图案讲）。
生：还有旋转变换。
师：指出旋转中心、旋转的角度？生：90°、180°、270°。
三、合作学习
1.把图1、图2发给每个学生，先探索图1：同桌的两位同学，把两个正三角形重合，然后把上面的正三角形绕点O旋转180°，观察原图形和旋转180°后图形的位置情况，请学生说出发现什么？生（讨论后）：等边三角形旋转180°后所得的像与原图形不重合。
探索图形2：把两个平形四边形重合，然后把上面一个平形四边形绕点O旋转180°，学生动手后发现：平行四边形ABCD旋转180°后所得的图形与原图形重合
师：为什么重合？
师：作适当解释或学生自己发现：∵OA=OC，∴点A绕点O旋转180°与点C重合。同理可得，点C绕点O旋转180°与点A重合。点B绕点O旋转180°与点D重合。点D绕点O旋转180°与点B重合。
2.中心对称图形的概念：如果一个图形绕一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称（point
symmetry）图形，这个点叫对称中心。
师：等边三角形是中心对称图形吗？生：不是。
3.想一想：等边三角形是轴对称图形吗？答：是轴对称图形。
平形四边形是轴对称图形吗？答：不是轴对称图形。
4.两个图形关于点O成中心对称的概念：如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O成中心对称。
中心对称图形与两个图形成中心对称的不同点：前者是一个图形，后者是两个图形。
相同点：都有旋转中心，旋转180°后都会重合。
做一做：
P89
5.根据中心对称图形的定义，得出中心对称图形的性质：
对称中心平分连结两个对称点的线段。通过中心对称的概念，得到P90性质后，主要是理解与应用。如右图，若A、B关于点O的成中心对称，∴点O是A、B的对称中心。
反之，已知点A、点O，作点B，使点A、B关于以O为对称中心的对称点。让学生练习，多数学生会做，若不会做，教师作适当的启发。
四、应用新知
例1
如图，已知△ABC和点O，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称。
分析：先让学生作点A关于以点O为对称中心的对称点Aˊ，
同理：作点B关于以点O为对称中心的对称点Bˊ，
作点C关于以点O为对称中心的对称点Cˊ，
连结AˊBˊ,BˊCˊ,CˊAˊ.
∴△AˊBˊCˊ即为所求作的三角形.
例2
求证：在直角坐标系中，点A(x,y)与点B(-x，-y)关于原点成中心对称.
（引导学生独立解决）
课内练习
P91
五、课堂小结
今天我们学习了些什么？
六、布置作业
1.课本作业题A组、B组.
2.作业本
4.4
平行四边形的判定定理（1）
教学目标：
1.掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定一个四边形是平行四边形.
2.掌握平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
3.会用平行四边形的判定定理判断一个四边形是不是平行四边形.
教学重点和难点：
重点：平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.
难点：判定定理的证明方法及运用.
教学过程：
一、复习引入
我们已学过哪些方法来判定一个四边形的平行四边形？（提问回答）
二、新课讲解
设问：若一个四边形有一组对边平行且相等，能否判定这个四边形也是平行四边形呢？
活动：课本探究内容，并用事准备好的纸条（纸条的长度相等），先将纸条放置不平行位置，让学生设想若二纸条的端点为四边形的顶点，则组成的四边形是不是平行四边形？若将纸条摆放为平行的位置，则同样用二纸条的端点为顶点组成的四边形是不是平行四边形？
设问：我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢？（让学生找出题设、结论，然后写出已知、求证及证明过程.）
小结：平行四边形判定方法五：
前提：若一个四边形有一组对边平行且相等.
结论：这个四边形是一个平行四边形.
如图用几何语言表达为：
∵AB=CD
且AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
平行且相等可用符号“
”，读作“平行且相等”.
∵AB
CD
∴四边形ABCD是平行四边形
三、例题讲解
例1：已知：E、F分别为平行四边形ABCD两边
AD、BC的中点，连结BE、DF
求证：
分析：今天我们证明角相等，除了平行线，全等三角形外，又多了一个新方法，可以证明平行四边形对角相等，即只要四边形EBFD是平行四边形.由已知平行四边形ABCD的性质可得DE//BF，又AD＝BC，E、F为中点则有DE＝BF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形EBFD是平行四边形.
证明由学生完成.
提问：此题还有什么方法，证明四边形BEDF是平行四边形.学生会想到证明，得到BE＝DF，利用两组对边相等证明四边形是平行四边形.但应指出第二种方法较第一种方法繁，也就是说要找出较简捷的证法，准确地使用判定定理，就要先分析图形的性质，及所具备的条件.
练习：课本练习
四、课堂小结
今天我们主要研究了利用边的关系来判定平行四边形，注意满足两个条件.
注意：若一组对边平行，另一组对边相等，是不可以判定为平行四边形的，它可能是梯形.
五、布置作业
1.课本作业题A组、B组.
2.作业本
4.4平行四边形的判定（2）
教学目标：
掌握平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”．
　　2．理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；
3．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
教学重点和难点：
　　重点：平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”．
难点：判定定理的证明方法及运用.
教学过程：
一、复习导入
1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？
2．用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？
3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？
是否是真命题？
二、新课讲解
设问：“对角线互相平分的四边形是平行四边形.”这一命题的前提什么？结论又是什么？
活动：用事先准备好的纸条按课本探究方法做，让学生判定这个四边形是否是平行四边形.
判定方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
这个方法的前提是什么？结论又是什么？
已知：如图：在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，
OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
分析：证明这个四边形是平行四边形的方法有：（1）两组对边分别相等；（2）平行四边形的定义：两组对边分别平行.（较简单的）
板书证过程.
小结：由刚才证明可得，只要有对角线互相
平分，可判定这个四边形是平行四边形.
几何语言表达：∵OA=OC，
OB=
OD
∴四边形ABCD是平行四边形
例题讲解：课本P96例3.
分析：由题意可得OB=OD，再由OA=OF，AE=AF，可得OE=OF.可证四边形EBFD是平行四边形.
设问：若是两组对角分别相等的四边形，是不是平行四边形？前提是什么？结论是什么？
已知：在四边形ABCD中，∠A
=∠C
∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形（让学生板书，然后小结）
练习：如图，延长三角形ABC的中线BD至E，
使DE=BD，连结AE、CE．
　　求证：∠BAE=∠BCE.
证明方法：由对角线互相平分可证四边形ABCE为平行四边形，可得∠BAE=∠BCE.
课堂小结
目前，我们研究平行四边形的哪些性质和判定：
平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角线互相平分；夹在平行线间的平行线段相等；对角相等；邻角互补；
平行四边形的判定：两组对边平行；两组对边相等；两组对角相等；对角线互相平分的四边形；
四、布置作业
1.课本作业题A组、B组.
2.作业本
、
4.5
三角形的中位线
教学目标：
1.了解三角形的中位线的概念
2.了解三角形的中位线的性质
3.探索三角形的中位线的性质的一些简单的应用
教学重点和难点：
重点：三角形的中位线定理。
难点：三角形的中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法。
教学过程：
一、创设情景，引入新课
1、如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？
2、动手操作：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片
（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形，剪痕的位置有什么要求？
（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？
3、引导学生概括出中位线的概念
问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。
猜想：DE与BC的关系？（位置关系与数量关系）
二、师生互动，探究新知
1、证明你的猜想
引导学生写出已知，求证，并启发分析。
（已知：⊿ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=1/2BC）(幻灯片演示)
启发1：证明直线平行的方法有哪些？（由角的相等或互补得出平行，由平行四边形得出平行等）
启发2：证明线段的倍分的方法有哪些？（截长或补短）
学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程，强调有其他证法。
证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE，则D，E，F同在一直线上，DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE。
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴AB∥CF。
又∵BD=AD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC（根据什么？），
∴DE1/2BC
2、启发学生归纳定理，并用文字语言表达：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
三、学以致用、落实新知
1、练一练：已知三角形边长分别为6、8、10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？
2、想一想：如果⊿ABC的三边长分别为a、b、c，AB、BC、AC各边中点分别为D、E、F，则⊿DEF的周长是多少？
3、例题：已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
启发1：由E，F分别是AB，BC的中点，你会联想到什么图形？
启发2：要使EF成为三角的中位线，应如何添加辅助线？应用三角形的中位线定理，能得到什么？你能得出EF∥GH吗？为什么？
证明：如图，连接AC。
∵EF是⊿ABC的中位线，
∴EF1/2AC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）。
同理，HG1/2AC。
∴EFHG。
∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）
挑战：顺次连结上题中，所得到的四边形EFGH四边中点得到一个四边形，继续作下去……你能得出什么结论？
四、学生练习，巩固新知
1、请回答引例中的问题（1）
2、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，
BD的中点。
求证：∠PNM=∠PMN
3、在上题的基础上进行变式练习，如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N分别是AD，BC，的中点，延长BA，CD，NM交于S，H。
求证：∠BSN=∠CHN
五、小结回顾，反思提高
今天你学到了什么？还有什么困惑？
六、布置作业
1.课本作业题A组、B组.
2.作业本
4.6
反证法
教学目标：
1.了解反证法的含义.
2.了解反证法的基本步骤.
3.会利用反证法证明简单命题.
4.了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
教学重点和难点：
重点：反证法的含义和步骤.
难点：课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度.
教学过程：
一、情境导入
故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?
那么什么叫反证法呢？（板书课题）
二、探究新知
（1）整体感知
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的.这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了.
你能说出下列结论的反面吗?
1.a⊥b
2.
d是正数
3.
a≥0
4.
a∥b
（2）师生互动
例
求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.
（引导学生独立解决）
1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
把本题改编成填空题：
已知:
直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证:
l3与l2相交.
证明:
假设____________,即_________.
∵_________（已知）,
∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,
这与
“_______________________
_____________”矛盾.
∴假设不成立,即求证的命题正确.
∴l3与l2相交.
教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法.
2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤.（教师板书步骤）
生：①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立.
明确
用反证法证题的基本思路及步骤.
（3）学以致用
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
（1）你首选的是哪一种方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？
教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.
三、知识迁移
甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；
B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；
C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；
D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.
其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？
四、课堂小结
同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？
（1）引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤.
（2）教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法.
五、布置作业
1.
书本作业题A组必做、B组选做.
2.课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流.
第4章
平行多边形复习课
教学目标：
1.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念，掌握多边形的内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形的概念及四边形的不稳定性.
3.掌握平行四边形的性质定理和判定定理；掌握三角形中位线的性质.
4.了解中心对称的概念和性质，会在直角坐标系中求已知点关于原点对称的点的坐标.
5.体会反证法的含义，会综合运用本章知识解决有关作图、计算和证明问题.
教学重点和难点：
重点：.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
难点：能构造平行四边形解决生活中的实际问题.
教学过程：
一、多（四）边形的概念
1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形.
2.四边形的内角和与外角和均为360°.
3.四边形具有不稳定性.
4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°
5.多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°.
6.多边形的对角线.
二、重要知识规律总结:
1.多边形的对角线.
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3).
n边形共有对角线
条(n≥3).
2.多边形的内角和公式.
n边形的内角和为：（n－2)×180°(n≥3).
3.平行四边形的性质有哪些？
4.平行四边形的判定有哪些？
5.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
6.反证法定义：
在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
7.中心对称图形：一个图形绕一点旋转180度后与原来图形重合.
直角坐标系中,
点(x,y)关于原点对称的点是(-x,-y)
三、基础练习
1.一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的四分之一，这个多边形是正
边形。
2.下例不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（
）
A、AB=CD
AD=BC
B、AB=CD
AB∥CD
C、AB=CD
AD∥BC
D、AB
∥CD
AD∥BC
3.在ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，AC=10,BD=8，则AD的取值范围
是(
).
A、AD＞1
B、AD＜9
C、1＜AD＜9
D、AD＞0
4.如图所示，已知ABCD的周长为30cm，AE⊥BC于E点，AF⊥CD于F点，且AE∶AF=2∶3，∠C=120°，求SABCD.
本题知识点：平行四边形的性质.
5.已知：如图，在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
求证：MN∥BC，且MN=BC
本题知识点：平行四边形的性质和三角形中位线的性质.
四、探索提高
1.已知：如图，O是等边三角形ABC内任意一点，OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，点
D，E，F分别在AB，BC，AC上.
求证：OD+OE+OF=BC.
本题知识点：平行四边形的判定和性质和三角形中位线的性质.
2.如图，在ABCD中,
E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF,
求证：四边形BEDF是平行四边形.
变式：已知如图四边形ABCD和四边形BFDE都是平行四边形,
求证：AE=CF
本题知识点：平行四边形的判定和性质.
五、课堂小结
今天你学到了什么？还有什么困惑？
六、布置作业
1.课本作业题《目标与评定》.
2.作业本
A
M
N
D
P
B
C\C