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1.4.3二次函数的应用导学案
课题
二次函数的应用
单元
1
学科
数学
年级
九年级
知识目标
会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题
重点难点
重点：问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换。
难点：用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。
教学过程
知识链接
提问：
1.求方程
2、求二次函数与x轴的交点坐标A、B
问题：你发现方程的解与坐标A、B有什么联系？
合作探究
一、教材第28页
例4、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s?）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?
归纳：从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的
坐标。
二、教材第29页
例5、利用二次函数的图象求一元二次方程x?+x-1=0的近似解。
自主尝试
1、函数y=ax－3的图象与y=bx+4的图象交于x轴上一点，那么a∶b等于（
）
A.－4∶3
B.4∶3
C.（－3）∶（－4）
D.3∶（－4）
2、如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（
）
A.y=－x+2
B.y=x－2
C.y=－x－2
D.y=x+2
3、如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）．
A.
2x－y＋3＝0 B.
x－y－3＝0
C.
2y－x＋3＝0
D.
x＋y－3＝0
【方法宝典】
根据函数的交点就是方程或方程组的解即可解答.
当堂检测
1．某抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点是A(2，0)和B(－3，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别是( )
A．x1＝2，x2＝0
B．x1＝－3，x2＝0
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
2．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2017的值为( )
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
3．根据下列表格的对应值：
x0.000.250.500.751.00x2＋5x－3－3.00－1.69－0.251.313.00
可得方程x2＋5x－3＝0一个解x的范围是( )
A．0＜x＜0.25
B．0.25＜x＜0.50
C．0.50＜x＜0.75
D．0.75＜x＜1
4．(锦州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( )
A．m≥－2 B．m≥5
C．m≥0
D．m>4
5．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．
6．不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2x2－6x＋m的函数值总是正值，则m的取值范围是________，此时关于x的一元二次方程2x2－6x＋m＝0的解的情况是________(填“有解”或“无解”)．
7．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC，过A，B，C三点的抛物线的解析式为____________________．
第7题图
第8题图
8．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象交于点A(－1，4)，B(6，2)(如图所示)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________________．
9．已知二次函数y＝x2＋4x，
(1)用配方法把该函数化为顶点式，并画出这个函数的图象；
(2)求函数的图象与x轴的交点坐标；
(3)当x取何值时，y＞－3?
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1－4.DDCA
5.36
6.m＞ 无解
7.y＝－x2＋x＋4
8.x＞6或x＜－1
9．(1)y＝(x＋2)2－4，函数图象大致为：
(2)与x轴交点坐标为(0，0)，(－4，0)； (3)当x>－1或x<－3时，y>－3.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九上
1.4.3二次函数的应用
导入新课
1.求方程
2.求二次函数与x轴的交点坐标A、B
解：
(3x-4)(x+1)=0
即：
，
解：另y=0，则
(3x-4)(x+1)=0
解得：
，
新知讲解
问题：你发现方程的解与坐标A、B有什么联系？
方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。
新知讲解
例4、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s?）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?
1
2
0
-1
-2
t(s)
1
2
3
4
5
6
h(m)
新知讲解
分析：根据题意可以得出函数并画出函数的大致图象，从图象我们可以看到，图象与横轴的两个交点分别为(0,0)，(2,0).它们的横坐标分别为0与2，就是球从地面弹起和回到地面的时刻，此时h=0.所以这两个时刻也就是一元二次方程的两个根.这两个时刻的差就是球从地面弹起至回到地面所需的时间。
归纳总结
地面
1
2
0
-1
-2
t(s)
1
2
3
4
5
6
h(m)
解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t?
取h=0，得一元二次方程10t－5t?=0
解方程得t1=0；t2=2
球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t?=3.75
解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；
经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
新知讲解
从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。
归纳总结
对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：
，其中（米）是上升高度，
g（米/秒）是初速度，
t（米/秒2）是重力加速度，
（秒）是物体抛出后所经过的时间，下图是h与t的函数关系图.
⑴求：
，g；
⑵几秒时，物体在离抛出点25米高的地方.
解：(1)由图知，当t=6时，h=0
；当t=3时，h=45.
∴
解得
∴米/秒
g=10米/秒2
（2）由（1）得，函数关系式是h=30t-5
.
当h=25
时，25=30t-5t2
，解得，
∴经过1秒或5秒的物体在离抛出点25米高的地方.
例5、利用二次函数的图象求一元二次方程x?+x-1=0的解(或近似解)
。
1
2
0
-1
-2
x
1
2
3
4
5
6
y
y=x?+x－1
解：设，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标就是方程的解.
观察图，得到点A的横坐标点B的横坐标.所以方程的近似解为，
想一想
将和代入，其值分别是多少？
我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
反过来，也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解。
二次函数y=ax?+bx+c
y=0
一元二次方程ax?+bx+c=0
两根为x1=m；x2=n
函数与x轴交点坐标为：
（m，0）；（n，0）
归纳总结
课堂练习
1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（
）
A．
B．
C．
D．
B
2、以方程组的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三角限
D．第四象限
A
3、若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解为x2＝________.
－1
4、如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是_________________．
x＜－1或x＞4
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
6.如图所示，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A
处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度
的一半．??
(1)求足球开始飞出第一次落地时，该抛物线的关系式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？（=10
）??
(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米？
课堂练习
解:
(1)如图，????
设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4.
由已知：当x=0时y=1．即1=36a+4，a=
∴表达式为
(2)令y=0，
=0
．
∴，
（舍去）．
∴足球第一次落地距守门员约13米．??
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD.
根据题意：CD=
EF（即相于当抛物线AEMFC向下平移了2个单位）．
∴
2=，
解得
，
∴CD=
∴BD
=13
-6+10
=17（米）．
课堂小结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。
我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；
反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
二次函数的应用：
布置作业
基础作业
教材第30页作业题A组第1、2、3题
能力作业
教材第31页作业题B组第4、5题
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