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浙教版
九上
1.4.2二次函数的应用
导入新课
如何求下列函数的最值？
想一想
将函数配方化简：
根据函数的性质即可得出此函数的最值。
新知讲解
例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
自主练习
解：设经过t(h)后，A，B两船分别到达A’，B’处，则
(t>0)
当13t-10=0，即时，有最小值576
所以当时，(km).
答：经过h，两船之间的距离最近，最近距离为24km.
归纳
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
:
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内
。
自主练习
如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，Q点从B点出发沿边BC向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动．据此解答下列问题：
（1）运动开始第几秒后，△PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）求出S的最小值及t的对应值．
新知讲解
解：（1）运动开始第2秒或第4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米；
（2）根据题意，得S=6×12-（6-t）?2t，
所以S=t2-6t+72，其中t大于0且小于6；
（3）由S=t2-6t+72，得S=（t-3）2+63．
因为t大于0，所以当t=3秒时，S最小=63平方厘米．
归纳总结
例3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得y=(x-9)(1360-80x)
=
(10≤x≤14)
，在10≤x≤14的范围内.
当x=13时，
(元)
答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。
自主练习
某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
自主练习
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
解：由题意得，W与x之间的函数关系式为W＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6
400＝－2(x－60)2＋800，当x＝60时，W最大，是800，
所以当销售单价为60元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元．
课堂练习
B
课堂练习
2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13
min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30
min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
D
3．某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y＝－x2＋100x＋28
400，要使所获营业额最大，则此旅行团应有( )
A．30人
B．40人 C．50人
D．55人
C
课堂练习
4．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x元，每天销售y个，每天获得利润W元．
(1)写出y与x的函数关系式：________________；
(2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．
y＝300＋20x
解：W＝(300＋20x)(60－40－x)＝－20x2＋100x＋6
000.
课堂练习
5、九(1)班数学兴
趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表
：
已知
该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元?
(1)
求出y与x的函数关系式?
(2)
问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？?
(3)
该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果
课堂练习
解：(1)当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000
当50≤x≤90时，y=-120x+12000
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
（3）当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，
课堂小结
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
:
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内
。
布置作业
基础作业
教材第27页作业题A组第1、2、3题
能力作业
教材第28页作业题B组第4题
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1.4.2二次函数的应用导学案
课题
二次函数的应用
单元
1
学科
数学
年级
九年级
知识目标
继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
重点难点
重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点：将现实问题数学化，情景比较复杂。
教学过程
知识链接
想一想：
如何求下列函数的最值？
将函数配方化简：
根据函数的性质即可得出此函数的最值
合作探究
一、教材第26页
例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
归纳：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
:
求出函数解析式和
的取值范围
配方变形，或利用
求它的最大值或最小值
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的
内
。
二、教材第27页
例3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
自主尝试
1．炮弹从炮口射出后飞行的高度h（米）与飞行的时间t（秒）之间的函数关系式为h=v0tsinα－5t2，其中v是发射的初速度，α是炮弹的发射角，当v0=300米/秒，α=30°时，炮弹飞行的最大高度为_______米，该炮弹在空中飞行了______秒落到地面上．
2．如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6米时，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，在图中的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式为______．
3.
如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于（
）
A．2.80米
B．2.816米
C．2.82米
D．2.826米
【方法宝典】
利用二次函数的最值的求法进行解题即可.
当堂检测
1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，
下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
2．当m在取值范围内取不同的值时，代数式的最小值是( )
A．0
B．5
C．3 D．9
3．如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为( )
4．已知x＝2t－4，y＝10－t，s＝xy，则当t＝________时，s取最________值为________．
5．如图是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象，据图象得，当y≥2400时，x的取值范围是_________．
第5题图
6．已知直角三角形的两直角边之和为6，则斜边长可能达到的最小值是________．
7．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出600kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20kg.
(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
(2)若商场只要求保证每天的盈利不少于7500元，每千克应涨价多少元？
8.某民宿合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1－3.CBD
4.6 大 32
5.20≤x≤40
6.3
7．(1)设每千克涨价x元，利润为y元，y＝－20x2＋400x＋6000(0＜x＜30)，x＝－＝10时，y最大＝8000(元)；
(2)y＝7500时，－20x2＋400x＋6000＝7500，x1＝15，x2＝5，∵要使y≥7500，∴5≤x≤15，即涨价不少于5元/千克，不高于15元/千克．
8.(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，得
即y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110； (2)设合作社每天获得的利润为w元，w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2200＝－0.5(x－120)2＋5000，∵60≤x≤150，∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000，答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
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精品试卷·第
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