反比例函数中的面积问题
【教学目标】
1.理解反比例函数中k的几何意义；
2.会运用面积法和坐标法解决反比例函数中的面积问题.
【学情分析】
学生在第6章已经学习过反比例函数的图象及性质，知道反比例函数中k的几何意义，并在作业题中接触过部分反比例函数面积问题，对本课的开展起到积极的促进作用。但学生对面积法及坐标法尚不能灵活运用，需要教师加以引导.
【教学重难点】
重点：运用面积法和坐标法解决反比例函数中的面积问题；
难点：对于复杂的面积问题，灵活性较强，对学生难度较大.
【教学过程】
知识回顾
二、课前检测
1.如图1，点P是反比例函数
的图象上的任意一点，过点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是矩形OAPB内任意一点，连结DA，DB，DP，DO，则图中阴影部分的面积是
.
2.如图2，双曲线
经过□ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则□ABCO的面积是
.
3.如图3.直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数
及
的图象分别交于A、B两点，连结OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1-k2=
.
图1
图2
图3
4.如图4，直线y=mx与双曲线
交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连结BM，若S△AMB=2，则k的值为
.
5.如图5，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与两个反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连结AC，BC，则△ABC的面积为
.
图4
图5
图6
（学生投影展示讲解）
三、例题互动
例1.如图6，在反比例函数
上有两点A（2,3）和B（6,1），求△AOB的面积.
（师生问答互动）
法1.构造矩形
法2.转化为梯形
法3.水平宽×铅垂高÷2
例2.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与反比例函数
的图象交于点D、E，其中E是BC的中点.若四边形ODBE的面积为2，求k的值和△BDE的面积.
（师生问答互动）
法1.面积法
法2.坐标法
归纳：D、E其中一点为中点，另一点也必为中点.
变式1.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与反比例函数
的图象交于点D、E，其中BD=2AD.若△AOD的面积为1，求：（1）BE：CE的值；（2）四边形BEOD的面积.
（学生上台板演）
变式2.如图，反比例函数
的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于D、E，若四边形ODBE的面积为6，求k的值.
（师生问答互动）
变式3.
如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（4,0），B（4,3），C（0,3），双曲线交AB、BC于点D、E，直线DE分别与y轴和x轴相交于点F和G.若EF·EG=
，
求（1）DG的长度；（2）k的值.
（师生问答互动）
归纳：直线截双曲线的基本结论
课后思考：直线与双曲线的两支相交，是否还有相同的结论？
四、课堂小结
本节课我们一起探究反比例函数中的面积问题，你学到了哪些方法？收获了哪些有关反比例函数的基本结论？反比例函数中的面积问题
【课前检测】
1.如图1，点P是反比例函数
的图象上的任意一点，过点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是矩形OAPB内任意一点，连结DA，DB，DP，DO，则图中阴影部分的面积是
.
2.如图2，双曲线
经过□ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则□ABCO的面积是
.
3.如图3.直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数
及
的图象分别交于A、B两点，连结OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1-k2=
.
图1
图2
图3
4.如图4，直线y=mx与双曲线
交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连结BM，若S△AMB=2，则k的值为
.
5.如图5，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与两个反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连结AC，BC，则△ABC的面积为
.
图4
图5
图6
【例题互动】
例1.如图6，在反比例函数
上有两点A（2,3）和B（6,1），求△AOB的面积.
例2.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与反比例函数
的图象交于点D、E，其中E是BC的中点.若四边形ODBE的面积为2，求k的值和△BDE的面积.
变式1.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与反比例函数
的图象交于点D、E，其中BD=2AD.若△AOD的面积为1，求：（1）BE：CE的值；（2）四边形BEOD的面积.
变式2.如图，反比例函数
的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于D、E，若四边形ODBE的面积为6，求k的值.
变式3.
如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（4,0），B（4,3），C（0,3），双曲线交AB、BC于点D、E，直线DE分别与y轴和x轴相交于点F和G.若EF·EG=
，
求:（1）DG的长度；（2）k的值.评老师的《反比例函数的面积问题》
老师本节课在学生已经学习过反比例函数k的几何意义的基础上，进一步探究反比例函数中的面积问题。首先通过5道填空题，由学生讲解，复习回顾反比例函数面积的不变性。紧接着进入本堂课的主题。第一道例题是已知反比例函数k值求直角坐标系中三角形的面积。教师提问，学生回答。此题学生给出了三种方法；构造矩形，改斜归正化为梯形，水平宽
铅垂高/2。一题多解，教师及时归纳方法，培养学生多思维的发展。例2是以矩形为背景的面积问题，教师在学生生成的解法中，总结面积法和坐标法，并从此题中发现反比例函数图像和矩形之间的关系，其中一个交点是中点，另一个交点也是中点。由此引出变式，三等分点和四等分点的情况，对例2进一步拓展。
在本节课中李老师的教学思路清晰，问题题组的设计有梯度，在题目的分析中，教师主要是起到一个引导作用，由学生自己思考生成，教师及时补充，理清思路，并进行数学方法的总结。值得商榷的是，在课堂起始，复习完反比例函数面积的不变性后，能否直接引入例1.留更多的时间继续探究此类反比例函数与矩形问题，熟练掌握面积法和坐标法，将这种方法延续到其他类型的反比例函数面积问题。教学反思
本堂课的核心在于探究反比例函数中的面积问题。由于学生在第6章已经学习过反比例函数的图象及性质，知道反比例函数中k的几何意义，并在作业题中接触过部分反比例函数面积问题，具备学习本节课的基本知识。所以在此基础上，课前我设计了5道填空题预热，并由学生讲解，回顾反比例函数面积不变性。紧接着进入本课正题，已知k值求坐标系中三角形的面积，此处学生给出三种方法（法1.构造矩形，法2.转化为梯形，法3.水平宽×铅垂高÷2），一题多解，对学生有一定指导意义。那么反过来已知面积能否求k值呢？进而进入以矩形为背景的面积问题，在学生的生成解法中总结出面积法和坐标法是常用方法。同时，从此题中发现双曲线与矩形的神奇关系，其中一交点是中点，那么另一交点也必是中点。变式1，变式2是三等分、四等分的问题，既是巩固前面的方法，又是例2的拓展。变式3我原本的预想是通过面积法介绍直线截双曲线带来的基本结论，由于时间关系，只能让学生带回家思考。
课堂教学完成后，我想可以将前面的课前检测与变式3去掉，就仅仅是探究以矩形为背景的反比例函数面积问题，从二等分点到三等分点，再到n等分点，最后再回到比如3:5的问题。从特殊到一般，又从一般到特殊，题目的设计从易到难。这样既能将这类问题研究透，探究这一类问题中所用到的面积法与坐标法又能延续到其他类型的面积问题中，由点及面，整堂课主线会更清晰!
