2.1二次函数
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2.1 二次函数
张老汉扩大了枇杷种植面积,如果外围是一个矩形，周长为12Om , 通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)·
种植面积
通道
请用适当的函数解析式表示两个变量 y 与 X 之间的关系：
张老汉存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年利率为 x， 两年后张老汉共得本息y元;
请用适当的函数解析式表示两个变量 y 与 X 之间的关系：
本息=本金+利息
利息=本金×利率×时间
合作学习：
上述两个情景中的函数解析式具有哪些共同的特征
经化简后都具有y=ax +bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, )
a≠0
我们把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项，
函数y＝ax2＋bx＋c
其中a、b、c是常数
切记：a≠0
方程右边是一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
下列函数中,哪些是二次函数
大家一起来判断
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
5
(
2
-
+
-
-
=
x
x
x
y
)
1
(
)
4
(
-
=
x
x
y
1
2
)
3
(
2
-
-
=
x
x
y
1
)
2
(
2
-
=
x
y
)
1
(
2
=
x
y
分别说出这些二次函数的二次项系数a、一次项系数b和常数项c：
说明：要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，必须先将二次函数化简为y= ax2+bx+c形式。并按自变量的次数从高到低排列.
例1：已知二次函数y=x +px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为－5, 求这个二次函数的解析式。
｛
巩固应用
－－－－－－待定系数法求二次函数解析式
｛
解得：
p=-12
q=15
探求新知
y=ax2 + bx + c
我们把形如
(a，b，c为常数,a≠０)
函数的自变量x是否可以取任何值呢
的函数叫做二次函数。
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
例1 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等 的直角三角形 (图中阴影部分 )。设AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2)
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
（2）当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应的四边形 EFGH的面积，并列表表示.
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
例题讲解：
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
例题讲解：
解：由题意，得
分析:S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4×SRt△AEH
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
例题讲解：
求差法
解：∵△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EH＝FE＝GF＝HG ∴四边形EFGH为菱形
∵∠AEH＝∠BFE ∵∠BFE＋∠BEF＝90°
∴∠AEH＋∠BEF＝90° 即∠HEF＝90°
∴菱形EFGH为正方形
∵HG2=DH2+DG2
∴HG2=DH2+DG2
=x2+（2-x）2
∴y=2x2-4x+4
（0＜x＜2）
求 （2）当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应的四边形 EFGH的面积，并列表表示.
例题讲解：
0.25 0.5 1 1.5 1.75
3.125 2.5 2 2.5 3.125
列表如下：
练一练
用20米的篱笆围成一边靠墙矩形花圃，如图，设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式
和自变量x的取值范围。
(2)当x=3时,矩形的面积为多少
x
(２)当x=3时
自变量x的取值范围(0 大家收获不小吧！说说你的感受，让大家一起来分享，怎么样？
我掌握了……
我学会了……
我体会到了……
小结：
2、a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项
3、用待定系数法求二次函数的解析式
1、二次函数的概念：
形如
1.函数 当m取何值时，
（1）它是二次函数？
（2）它是反比例函数？
（1）若是二次函数，则 且
∴当 时，是二次函数。
（2）若是反比例函数，则 且
∴当 时，是反比例函数。
提高题：
2.在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与
自变量x的部分对应值如下表：
x --- 0 1 2 ---
y --- -1 -2 m ---
（1）求该二次函数的关系式；
（2）试确定m的值。
y=x2-2x-1
m=-1
2.1 二次函数
张老汉扩大了枇杷种植面积,如果外围是一个矩形，周长为12Om , 通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)·
种植面积
通道
请用适当的函数解析式表示两个变量 y 与 X 之间的关系：
张老汉存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年利率为 x， 两年后张老汉共得本息y元;
请用适当的函数解析式表示两个变量 y 与 X 之间的关系：
本息=本金+利息
利息=本金×利率×时间
合作学习：
上述两个情景中的函数解析式具有哪些共同的特征
经化简后都具有y=ax +bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, )
a≠0
我们把形如y=ax +bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项，
函数y＝ax2＋bx＋c
其中a、b、c是常数
切记：a≠0
方程右边是一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
下列函数中,哪些是二次函数
大家一起来判断
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
5
(
2
-
+
-
-
=
x
x
x
y
)
1
(
)
4
(
-
=
x
x
y
1
2
)
3
(
2
-
-
=
x
x
y
1
)
2
(
2
-
=
x
y
)
1
(
2
=
x
y
分别说出这些二次函数的二次项系数a、一次项系数b和常数项c：
说明：要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，必须先将二次函数化简为y= ax2+bx+c形式。并按自变量的次数从高到低排列.
例1：已知二次函数y=x +px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为－5, 求这个二次函数的解析式。
｛
巩固应用
－－－－－－待定系数法求二次函数解析式
｛
解得：
p=-12
q=15
探求新知
y=ax2 + bx + c
我们把形如
(a，b，c为常数,a≠０)
函数的自变量x是否可以取任何值呢
的函数叫做二次函数。
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
例1 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等 的直角三角形 (图中阴影部分 )。设AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2)
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
（2）当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应的四边形 EFGH的面积，并列表表示.
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
例题讲解：
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
例题讲解：
解：由题意，得
分析:S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4×SRt△AEH
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
例题讲解：
求差法
解：∵△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EH＝FE＝GF＝HG ∴四边形EFGH为菱形
∵∠AEH＝∠BFE ∵∠BFE＋∠BEF＝90°
∴∠AEH＋∠BEF＝90° 即∠HEF＝90°
∴菱形EFGH为正方形
∵HG2=DH2+DG2
∴HG2=DH2+DG2
=x2+（2-x）2
∴y=2x2-4x+4
（0＜x＜2）
求 （2）当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应的四边形 EFGH的面积，并列表表示.
例题讲解：
0.25 0.5 1 1.5 1.75
3.125 2.5 2 2.5 3.125
列表如下：
练一练
用20米的篱笆围成一边靠墙矩形花圃，如图，设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式
和自变量x的取值范围。
(2)当x=3时,矩形的面积为多少
x
(２)当x=3时
自变量x的取值范围(0
我掌握了……
我学会了……
我体会到了……
小结：
2、a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项
3、用待定系数法求二次函数的解析式
1、二次函数的概念：
形如
1.函数 当m取何值时，
（1）它是二次函数？
（2）它是反比例函数？
（1）若是二次函数，则 且
∴当 时，是二次函数。
（2）若是反比例函数，则 且
∴当 时，是反比例函数。
提高题：
2.在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与
自变量x的部分对应值如下表：
x --- 0 1 2 ---
y --- -1 -2 m ---
（1）求该二次函数的关系式；
（2）试确定m的值。
y=x2-2x-1
m=-1
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