5.3一元一次不等式和它的解法

一元一次不等式和它的解法
　　例1 判断下列各式是不是一元一次不等式？
　　
　　分析：判断一个式子是不是一元一次不等式，看这个式子是不是只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式．
　　解：(1)是一元一次不等式；
　　(3)是一元一次不等式；
　　(2)和(4)不是一元一次不等式．
　　例2
　　
　　分析：两题都可以按通常的三步骤解．对于(1)题也可以根据两边都有分母为4的项的特点，可以先移项，合并分子的同类项后，再去分母．对于(2)也是可以先去中括号，得到5(x-3)＞5后，再两边除以5，得到x-3＞1．
　　答案：
　　
　　说明：去分母时分数线相当于括号，同时不要漏乘不含分母的项．最关键要处理好乘或除一个数时不等号的方向问题．
　　例3
　　　　
　　分析：不等式中含有分母，应先根据不等式的同解原理2去掉分母，再作其他变形，在去分母时，不要漏乘没有分母的“项”．
　　解：去分母，得
24-2(x-1)≥16+3(x+1)
　　去括号，得
24-2x+2≥16+3x+3
　　移项，得
-2x-3x≥16+3-24-2
　　合并同类项，得
-5x≥-7
　　把系数化为1，得
　
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示：
　　例4 解答题
　　
　　(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
　　分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
　　解：
　　
　　∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
　　
　　(2)∵10(x+4)+x≤84
　　 ∴10x+40+x≤84
　　 ∴11x≤44
　　 ∴x≤4
　　因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．
　　例5 解关于x的不等式
　　(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
　　分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
　　解：(1)∵ax+2≤bx-1
　　∴ax-bx≤-1-2
　　即 (a-b)x≤-3
　　此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．
　　　
　　
　　即(n-m)x＞n2-m2
　　当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；
　　当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；
　　当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．
　　例6 解关于x的不等式
　　3(a+1)x+3a≥2ax+3．
　　分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．
　　解：去括号，得
　　3ax+3x+3a≥2ax+3
　　移项，得
　　3ax+3x-2ax≥3-3a
　　合并同类项，得
　　(a+3)x≥3-3a
　　
　　　
　　(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
　　这个不等式无解．
　　说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．
　　例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
　　分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
　　解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
　　可解得 8x=20+17m
　　
　　已知方程的解是非正数，所以
　　
　　例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．
　　分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．
　　解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
　　可解得 -2x=8k-4
　　即 x=2(1-2k)
　　(1)已知方程的解是非负数，所以
　　
　　(2)已知方程的解是负数，所以
　　
　　例9 当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：
　　(1)是负数 (2)大于-4
　　(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
　　分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
　　解：(1)根据题意，应求不等式
　　-3x+5＜0的解集
　　解这个不等式，得
　　　
　　
　　(2)根据题意，应求不等式
　　-3x+5＞-4的解集
　　解这个不等式，得
　　x＜3
　　所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．
　　(3)根据题意，应求不等式
　　-3x+5＜-2x+3的解集
　　-3x+2x＜3-5
　　-x＜-2
　　x＞2
　　所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．
　　(4)根据题意，应求不等式
　　-3x+5≤4x-9的解集
　　-3x-4x≤-9-5
　　-7x≤-14
　　x≥2
　　所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．
　　例10
　　　　
　　分析：
　　　　
　　解不等式，求出x的范围．
　　解：
　　
　　说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．
　　例11 三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．
　　分析：
　　　
　　解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1
　　根据题意，列不等式，得
　　n-1+n+n+1≤17
　　
　　所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
　　说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．
　　例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电最多多少分钟，水温才适宜？
　　分析：设通电最多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
　　答案：通电最多24分，水温才适宜．
　　说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．
　　例13 矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？
　　解：设引火线长为x厘米，
　　
　　根据题意，列不等式，得
　　
　　解之得，x≥48(厘米)
　　答：引火线至少需要48厘米．
　　*例14 解不等式|2x+1|＜4．
　　 解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4＜y＜4时，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，得：