6.2菱形(2)

(共29张PPT)
1.一组邻边_________的__________叫做菱形.
相等
平行四边形
2.菱形的四条边都_________.
菱形的对角线互相_________,并且每条对角线_____________.
相等
垂直
平分一组对角
3.菱形的面积=________=_________________
底×高
对角线乘积的一半
1.(1)已知菱形ABCD的边长为4, ∠DAB=60°,则对角线BD=____,AC= ____ ,面积S菱形ABCD=________.
(2)已知菱形ABCD的两条对角线长分别为2cm, cm,则菱形ABCD的边长为_____cm.
2.已知点E为菱形ABCD的一条对角线AC上的任意一点,连结BE并延长交AD于点F,连结DE.
求证:∠AFB=∠CDE.
A
B
C
D
F
E
4
4√3
8√3
√3
四边形集合
平行四边形集合
菱形集合
矩形集合
6.2菱形 (2)
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.
你知道其中的道理吗？
利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片!
取一张长方形纸片,对折两次,并沿图(3)中的斜线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上.
(1)
(2)
(3)
议一议:(1)剪出的这个图形是哪一种四边形 一定是菱形吗
(2)根据折叠, 剪裁的过程,这个四边形的边和对角线分别具有什么性质
(3)一个平行四边形具备怎样的条件,就可以判定它是菱形
1
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形.
我思,我进步
已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.
分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:
∵AB=BC=CD=DA,
∴AB=CD,BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形..
求证:四边形ABCD是菱形.
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
C
B
D
A
菱形的判定
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
我思,我进步
2
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD,O为垂足.
求证:四边形ABCD是菱形.
分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.
证明:
∴AO=CO.
∵AC⊥BD,
∴ DA=DC.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是菱形.
D
B
C
A
O
(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.四条边都相等的四边形是菱形.
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题还是假命题 为什么
想一想
怎样判别一个四边形(平行四边形)是菱形
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形.
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
在四边形ABCD中,
∵AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
C
B
D
A
D
B
C
A
O
几何语言：
几何语言：
收获：
判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相平分的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是菱形．
不正确
不正确
正确
不正确
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
学以致用
已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。
证明:
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形
∵DE∥AC,
∴平行四边形AEDF是菱形.
∴∠ADE=∠DAF.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAE=∠DAF.
∴AE=ED.
∴∠DAE=∠ADE.
例2:在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F. 求证:四边形AFCE是菱形.
A
B
F
1
2
C
D
O
E
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//FC(矩形的定义)
∴∠1=∠2
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO.
∴四边形是平行四边形 (对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∴四边形AFCE是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
1.将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1,A1D1交CD于点E,A1B1交BC于点F.判断四边形A1FCE是不是菱形,并说明理由.
A
B
C
D
F
E
B1
A1
C1
D1
(课内练习)
解:
是菱形.
理由:
连结D D1,
∵AB1∥D D1,
AB1=D D1,
∴四边形AA1D1D是平行四边形
∴AD ∥ A1D1,
又AD ∥ BC
∴A1E ∥ FC,
同理可证:
A1F∥ EC,
∴四边形A1 ECF是平行四边形
又∵∠EA1C=∠DAC =∠EC A1， ∴ A1E=CE
∴四边形A1ECF是菱形
(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
2.求证:有一条对角线平分一个内角的平行四边形
是菱形.
已知:如图 中,
AC平分
∠BAD,
求证：
是菱形
D
A
B
C
证明:
∵ AC平分∠BAD
∴ ∠DAC= ∠BAC
又∵ AB ∥ DC
∴ ∠BAC= ∠DCA
∴ ∠DAC= ∠DCA
∴ DA= DC
∴ □ABCD是菱形
(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
菱形的性质 菱形的判定
四边都相等
互相平分、垂直且
平分一组对角
中心对称、轴对称
四边相等的四边形
一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直
的平行四边形
菱形的性质与判定
边
角
对角线
对称性
回头看收获！
布置作业:
1、复习、整理、巩固今天所学知识,
2、作业本(1).6.2(2)基础练习必做，希望完成综合运用.
3、课课练A6.2 (2)课后作业必做,
当堂训练选做.
4.预习下一节课
DE,EF是△ABC的两条中位线,我们探究的问题是:这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的形状有什么关系.建议按下列步骤探索:
(1)围成的四边形是否必定是平行四边形
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形
(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形
(4)你还能发现其他什么结论吗
A
B
C
D
F
E
1.已知:在四边形ABCD中,AC=BD,E、 F、G、H依次是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形.
D
A
H
B
E
F
C
G
2.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
A
B
C
D
1.如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
O
解:∵花坛ABCD是菱形
∴AC⊥BD, ∠ABO= ∠ABC=300
在Rt△OAB中 ,AO= AB= ×20=10(m),
BO= = ≈17.32(m).
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m),
BD=2BO ≈34.64(m).
花坛的面积
S菱形ABCD=4× S △OAB=AC×BD ≈346.40(m2).
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC
于F,四边形AEFG是菱形吗
A
C
D
B
F
E
G
A
D
C
B
∟
∟
E
F
3.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
请你动脑筋
1、已知,在菱形ABCD中,∠BAD= ,现将一块含 角的三角尺AMN(其中∠NAM= )叠放在菱形上,然后将三角尺绕点A旋转.在旋转过程中,设AM交边BC于点E,AN交边CD于点F,那么BE+DF与AB有着怎样的数量关系 请你通过动手操作、度量、猜想、验证等方法予以探索。
挑战自我
2.菱形ABCD中∠ABC=60°,AB=4cm,P为BD上任意一点,E为BC中点,求PE+PC的最小值.
3.如图，将一张边长为4的菱形纸片ABCD固定在一个建立了平面直角坐标系的木板上，A，B在x轴上，D在y轴的正半轴上，C在第一象限， ∠BAD=60° 。
（1）求A、B、C、D的坐标；
（2）求过B、C两点的直线的解析式。
A
D
C
B
x
y
O
E