浙教版数学九年级上册1.1二次函数教案

浙教版九上数学
第一章
二次函数
1.1二次函数
教学目标
理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.
教学重点
理解掌握二次函数的概念和一般形式.
教学难点
会列二次函数表达式解决实际问题.
教学过程
知识回顾
1、一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0
(a、b、c是常数，a≠0)
我们已学过哪些函数？
一次函数
y=kx+b(k、b是常数，k≠0)
反比例函数
讲授新课
二次函数的定义
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系：
1、圆的半径是x（cm），则它的面积y与半径x之间的函数关系式是
.
2、王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期.两年后王先生共得本息y元与年存款利率x之间的函数关系式是
y=2(1+x)2=2x2+4x+2
3、
总长为60的篱笆围成矩形场地，矩形面积y与矩形一边长x之间的关系是y=(30-x)x=30x-x2
上面三个表达式中，函数表达式具有什么共同特征？
y=x2
y=2(1+x)2=2x2+4x+2
y=(30-x)x=30x-x2
自变量的最高次数都是2，是二次函数
归纳总结：
二次函数的定义：一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠
0)的形式，则称y是x的二次函数.
其中a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时，
y＝ax2＋c
当c＝0时，
y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时，
y＝ax2
提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠
0;
（3）等式的右边最高次数为
2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
（4）x的取值范围通常是任意实数
做一做
1、下列函数中,哪些是二次函数?
提示（3）（4）需要先化简，后判断
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：（1）二次项系数：1，一次项系数0，常数项1；
（2）二次项系数：-3，一次项系数7，常数项-12；
（3）二次项系数：-2，一次项系数2，常数项0.
二、列函数关系式
例1
如图，一张正方
形纸板的边长为2cm，将
它剪去4个全等的直角
三角形
(图中阴影部
分
)
，设AE=BF=CG=DH=x(cm)，
四边形
EFGH的面积为y(cm2)。
(l)求y关于
x的函数解析式和自变量x的取值范围。
y=22-4×(2-x)x=2x2-4x+4(0当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75
时
，求对应的四边形EFGH的面积y，并列表表示.
x
0.25
0.5
1
1.5
1.75
y
3.125
2.5
2
2.5
3.125
(3)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？
随着x的取值的增大，y的值先变小后变大
求二次函数的表达式
例2
已知二次函数y=
x2+bx+c，当x=1时，函数值是4；当x=
2
时，函数值是
-5；求这个二次函数的表达式。
解：把先x=1,y=4;x=2,y=-5分别代入函数式y=x2+bx+c,
∴此二次函数的表达式为y=x2-12x+15
当堂练习
1、下列函数中，哪些是二次函数？
2、写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数
二次项系数
一次项系数
常数项
1
2
-1
1
0
0
-3
0
2
3、函数
y=(m-n)x2+
mx+n
是二次函数的条件是(
c
)
A
.
m,n是常数,且m≠0
B
.
m,n是常数,且n≠0
C.
m,n是常数,且m≠n
D
.
m,n为任何实数
4、矩形的周长为16cm,它的一边长为x
cm,面积为y
cm2.
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x
(0＜x＜8)
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15
(cm2
).
5、
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知
（2）由题可知
注意：第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视
6、已知二次函数y=
ax2+bx+c，当x=2时，y=
3；当x=-2
时，y=
2；当x=
4
时，y=
2.求二次函数表达式。
解：把x=2，y=
3；x=-2
，y=
2；当x=
4
，y=
2分别代入函数式，
得到方程组
∴此二次函数的表达式为
课末小结
教学反思
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，
A
B
E
F
C
G
D
H
X
X
X
X
2–X
2–X
2–X
2–X
4+2b+c=-5
1+b+c=4
得方程组
解得
b=-12
C=15
m2-7=1
m+3≠0
解得：m=3
m2-7=2
m+3≠0
4a+2b+c=3
4a-2b+c=2
16a+4b+c=2
解得
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a
≠0.
定义
y=ax2+bx+c(a
≠0，a,b,c是常数)
一般形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a
≠0，a,b,c是常数).
特殊形式
二次函数