第1章 三角形的初步认识单元提高测试卷（含解析）

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2020-2021浙教版八年级数学上册第1章三角形的初步认识单元提高测试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.有4根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为(??
)
A.?1个?????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.下列命题中，是真命题的是（???
）
A.?互补的角是邻补角????????B.?相等的角是对顶角????????C.?同旁内角互补????????D.?两直线平行，内错角相等
3.如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（??
）
A.?∠1+∠2＝2∠A???????????
?B.?∠2﹣∠A＝2∠1?????????????
??C.?∠2﹣∠1＝2∠A???????????????D.?∠1+∠A＝
∠2
4.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明
的依据是（?????
）
A.?SSS?????????????????????B.?ASA??????????????????????C.?AAS??????????????????????????????D.?以上都不对
5.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（???
）
A.?1个????????????????????????B.?2个??????????????????????C.?3个???????????????????????????????D.?4个
6.现要在一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（????
）
A.?△ABC的三条中线的交点????????????????????????????B.?△ABC三边的垂直平分线的交点
C.?△ABC三条角平分线的交点?????????????????????????D.?△ABC三条高所在直线的交点
7.如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A.?∠ABC＝∠DCB????????????????????B.?∠ABD＝∠DCA?????????????????
?C.?AC＝DB?????????????????????
D.?AB＝DC
8.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=76°，∠C=64°，则∠DAE的度数是（???
）
A.?10°???????????????????????????????????????B.?12°???????????????????????????????????????C.?15°???????????????????????????????????????D.?18°
9.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D
，
交AB于点E
，
如果
?cm，?
?cm，那么△
的周长是（??????
）
A.?6
cm??????????????????????????????????B.?7
cm??????????????????????????????????C.?8
cm?????????????????????????????????D.?9
cm
10.如图，△ABE，△ADC是△ABC分别沿着边AB，AC翻折形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，BE与DC交于点F，则∠BFC的度数为（???
）
A.?15°???????????????????????????????????????B.?20°???????????????????????????????????????C.?30°???????????????????????????????????????D.?36°
二、填空题（共6题；共18分）
11.如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F，若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠A=________。
12.在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，根据三角形按角进行分类，这个三角形是________三角形．
13.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°，则x=________。
14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2
，
AB=8cm，AC=6cm，则DE的长为________cm．
15.将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式________.
16.如图，△ABC的面积为49cm2
，
AE＝ED，BD＝3DC，则图中△AEF的面积等于________.
三、解答题（共7题；共52分）
17.如图，在
和
中，点
、
、
、
在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由（写出各种可能的情况，并选择其中一种说理）．
①
；②
；③
；④
．
18.如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以说明．
19.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°-
∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
20.如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP=
∠DAB，∠DCP=
∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
21.课堂上，老师在黑板上出了一道题：在同一平面内，若∠AOB=70°，∠BOC=15°24′36″,求∠AOC的度数.
下面是八年级同学小明在黑板上写的解题过程：
解：根据题意可画出图（如图1）
因为∠AOB=70°，∠BOC=15°24′36″,
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC
=70°+15°24′36″
=85°24′36″
即得到∠AOC=85°24′36″
同学们在下面议论，都说小明解答不全面，还有另一种情况.请按下列要求完成这道题的求解.
（1）依照图1，用尺规作图的方法将另一种解法的图形在图2中补充完整.
（2）结合第（1）小题的图形写出求∠AOC的度数的完整过程.
22.如图
（1）思考探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°.求∠A和∠P的度数.
（2）类比探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠P＝n°.求∠A的度数（用含n的式子表示）.
（3）拓展迁移：已知，在四边形ABCD中，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，∠P=n°，请画出图形；并探究出∠A+∠D的度数（用含n的式子表示）.
23.已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G.
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120?，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由.
答案
1、选择题
1.解：可搭出不同的三角形为：
2cm、3cm、4cm；2cm、4cm、5cm；3cm、4cm、5cm共3个.
故答案为：C.
2.解：互补的角不一定是邻补角，所以A不符合题意，
相等的角不一定是对顶角，所以B不符合题意，
同旁内角不一定互补，所以C不符合题意，
两直线平行，内错角相等，是平行线的性质之一，所以D符合题意．
故答案为：D．
3.解：如图：分别延长CE、BD交于A′点，
而根据折叠可以得到∠EA′A＝∠EAA′，∠DA′A＝∠DAA′，
∴∠2＝∠EA′A+∠EAA′=2∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′=2∠DAA′，
∴∠2﹣∠1＝2（∠EAA′﹣∠DAA′）＝2∠EAD.
故答案为：C.
4.解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故答案为：A.
5.解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；
条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④共3个.
故答案为：C.
6.解：∵角平分线上的点到这个角两边的距离相等
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点.
故答案为：C.
7A、∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ACD+∠ACB，
即∠ABC＝∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；
C、∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意；
D、根据∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，AB＝DC不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故答案为：D.
8.解：
，
，
，
是
的角平分线，
，
，
．
故答案为：B．
9.解：∵AC是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴CD+BD=CD+AD=AC=5
∴△DBC的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）.
故答案为：D.
10.如图，设AE和DF交于M点，
∵
∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，
∴∠BCA=180°×=140°，
∠ABC=180°×=25°，
∠BAC=180°×=15°，
由折叠的特点可知，∠EAD=3∠BAC=3×15°=45°，∠D=∠ABC=25°，
∠BEA=∠BCA=140°，
∴∠FME=∠AMD=180°-∠D-∠MAD=180°-25°-45°=110°，
∠FEM=180°-∠BCA=180°-140°=40°，
∴∠BFE=180°-∠FME-∠FEM=180°-110°-40°=30°.
故答案为：30°.
二、填空题
11.解：∵AB∥CD
∴∠ABE=∠EFC=130°
∵∠E=30°
∴∠A=180°-130°-30°=20°
故答案为：20°.
12.设三角分别是a，2a，3a
则a+2a+3a=180°
解a=30°
所以三角分别是30°，60°，90°
故这个三角形是直角三角形
故答案：直角
13.解：在△ABC中，∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=80°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=
，
∴
.
故答案为：140°.
14.解：
为
的平分线，
，
，
，
面积
，
即
，
解得
．
故答案为：3．
15.命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.
16.解：如图：
∵BD＝3DC，△ABC的面积为49cm2
，
∴S△ABD＝S△ABC＝cm2
，
S△ADC＝S△ABC＝cm2，
∵AE＝ED，
∴S△BED＝S△ABD＝cm2
，
S△AEF＝S△EFD
，
∴S△BDF＝S△BED＋S△AEF＝＋S△AEF
，
∵BD＝3DC，
∴S△FDC＝S△BDF＝＋S△AEF
，
∵S△ADC＝S△AEF＋S△EFD＋S△FDC
，
∴＝2S△AEF＋＋S△AEF
，
∴S△AEF＝cm2.
故答案为：
.
三、解答题
17.解：已知条件是①，②，④．结论是③．
说理过程：因为
（已知），
所以
（等式性质）．即
．
在
和
中，
所以
所以
（全等三角形的对应角相等）．
18.
解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM.(任写其中两对即可)
选择△AEM≌△ACN，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD.
∴∠EAM＝∠CAN.
在△AEM和△ACN中，
∴△AEM≌△ACN(ASA)．
选择△ABN≌△ADM，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
选择△BMF≌△DNF，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
∴AN＝AM.∴BM＝DN.又∵∠B＝∠D，∠BFM＝∠DFN，∴△BMF≌△DNF(AAS)．
(任选一对进行说明即可)
19.
（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=
∠BAC，∠FCA=
∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=
×（180°-∠B）=90°-
∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°-
∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
20.
（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P=
（∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P=
（38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP=
∠DAB，∠DCP=
∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P=
（∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P=
（β+2α）
21.
（1）解：如图，
（2）解：当OC在∠AOB的外部时，
∠AOC=∠AOB+∠BOC
=70°+15°24′36″
=85°24′36″；
当OC在∠AOB的内部时，
∠AOC=∠AOB-∠BOC
=70°-15°24′36″
=54°35′24″
即得到∠AOC=54°35′24″或85°24′36″．
22.
（1）解：∠A＝30°，∠P＝15°
∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝100°
∴∠ACB＝80°，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ABC＝70°，
∴∠A＝30°，
∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴∠PCD＝
∠ACD＝50°，∠PBC＝
∠ABC＝35°
∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∠PCB+∠PCD＝180°
∴∠PCD＝∠PBC+∠P
∴∠P＝50°－35°＝15°
（2）解：结论：∠A＝2n°，理由如下：
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），
又∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，
∴∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC）（等量替换），
∴∠A+∠ABC＝2∠P+2∠PBC，
∴∠A+∠ABC＝2∠P+∠ABC（等量替换），
∴∠A＝2∠P；
∴∠A＝2n°
（3）解：（Ⅰ）如图②延长BA交CD的延长线于F.
∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA
＝180°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠D）
＝∠A+∠D﹣180°，
由（2）可知：∠F＝2∠P＝2n°，
∴∠A+∠D＝180°+2n°。
（Ⅱ）如图③，延长AB交DC的延长线于F.
∵∠F＝180°﹣∠A﹣∠D，∠P＝
∠F，
∴∠P＝
（180°﹣∠A﹣∠D）＝90°﹣
（∠A+∠D）.
∴∠A+∠D＝180°﹣2n°
综上所述：∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n°
；
23.
（1）解：结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120?，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60?（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60?，
∴∠MCO=90?-60?
=30?，∠NCO=90?-60?
=30?，
∴∠MCN=30?+30?=60?，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
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精品试卷·第
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