第4章 相似三角形单元提高测试卷（含解析）

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浙教版九年级数学上册第4章相似三角形单元提高测试卷解析版
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知
，它们的周长分别为30和15，且
，则
的长为
??
A.?3??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?5
2.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为（??
）
A.?20cm????????????????????????????????B.?10cm??????????????????????????????C.?8cm??????????????????????????????D.?3.2cm
3.如图，DE，NM分别是△ABC，△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（????
）
A.?1：5?????????????????????????????????B.?1：4??????????????????????????????????C.?2：5??????????????????????????????????D.?2：7
4.如图,
在Rt△ABC中,
∠ACB
=
90°,
?AB
=
10,
?AC
=
6,
CE∥AB,
∠BAC的平分线AE交BC于点D,
则DE的长为（?
）
?
A.?????????????????????????????????B.?3
????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
5.路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（????
）
A.?6.75米????????????????????????????B.?7.75米????????????????????????????????C.?8.25米????????????????????????????????D.?10.75米
6.如图，将正方形
折叠，使顶点
与
边上的一点
重合（
不与端点
，
重合），折痕交
于点
，交
于点
，边
折叠后与边
交于点
，设正方形
的周长为
，
的周长为
，则
的值为（???
）
A.????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?2
7.两个全等的等腰直角三角形，斜边长为2，按如图放置，其中一个三角形45°角的项点与另一个三角形的直角顶点A重合，若三角形ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E、F，设BF=
CE=
则
关于
的函数图象大致是（???
）
A.?????????????????????B.????????????????????????C.???????????????????????D.?
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，
四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），顶点C在反比例函数y=
的图像上，若
AD:AB=1：2，则k的值是（??
）
A.?8????????????????????????????????????????B.?10????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????D.?6
9.如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=
，则BF=2；正确的结论有（??
）个
A.?4??????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
10.如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF=5EF=5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG=(?
?)
A.?2
??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
二、填空题（共6题；共18分）
11.已知
，则
＝________.
12.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
的值等于________.
13.矩形ABCD中，E,F,M分别为AB,BC,CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM则BF的长为________.
14.如图，直线l与反比例函数y＝
（k≠0）的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为________．
15.如图，
（点
，
分别与点
，
对应），
，
．
固定不动，
运动，并满足点
在
边从
向
移动（点
不与
，
重合），
始终经过点
，
与
边交于点
，当
是等腰三角形时，
________．
16.将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1
，
A2
，
A3…A2019和点M，M1
，
M2…M2018是正方形的顶点，连接AM1
，
AM2
，
AM3…AM2018分别交正方形的边A1M，A2M1
，
A3M2…A2018M2017于点N1
，
N2
，
N3…N2018
，
四边形M1N1A1A2的面积是S1
，
四边形M2N2A2A3的面积是S2
，
…，则S2018为________．
三、解答题（共7题；共52分）
17.已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．
18.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G.
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长.
20.如图，在
的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，
是一个格点三角形．
（1）在图
中，请判断
与
是否相似，并说明理由；
（2）在图
中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与
的位似比为2：1
（3）在图
中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与
相似，且有一条公共边和一个公共角．
21.如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD
，
交CD于点F
．
（1）如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；
（2）在(1)的条件下，求
的值；
（3）如图2，延长AF交BC的延长线于点G
，
延长AE交DC的延长线于点H
，
连接HG
，
当CG=DF时，求证：HG⊥AG
．
22.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S.
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
（3）在（2）的条件下，BP＝2，CQ＝9，则BC的长为________.
答案
一、选择题
1.解：
和
的周长分别为30和15，
和
的周长比为
，
，
，即
，
解得，
，
故答案为：A.
2.解：设投影三角尺的对应边长为
，
三角尺与投影三角尺相似，
，
解得
．
故答案为：A．
3.解：∵
DE，NM分别是△ABC，△ADE的中位线
，
∴DE：BC=1：2，MN：AE=1:2，DE∥BC，MN∥AE，
点A到DE的距离等于点E到BC的距离且设距离为h，
∴△DMN∽△DEA，四边形EMFC是平行四边形，
S△DMN：S△DEA=1:4，CF=ME=DE，
∵△ADE的面积=×DE×h，四边形EMFC的面积=ME×h=DE×h,
∴△ADE的面积=四边形EMFC的面积
∴
S△DMN：S四边形MFCE=1:4.
故答案为：B.
4.解：∵∠ACB=90°,
?AB=10,
?AC=6，
∴BC=8.
∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠CEA.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠CEA=∠CAE，
∴CE=AC=6.
∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∴
，
∴CD=3，
∴AD==
，
∴
，
即DE=.
故答案为：A.
5.解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM:MG=DF:DE
即AM:（5+2）=3:4
解得
?AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
6.设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，
∵将正方形
折叠，使顶点
与
边上的一点
重合，
∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，
∴DH=a-x，EH=a-y，
∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠CHG=∠DEH，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DEH∽△CHG，
∴
，即：
，
∴CG=
，HG=
，
在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2
，
即（a-y）2=y2+（a-x）2
，
∴x2=2a（x-y），
∴n=CH+HG+CG=x+
+
=
=2a，
∴
=
=2，
故答案为：D．
7.解：如图：
由题意得∠B＝∠C＝45°，∠G＝∠EAF＝45°，
∵∠AFE＝∠C+∠CAF＝45°+∠CAF，∠CAE＝45°+∠CAF，
∴∠AFB＝∠CAE，
∴△ACE∽△ABF，
∴∠AEC＝∠BAF，
∴△ABF∽△CAE，
∴
，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC＝2，
∴AB＝AC＝
，又BF＝x，CE＝y，
∴
，
即xy＝2，（1＜x＜2）．
故答案为：C．
8.如图，过点C作
轴于点E
点A的坐标为
，点B的坐标为
四边形ABCD是矩形，
，
又
，即
解得
点C的坐标为
将点
代入反比例函数的解析式得：
解得
故答案为：B.
9.在正方形ABCD中，AD=CD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，
而∠FDG与∠CDE不一定相等，
∴∠DGN与∠DNG不一定相等，故判断出①不符合题意；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），
∴△BFG∽△EDG，
∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，
∴△EDG∽△BDE，
∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②符合题意；
如图，连接BM、DM
．
∵△AFD≌△CED，
∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，
∴∠FDE=∠ADC=90°，
∵M是EF的中点，
∴
∵
∴MD=MB，
在△DCM与△BCM中，
，
∴△DCM≌△BCM（SSS），
∴∠BCM=∠DCM，
∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，
∴MC垂直平分BD；故③符合题意；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，
∵
，
∴
，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴BF=2MH=2，故④符合题意；
综上所述，正确的结论有②③④．
故答案为：B．
10.解：连接CF、FG，
∵正方形ABCD中，∠EAD=∠ADC=90°，AF⊥DE，
∴∠AFD=∠EAD=90°，又∠ADF=∠EDA，
∴△AFD∽△EAD，
∴
，
又∵DF=5EF=5，∴EF=1，ED=6，
∴AD=
，
在Rt△AFD中，AF=
=
，
∵∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC.
∴
，
∴
，
∴AG=
，
∴DG=AD﹣AG=
，
故答案为：D.
二、填空题
11.解：∵
，
∴
＝
＝
.
故答案为：.
12.解：∵AB∥CD∥EF，
∴
＝
＝
＝
.
故答案为：
.
13.∵四边形ABCD
是矩形，
∴∠B=∠C=90?
，
CD=AB=6
，
∵AE=3
，
DM=2
，
∴BE=3
，
CM=4
，
∵EF⊥FM
，
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠MFC=90?
，
∴∠BEF=∠CFM
，
∴△BEF∽△CFM
，
∴
，
即
，
解得：BF=3或4
，
14.解：
，
设
，
，
如图1，过
作
，交
于
，
，
平分
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，
的面积为15，
如图2，过
作
轴于
，过
作
轴于
，
，
，
，
，
，
设
，
，
直线
与反比例函数
的图象在第二象限交于
、
两点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
15.解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，
∵∠AEB=∠MAE+∠C，∠EMC=∠MAE+∠AEM=∠MAE+∠B=∠MAE+∠C
∴∠AEB=∠EMC
又∵∠B=∠C
∴△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴
∴
∴
．
故答案为：
或
．
16.解：如图所示，设左边第一个正方形左上角的顶点为O
∵将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列
∴OA∥MA1∥M1A2∥M2A3∥…∥M2018A2019
∴△M1MN1∽△M1OA
∴
，
∴
，
∴四边形M1N1A1A2的面积是
；
同理可得：
；
∴四边形M2N2A2A3的面积
；
…
∴四边形MnNnAnAn+1的面积
；
∴
；
故答案为：
．
三、解答题
17.
证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴
＝
＝
，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB.
18.
解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴
＝
，即
，
解得OB＝
h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴
，
②，
把①代入②得，
，
解得：h＝9（米）.
答：路灯离地面的高度是9米.
19.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中，
，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）解：由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE＝
，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴
，
∴
，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4
，
∵AC＝AG+GC，
∴AG＝
，CG＝
，
∴GE＝GC﹣CE＝
＝
.
20.
（1）解：如图
所示：
与
相似，
理由：
；
，
，
与
相似；
（2）解：如图
所示：
即为所求；
（3）解：如图
所示：
和
即为所求．??
21.
（1）解：如图1，延长BC交AF的延长线于点G，
∵AD∥CG，
∴∠DAF=∠G，
又∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴EA=EG，
∵点F为CD的中点，
∴CF=DF，
又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，
∴△ADF≌△GCF(AAS)，
∴AD=CG，
∴CG=BC=BE+CE，
∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；
（2）解：设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2
，
即(a+b)2+b2=(2a+b)2
，
解得b=3a，b=﹣a(舍)，
∴
；
（3）解：如图2，连接DG，
∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，
∴△ADF≌△DCG(SAS)，
∴∠CDG=∠DAF，
∴∠HAF=∠FDG，
又∵∠AFH=∠DFG，
∴△AFH∽△DFG，
∴
，
又∵∠AFD=∠HFG，
∴△ADF∽△HGF，
∴∠ADF=∠FGH，
∵∠ADF=90°，
∴∠FGH=90°，
∴AG⊥GH．
22.
（1）解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵BC＞AB，
∴BC＝4，AB＝3，
∵OA＝2OB，
∴OA＝2，OB＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点D的坐标为（﹣2，4）
（2）解：设BP交y轴于点F，
如图1，当0≤t≤2时，PE＝t，
?
∵CD∥AB，
∴△OBF∽△EPF，
∴
＝
，即
＝
，
∴OF＝
，
∴S＝
OF?PE＝
?
?t＝
；
如图2，当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，
∵OE∥AD，
∴△OBF∽△ABP，
∴
＝
，即
＝
，
∴OF＝
，
∴S＝
?OF?OA＝
×
×2＝﹣
t+2；
综上所述，S＝
（3）解：由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形；
当点P在DA上运动时，设P（﹣2，m），
∵B（1，0），E（0，4），
∴BP2＝9+m2
，
BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，
①???
当BP＝BE时，9+m2＝17，解得m＝±2
，
则P（﹣2，2
）；
②当BP＝PE时，9+m2＝m2﹣8m+20，解得m＝
，
则P（﹣2，
）；
③当BE＝PE时，17＝m2﹣8m+20，解得m＝4±
，
则P（﹣2，4﹣
）；
综上，P（﹣2，2
）或（﹣2，
）或（﹣2，4﹣
）
23.
（1）解：证明：如图1中，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，
∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴△BPE≌△CEQ
（2）解：如图2中，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴△BPE∽△CEQ
（3）
解：（3）∵△BPE∽△CEQ，
∴
＝
，
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，
∴BE2＝18，
∴BE＝CE＝3
，
∴BC＝2BE＝6
.
故答案为：6
.
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精品试卷·第
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