二次函数专题复习
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文档简介
二次函数专题复习
【课标要求】
1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义.
2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并解决简单的实际问题.
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【知识网络】
第1讲 二次函数
【知识要点】
1.二次函数的定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）个单位得到函数y=ax2；将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“+”）平移h（h﹥0）个单位得到y=a（x.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（（左加右减）．
【典型例题】
例1抛物线y=（x－2）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （－2，3） B .（2，3） C .（－2，－3） D .（2，－3）
分析：考查由二次函数的顶点式y=a（x－h）2+k，确定顶点坐标（h，k）
解：B
例2 将二次函数y=x2+4x－8，化为y=（x+m）2+n的形式正确的是（ ）
A. y=（x+2）2－8 B. y=（x+2）2－4 C.y=（x+2）2+12 D. y=（x+2）2－12
分析：考查配方法．解：D
例3二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）
A .y=x2－2 B. y=（x－2）2 C. y=x2+2 D. y=（x+2）2
分析：考查函数图象平移的规律，关键看抛物线的顶点移动前后的位置（即坐标），抛物线形状未变.
解：C
例4 已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1
(1)根据表中给出的值，计算对应的函数值，并填在表格中；
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y1=2x
y2=x2+1
(2)观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。
分析：证明y1≤y2，可以说明y2－y1≥0
解：（略）
【知识运用】
一、选择题
1.下列函数中,是二次函数的是( )
A . B. y=2x2 C. y=x2－2x3+1 D .y=x+
2.抛物线y=（x－1）2+2的对称轴是( )
A.直线x=－1 B.直线x=1 C.直线x=2 D.直线x=－2
3.已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
A .1 B. 2 C.－2 D. 2或－2
4. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2－3x+5,则有( )
A .b=3,c=7 B. b=－9,c=－15 C. b=3,c=3 D. b=－9,c=21
二、填空题
5.平移抛物线y=x2+2x－8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式 ．
6.若将二次函数y=x2－2x+3配为y=(x－h)2+k的形式,则y= ．
7.已知二次函数y=ax2+bx－1的图象如图20－1－1所示,则点(a,b)关于原点的对称点在第______ 象限．
三、解答题
8.等边三角形边长为x，面积为y，求x与y之间的函数关系式．
9.把一个长为100m，宽为60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，如果把游泳池的长增加x m．
（1）写出扩建后面积y（m2）与x（m）之间的关系式；
（2）水上游乐场的面积能否达到20000m2？
第二讲 二次函数的图象及性质
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是以（－，）为顶点，以x=－为对称轴的一条抛物线.
2、在画二次函数的图象时应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴交点，与y轴交点.
3、抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系：
当a﹥0时，开口向上，a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴.在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大.此时，y有最小值y=，顶点（－，）为最低点.（同样的方法，分析当a﹤0时的情况）
ab﹥0时，对称轴在y轴左侧；ab=0时，对称轴是y轴；ab﹤0时，对称轴在y轴右侧.c﹥0时，与y轴正半轴相交；c=0时，经过原点；c﹤0时，与y轴负半轴相交.
【典型例题】
例1 用列表法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时先列一个表,当表中自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的值依次为20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一个值不正确,这个不正确的值是( )
A. 506 B .380 C. 274 D .182
分析：考查二次函数的性质,56－20=36,110－56=54,182－110=72,274－182=92,380－274=106,506－380=126,显然274这个值不正确.
解：C
例2 已知二次函数y=ax2－2x+3的图象如图20－2－1 ,则一次函数y=ax+3的图象不经过( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
分析：考查二次函数的图象的特征,观察图象可知a﹤0,又根据
3﹥0,可推断一次函数y=ax+3的图象经过第一、二、四象限.
解：C
例3 图20－2－2中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）
A. h=m B .k=n C. k﹥n D .h﹥0，k﹥0
分析：考查在同一直角坐标系下，不同的抛物线的特征与相应
字母系数的关系．
解：B
例4 心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)
①x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强 x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低
②第10分时,学生的接受能力是多少
③第几分时,学生的接受能力最强
分析：解决这类问题先求二次函数的顶点坐标,再结合开口方向及自变量的取值范围,画出草图,观察图象得出结论.
解：①y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1(x－13)2+59.9
草图如图20－2－3 ,所以, 当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强;
当13﹤ x≤30时,学生的接受能力逐步降低.
②当x=10时, y=－0.1(x－13)2+59.9=59,即第10分时,学生的接受能力是59.
③当x=13时,y取最大值.所以第13分时,学生的接受能力最强.
【知识运用】
一、选择题
1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ ）
A .－1 B. 0 C. 1 D .2
2．关于二次函数y=(x+2)2－3的最大(小)值,叙述正确的是( )
A. 当x=2时,有最大值－3 B.当x=－2时,有最大值－3
C.当x=2时,有最小值－3 D.当x=－2时,有最小值－3
3．已知a﹤－1,点(a－1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则( )
A. y1﹤y2﹤y3 B. y1﹤y3﹤y2 C. y3﹤y2﹤y1 D. y2﹤y1﹤y3
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图20－2－4 所示,则下列结论正确的是( )
A. a﹥0,b﹤0,c﹥0 B. a﹤0,b﹤0,c﹥0
C. a﹤0,b﹥0,c﹤0 D. a﹤0,b﹥0,c﹥0
二、填空题
5．在二次函数y=ax2+bx+c（c≠0）中，已知b是a、c的比例中项，且当x=0时，y=－4，那么y的最值为 （说明最大值还是最小值）
6．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图象表示的函数关系式为
三、解答题
7．已知正方形周长为x cm，面积为y cm2.
（1）写出x与y的函数关系式；
（2）画出图象；
(3)根据图象回答，当y=cm2时，正方形的周长.
8．某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图20－2－5 ，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的那些信息？
第三讲 二次函数与方程（组）
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点△﹥0抛物线与x轴相交.②有一个交点△=0抛物线与x轴相切.③没有交点△﹤0抛物线与x轴相离.
2．一次函数y=kx+n（k≠0）的图象L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象G的交点，由方程组的解的数目确定：①当方程组有两个不同的解时L与G有两个交点；②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G有没有交点.
【典型例题】
例1 若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c= （只要求写出一个）
分析：考查二次函数的图象的性质，其实，当c=4时，二次函数y=（x－2）2与x轴只有一个交点，因而当c﹥4，二次函数与x轴没有交点.
解：5（答案不唯一）
例2 二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为
分析：考查二次函数的图象与坐标轴交点的问题.由x2－2x－3=0，得x1=－1，x2=3，然后观察图象，确定点（－1，0）与点（3，0）之间的距离.
解：4
例3 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0)．
(1)求b、c的值．
(2)若抛物线与y轴交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）．
分析：抛物线与x轴交点的横坐标，也就是方程x2+bx+c=0的实数根.因为只有一个实数根，也就是方程有两个相等实数根，即b2－4c=0.再把A点坐标代入，求出b、c的值.△OAB为直角三角形，一条直角边OA=2，另一条直角边为抛物线与y轴交点的纵坐标的绝对值，求出交点B的坐标即可.用勾股定理求出AB的长，最后求得周长.
解：（1）因为抛物线与x轴只有一个交点,所以x2+bx+c=0有两个相等实数根.
所以b2－4c=0.① 又因为A（2，0）在抛物线上，所以4+2b+c=0②， 由①②得，b=－4，c=4.
（2）由（1）得抛物线解析式为y=x2－4x+4，当x=0时，y=4，所以B（0，4），即OB=4.
所以，AB=，所以△OAB的周长为：2+4+2=6+2.
例4 如图20－3－1 ,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该大门的高h.
分析：本题关键是建立坐标系,不同坐标系下,函数形式不一样.
解：如图20－3－2 建立坐标系.
设抛物线解析式为 y=ax2.
把B(9,－h),C(8,－h+1.7)分别代入解析式,得
∴ 解得 ∴该大门的高h为8.1米.
【知识运用】
一、选择题
1. 二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（ ）
A. a﹥0，b2－4ac﹤0 B. a﹤0，b2－4ac﹥0
C. a﹥0，b2－4ac﹥0 D .a﹤0，b2－4ac﹤0
2.抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A .m﹥ B. m﹥－ C. m﹤ D .m﹤－
3.一次函数y=2x－3与二次函数y=x2－2x+1的图象有（ ）
A. 一个交点 B. 两个交点 C .无数个交点 D. 无交点
4.二次函数y=ax2+bx+c的最大值是零，那么代数式的化简结果是（ ）
A. a B. －a C. 1 D .0
二、填空题
5. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1,则a+c=
6. 已知二次函数y=－4x2－2mx+m2与反比例函数y=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2,则m的值是
三、解答题
7. 已知二次函数y=ax2－2的图象经过点(1,－1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.
8. 已知抛物线y=x2－2x－8.
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，且它的顶点为P，求△ABP的面积.
第四讲 二次函数解析式的三种求法
【知识要点】
求二次函数的解析式，要根据具体情况，选择适当方法.二次函数常见的表达式有三种：
（1）已知任意三点求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：把三点坐标值分别代入一般式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c，即可得二次函数解析式.
（2）已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即y=a（x－h）2+k（a≠0）．其方法是：先将顶点坐标（h，k）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
（3）已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式，即y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.其方法是：将抛物线与x轴两交点横坐标x1，x2代入交点式，然后将抛物线上另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
【典型例题】
例1 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A（－1，3）、B（1，3）、C（2，6）三点，则该抛物线的解析式为
分析：因为抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，可将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，得到关于a、b、c的一个三元一次方程组，解之，求出a、b、c.
解：y=x2+2
例2 如图20－4－1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等.直线y=3x－7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M，求这条抛物线的解析式.
分析：因为x=0和x=2时，y的值相等，所以由抛物线的对称性可知，对称轴是x=1.因为y=3x－7与y=ax2+bx+c相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M，所以直线与抛物线的一交点为（4，5），顶点M（1，－4）.
设抛物线解析式为y=a（x－1）－4，把（4，5）代入此式，得a=1.
解：y=x2－2x－3
例3 已知变量y是x的二次函数，且图象如图20－4－2所示，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图象顶点坐标为P（3，－2）.求这个函数的解析式。
分析：因为函数图象顶点坐标为P（3，－2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，
所以抛物线与x轴的两个交点为A（1，0），B（5，0）
设所求二次函数解析式为y=a（x－1）（x－5），图象经过（3，－2），代入，求得a=
解：y=x2－3x+
例4 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为
分析：方法一：因为抛物线的对称轴为x=2，则可设解析式为y=a（x－2）2+b，再将两点坐标代入求出a、b的值.
方法二：将两点坐标代入y=ax2+bx+c中，得到两个方程式，再由x=－=2得到一个方程，然后联立解这个方程组，得a、b、c的值.
方法三：因为抛物线的对称轴是x=1，由线的对称性可知，抛物线与x轴另一交点为（－1，0）.可由交点式求出解析式.
解：y=－x2+2x+
【知识运用】
一、选择题
1.过A(－1,0)、B（3，0）、C（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （1，2） B. （1，） C. （－1，5） D. （2，）
2.二次函数y=mx2+4x+m－1的最小值为2，则m的值为（ ）
A .4 B. 3 C. －1 D. 4或－1
3.已知二次函数y=－x2+bx+c的图象的最高点是（－1，－3），则b与c的值是（ ）.
A. b=2 c=4 B. b=2 c=－4 C. b=－2 c=4 D. b=－2 c=－4
4.若所求的二次函数与抛物线y=2x2－4x－1有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为( )
A. y=x2+2x－4 B. y=ax2－2ax+a－3(a﹥0) C. y=2x2－4x－5 D .y=ax2－2ax+a－3(a﹤0)
二、填空题
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2，7）、B（6，7）、C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是
6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，10）和（2，7）且3a+2b=0。则该抛物线的解析式是
7. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，2）和（3，2）两点，则4a+2b+3的值为
三、解答题
8. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.
9.已知抛物线y=－x2+(m－4)x+2m+4与x轴交于点A(x1,0)、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1﹤x2，x1+2x2=0.若点A关于y轴的对称点是点D.
求：过点C、B、D的抛物线的解析式。
第五讲 用二次函数解决实际问题
【典型例题】
例1 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图20－5－1 ），则需塑料布y（m2）与半径R（m）的函数关系式是（不考虑塑料布埋在土里的部分）
分析：考查在实际问题情况中确定二次函数的表达式，
y=30··2R+，再整理而得.
解：y=30R+
例2某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元.
(1)当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？
(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件.若生产第x档的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？
分析：考查二次函数的应用.
解：（1）当每件利润为16元时，此产品质量在第四档次.
（2）根据题意，得y=[10+2（x－1）][76－4（x－1）]=－8x2+128x+640
当总利润为1080元时，－8x2+128x+640=1080 解得 x1=5，x2=11（不符合题意，舍去）
答：当生产的是第5档次的产品，一天的总利润为1080元．
例3 随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是0.5万元,这种水果市场上的销售量y(t)是每吨的销售价x(万元)的一次函数,且x=0.6时,y=2.4；x=1时,y=2.
(1)求出销售量y(t)与每吨的销售价x(万元)之间的函数关系式；
(2)若销售利润为w(万元),请写出w与x之间的函数关系式,并求出销售价为每吨2万元时的销售利润.
分析：考查二次函数的应用.
解：(1)设y=kx+b ∵x=0.6时,y=2.4;x=1时,y=2 ∴ ∴
∴函数关系式为y=－x+3
(2)∵由已知 w=y·x－0.5y=(－x+3)x－(－x+3)×0.5=－x2+3.5x－1.5
∴当x=2时,w=－22+3.5×2－1.5=1.5 故此时的销售利润是1.5万元．
例4一辆电瓶车在实验过程中,前10s行驶的路程s(m)与时间t(s)满足关系式s=at2，第10s末开始匀速行驶,第24s末开始刹车,第28s末停在离终点20m处,图20－5－2是电瓶车行驶过程中每2s记录一次的图象.
(1)求电瓶车出发到刹车时的路程s(m)与时间t(s)的函数关系式．
(2)如果第24s末不刹车 继续匀速行驶,那么出发多少秒
后通过终点
(3)如果10s后仍按s=at2的运动方式行驶, 那么出发多少秒后通过终点
(参考数据:≈2.24, ≈2.45,计算结果保留两个有效数字)
分析：这是一道综合性问题,考查学生一次函数、二次函数的应用， 以及综合分析问题、解决问题的能力.
解：（1）当0≤t≤10时，点（10，10）在s=at2上，可解得a=0.1，s=0.1t2
当0≤t≤10时,由图象可设一次函数s=kt+b,过(10,10),(24,38),
∴ 解得 ∴s=2t－10
(2)当s=40+20=60时,60=2t－10,∴t=35 即第24s末不刹车继续匀速行驶,那么出发35秒后通过终点．
(3)当s=60时,由s=0.1t2,60=0.1t2,t=(舍去负值) ∴t≈25 即出发25秒后通过终点.
【知识运用】
一、选择题
1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=20t－5t2.当h=20时，小球的运动时间为（ ）
A .20s B. 2s C. （2+2）s D .（2－2）s
2. 苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
3..如图20－5－3，有一抛物线形拱桥，当水线在AB位置时，拱桥离
水面2m，水面宽4m，水线下降1m后，水面宽为（ ）
A. m B. m C. m D. 2m
4. 如图20－5－4，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（ ）
二、填空题
5.汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系是s=，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停着一辆故障车，此时刹车 有危险.（填“会”或“不会”）
6.如图20－5－5，一男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，则铅球推出距离为 m．
三、解答题
7.一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆围成如图20－5－6所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
8.如图20－5－7为某市立交桥横断面的示意图，以地面水平线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立坐标系.已知横断面为抛物线形状，跨度为40m（即AB=40m），最高处离地面10m（即CD=10m）.问：一辆宽5m，高8m的大货车能否通过该立交桥下面？
二次函数专题测试
一、选择题
1.过原点的抛物线是( )
A. y=3x2－2 B. y=3x2+1 C. y=2(x－1)2 D. y=x2+x
2.抛物线y= x2－3x+2不经过( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 用长为30cm的绳子,围成了一个矩形,其面积最大值为( )
A. 225cm2 B. 112.5 cm2 C. 56.25 cm2 D. 100 cm2
4. y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则点M(a,bc)在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5. 已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
A. 1 B. 2 C. －2 D. 2或－2
6. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:
① a﹤0;② c﹥0;③ b2－4ac﹥0 ④ 中,正确的结论有( )
A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个
二、填空题
7.当a= 时,y=(a－4)+5是二次函数.
8.抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得抛物线的解析式为
9.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为(2,－3).则b= ,c=
三、解答题
10.抛物线y=－x2+bx+c经过点A(1,0),对称轴是直线x=3,求抛物线的解析式.
11.已知抛物线y=－x2+3(m+1)x+m+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，且BO=4AO.求抛物线和直线BC的解析式.
12．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
参考答案
第1讲
1.B 2.B 3. D 4. D
5. y=x2+x (答案不唯一) 6. (x－1)2+2 7. 二
8.y=（x﹥0）
9.①y=－x2+100x+20000 ② 能，其长为200m，宽为100m.
第2讲
一、 1. B 2. D 3.C 4.D
二、5. 最大值－3 6. y=－2x2+2x+4
三、7.（1）y=x2
（2）列表
x 2 4 6 8
y 1 2 4
（3）由图象知：y=时，x=1．即正方形周长为1cm.
8.（1）2月份每千克销售价是3.5元；(2)7月份每千克销售价是0.5元；(3)1月到7月销售价逐月下降；(4) 7月到12月销售价逐月上升；(5)2月与7月的销售差价是每千克3元 等等.
第3讲
一、1. D 2.C 3.A 4.B
二、5. 1 6. －7
三、7.根据题意，得a－2=－1。 ∴a=1 ∴这个二次函数解析式是 y=x2－2.
因为这个二次函数图象开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该抛物线与x轴有两个交点.
8.（1）对于方程y=x2－2x－8，其判别式△=（－2）2－4×（－8）=36﹥0
∴方程y=x2－2x－8有两个实根，即抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）∵方程x2－2x－8=0有两个根为x1=－2，x2=4
∴AB=︳x1－x2︳=6， 又抛物线顶点P的纵坐标为 =－9
∴S△ABP=·AB·︳－9︱=27.
第4讲
一、1. A 2. A 3. D 4.D
二、 5.（1，－8） 6.y=2x2－3x+5 7. 3
三、8.y=－
9.y=x2－6x+8
第5讲
一、1. B 2. B 3. D 4. B
二、5. 会 6. 10 m
三、7.解：设AB边为x m，则AD边可表示为：（60－2x）m.
鸡舍面积 y（m2）与x（m）之间关系为：
y=x（60－2x）=－2x2+60x=－2（x－15）2+450
所以当x=15时，y取最大值450.
8.解：由题意知：图象经过点（－20，0），（20，0），（0，10）
设抛物线表达式为 y=ax2+k
把（20，0），（0，10）分别代入得： 解得：
所以 y=x2+10.
当x=2.5时，y=×(+10=9﹥8 ， 所以货车可以通过.
专题测试
一、选择题
1. D 2..C 3.C 4.A 5. D 6. D
二、填空题
7. －4 8. y=(x+3)2－2 9. －8,5
三、解答题
10.因为对称轴是x=3，∴=3 ①
把由①②得:b=6，c=－5．
所以解析式为 y=－x2+6x－5．
11.抛物线是y=－x2+3x+4，直线BC是y=－x+4．
12.（1）y=50- （0≤x＜160）；
（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-）=；
（3）因为w=，
所以当x=，即x=170时，利润最大，此时订房数y=50-=33．此时的利润是5110元．
图20-1-1
图20-2-1
图20-2-2
图20-2-3
图20-2-4
图20-2-5
图20-3-2
图20-3-1
图20-4-1 图20-4-2
图20-5-1
图20-5-2
图20-5-3
图20-5-4
图20-5-5
图20-5-6
图20-5-7
第6题图
第4题图
【课标要求】
1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义.
2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并解决简单的实际问题.
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【知识网络】
第1讲 二次函数
【知识要点】
1.二次函数的定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）个单位得到函数y=ax2；将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“+”）平移h（h﹥0）个单位得到y=a（x.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（（左加右减）．
【典型例题】
例1抛物线y=（x－2）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （－2，3） B .（2，3） C .（－2，－3） D .（2，－3）
分析：考查由二次函数的顶点式y=a（x－h）2+k，确定顶点坐标（h，k）
解：B
例2 将二次函数y=x2+4x－8，化为y=（x+m）2+n的形式正确的是（ ）
A. y=（x+2）2－8 B. y=（x+2）2－4 C.y=（x+2）2+12 D. y=（x+2）2－12
分析：考查配方法．解：D
例3二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）
A .y=x2－2 B. y=（x－2）2 C. y=x2+2 D. y=（x+2）2
分析：考查函数图象平移的规律，关键看抛物线的顶点移动前后的位置（即坐标），抛物线形状未变.
解：C
例4 已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1
(1)根据表中给出的值，计算对应的函数值，并填在表格中；
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y1=2x
y2=x2+1
(2)观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。
分析：证明y1≤y2，可以说明y2－y1≥0
解：（略）
【知识运用】
一、选择题
1.下列函数中,是二次函数的是( )
A . B. y=2x2 C. y=x2－2x3+1 D .y=x+
2.抛物线y=（x－1）2+2的对称轴是( )
A.直线x=－1 B.直线x=1 C.直线x=2 D.直线x=－2
3.已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
A .1 B. 2 C.－2 D. 2或－2
4. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2－3x+5,则有( )
A .b=3,c=7 B. b=－9,c=－15 C. b=3,c=3 D. b=－9,c=21
二、填空题
5.平移抛物线y=x2+2x－8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式 ．
6.若将二次函数y=x2－2x+3配为y=(x－h)2+k的形式,则y= ．
7.已知二次函数y=ax2+bx－1的图象如图20－1－1所示,则点(a,b)关于原点的对称点在第______ 象限．
三、解答题
8.等边三角形边长为x，面积为y，求x与y之间的函数关系式．
9.把一个长为100m，宽为60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，如果把游泳池的长增加x m．
（1）写出扩建后面积y（m2）与x（m）之间的关系式；
（2）水上游乐场的面积能否达到20000m2？
第二讲 二次函数的图象及性质
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是以（－，）为顶点，以x=－为对称轴的一条抛物线.
2、在画二次函数的图象时应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴交点，与y轴交点.
3、抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系：
当a﹥0时，开口向上，a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴.在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大.此时，y有最小值y=，顶点（－，）为最低点.（同样的方法，分析当a﹤0时的情况）
ab﹥0时，对称轴在y轴左侧；ab=0时，对称轴是y轴；ab﹤0时，对称轴在y轴右侧.c﹥0时，与y轴正半轴相交；c=0时，经过原点；c﹤0时，与y轴负半轴相交.
【典型例题】
例1 用列表法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时先列一个表,当表中自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的值依次为20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一个值不正确,这个不正确的值是( )
A. 506 B .380 C. 274 D .182
分析：考查二次函数的性质,56－20=36,110－56=54,182－110=72,274－182=92,380－274=106,506－380=126,显然274这个值不正确.
解：C
例2 已知二次函数y=ax2－2x+3的图象如图20－2－1 ,则一次函数y=ax+3的图象不经过( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
分析：考查二次函数的图象的特征,观察图象可知a﹤0,又根据
3﹥0,可推断一次函数y=ax+3的图象经过第一、二、四象限.
解：C
例3 图20－2－2中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）
A. h=m B .k=n C. k﹥n D .h﹥0，k﹥0
分析：考查在同一直角坐标系下，不同的抛物线的特征与相应
字母系数的关系．
解：B
例4 心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)
①x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强 x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低
②第10分时,学生的接受能力是多少
③第几分时,学生的接受能力最强
分析：解决这类问题先求二次函数的顶点坐标,再结合开口方向及自变量的取值范围,画出草图,观察图象得出结论.
解：①y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1(x－13)2+59.9
草图如图20－2－3 ,所以, 当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强;
当13﹤ x≤30时,学生的接受能力逐步降低.
②当x=10时, y=－0.1(x－13)2+59.9=59,即第10分时,学生的接受能力是59.
③当x=13时,y取最大值.所以第13分时,学生的接受能力最强.
【知识运用】
一、选择题
1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ ）
A .－1 B. 0 C. 1 D .2
2．关于二次函数y=(x+2)2－3的最大(小)值,叙述正确的是( )
A. 当x=2时,有最大值－3 B.当x=－2时,有最大值－3
C.当x=2时,有最小值－3 D.当x=－2时,有最小值－3
3．已知a﹤－1,点(a－1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则( )
A. y1﹤y2﹤y3 B. y1﹤y3﹤y2 C. y3﹤y2﹤y1 D. y2﹤y1﹤y3
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图20－2－4 所示,则下列结论正确的是( )
A. a﹥0,b﹤0,c﹥0 B. a﹤0,b﹤0,c﹥0
C. a﹤0,b﹥0,c﹤0 D. a﹤0,b﹥0,c﹥0
二、填空题
5．在二次函数y=ax2+bx+c（c≠0）中，已知b是a、c的比例中项，且当x=0时，y=－4，那么y的最值为 （说明最大值还是最小值）
6．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图象表示的函数关系式为
三、解答题
7．已知正方形周长为x cm，面积为y cm2.
（1）写出x与y的函数关系式；
（2）画出图象；
(3)根据图象回答，当y=cm2时，正方形的周长.
8．某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图20－2－5 ，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的那些信息？
第三讲 二次函数与方程（组）
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点△﹥0抛物线与x轴相交.②有一个交点△=0抛物线与x轴相切.③没有交点△﹤0抛物线与x轴相离.
2．一次函数y=kx+n（k≠0）的图象L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象G的交点，由方程组的解的数目确定：①当方程组有两个不同的解时L与G有两个交点；②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G有没有交点.
【典型例题】
例1 若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c= （只要求写出一个）
分析：考查二次函数的图象的性质，其实，当c=4时，二次函数y=（x－2）2与x轴只有一个交点，因而当c﹥4，二次函数与x轴没有交点.
解：5（答案不唯一）
例2 二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为
分析：考查二次函数的图象与坐标轴交点的问题.由x2－2x－3=0，得x1=－1，x2=3，然后观察图象，确定点（－1，0）与点（3，0）之间的距离.
解：4
例3 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0)．
(1)求b、c的值．
(2)若抛物线与y轴交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）．
分析：抛物线与x轴交点的横坐标，也就是方程x2+bx+c=0的实数根.因为只有一个实数根，也就是方程有两个相等实数根，即b2－4c=0.再把A点坐标代入，求出b、c的值.△OAB为直角三角形，一条直角边OA=2，另一条直角边为抛物线与y轴交点的纵坐标的绝对值，求出交点B的坐标即可.用勾股定理求出AB的长，最后求得周长.
解：（1）因为抛物线与x轴只有一个交点,所以x2+bx+c=0有两个相等实数根.
所以b2－4c=0.① 又因为A（2，0）在抛物线上，所以4+2b+c=0②， 由①②得，b=－4，c=4.
（2）由（1）得抛物线解析式为y=x2－4x+4，当x=0时，y=4，所以B（0，4），即OB=4.
所以，AB=，所以△OAB的周长为：2+4+2=6+2.
例4 如图20－3－1 ,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该大门的高h.
分析：本题关键是建立坐标系,不同坐标系下,函数形式不一样.
解：如图20－3－2 建立坐标系.
设抛物线解析式为 y=ax2.
把B(9,－h),C(8,－h+1.7)分别代入解析式,得
∴ 解得 ∴该大门的高h为8.1米.
【知识运用】
一、选择题
1. 二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（ ）
A. a﹥0，b2－4ac﹤0 B. a﹤0，b2－4ac﹥0
C. a﹥0，b2－4ac﹥0 D .a﹤0，b2－4ac﹤0
2.抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A .m﹥ B. m﹥－ C. m﹤ D .m﹤－
3.一次函数y=2x－3与二次函数y=x2－2x+1的图象有（ ）
A. 一个交点 B. 两个交点 C .无数个交点 D. 无交点
4.二次函数y=ax2+bx+c的最大值是零，那么代数式的化简结果是（ ）
A. a B. －a C. 1 D .0
二、填空题
5. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1,则a+c=
6. 已知二次函数y=－4x2－2mx+m2与反比例函数y=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2,则m的值是
三、解答题
7. 已知二次函数y=ax2－2的图象经过点(1,－1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.
8. 已知抛物线y=x2－2x－8.
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，且它的顶点为P，求△ABP的面积.
第四讲 二次函数解析式的三种求法
【知识要点】
求二次函数的解析式，要根据具体情况，选择适当方法.二次函数常见的表达式有三种：
（1）已知任意三点求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：把三点坐标值分别代入一般式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c，即可得二次函数解析式.
（2）已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即y=a（x－h）2+k（a≠0）．其方法是：先将顶点坐标（h，k）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
（3）已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式，即y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.其方法是：将抛物线与x轴两交点横坐标x1，x2代入交点式，然后将抛物线上另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
【典型例题】
例1 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A（－1，3）、B（1，3）、C（2，6）三点，则该抛物线的解析式为
分析：因为抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，可将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，得到关于a、b、c的一个三元一次方程组，解之，求出a、b、c.
解：y=x2+2
例2 如图20－4－1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等.直线y=3x－7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M，求这条抛物线的解析式.
分析：因为x=0和x=2时，y的值相等，所以由抛物线的对称性可知，对称轴是x=1.因为y=3x－7与y=ax2+bx+c相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M，所以直线与抛物线的一交点为（4，5），顶点M（1，－4）.
设抛物线解析式为y=a（x－1）－4，把（4，5）代入此式，得a=1.
解：y=x2－2x－3
例3 已知变量y是x的二次函数，且图象如图20－4－2所示，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图象顶点坐标为P（3，－2）.求这个函数的解析式。
分析：因为函数图象顶点坐标为P（3，－2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，
所以抛物线与x轴的两个交点为A（1，0），B（5，0）
设所求二次函数解析式为y=a（x－1）（x－5），图象经过（3，－2），代入，求得a=
解：y=x2－3x+
例4 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为
分析：方法一：因为抛物线的对称轴为x=2，则可设解析式为y=a（x－2）2+b，再将两点坐标代入求出a、b的值.
方法二：将两点坐标代入y=ax2+bx+c中，得到两个方程式，再由x=－=2得到一个方程，然后联立解这个方程组，得a、b、c的值.
方法三：因为抛物线的对称轴是x=1，由线的对称性可知，抛物线与x轴另一交点为（－1，0）.可由交点式求出解析式.
解：y=－x2+2x+
【知识运用】
一、选择题
1.过A(－1,0)、B（3，0）、C（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （1，2） B. （1，） C. （－1，5） D. （2，）
2.二次函数y=mx2+4x+m－1的最小值为2，则m的值为（ ）
A .4 B. 3 C. －1 D. 4或－1
3.已知二次函数y=－x2+bx+c的图象的最高点是（－1，－3），则b与c的值是（ ）.
A. b=2 c=4 B. b=2 c=－4 C. b=－2 c=4 D. b=－2 c=－4
4.若所求的二次函数与抛物线y=2x2－4x－1有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为( )
A. y=x2+2x－4 B. y=ax2－2ax+a－3(a﹥0) C. y=2x2－4x－5 D .y=ax2－2ax+a－3(a﹤0)
二、填空题
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2，7）、B（6，7）、C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是
6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，10）和（2，7）且3a+2b=0。则该抛物线的解析式是
7. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，2）和（3，2）两点，则4a+2b+3的值为
三、解答题
8. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.
9.已知抛物线y=－x2+(m－4)x+2m+4与x轴交于点A(x1,0)、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1﹤x2，x1+2x2=0.若点A关于y轴的对称点是点D.
求：过点C、B、D的抛物线的解析式。
第五讲 用二次函数解决实际问题
【典型例题】
例1 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图20－5－1 ），则需塑料布y（m2）与半径R（m）的函数关系式是（不考虑塑料布埋在土里的部分）
分析：考查在实际问题情况中确定二次函数的表达式，
y=30··2R+，再整理而得.
解：y=30R+
例2某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元.
(1)当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？
(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件.若生产第x档的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？
分析：考查二次函数的应用.
解：（1）当每件利润为16元时，此产品质量在第四档次.
（2）根据题意，得y=[10+2（x－1）][76－4（x－1）]=－8x2+128x+640
当总利润为1080元时，－8x2+128x+640=1080 解得 x1=5，x2=11（不符合题意，舍去）
答：当生产的是第5档次的产品，一天的总利润为1080元．
例3 随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是0.5万元,这种水果市场上的销售量y(t)是每吨的销售价x(万元)的一次函数,且x=0.6时,y=2.4；x=1时,y=2.
(1)求出销售量y(t)与每吨的销售价x(万元)之间的函数关系式；
(2)若销售利润为w(万元),请写出w与x之间的函数关系式,并求出销售价为每吨2万元时的销售利润.
分析：考查二次函数的应用.
解：(1)设y=kx+b ∵x=0.6时,y=2.4;x=1时,y=2 ∴ ∴
∴函数关系式为y=－x+3
(2)∵由已知 w=y·x－0.5y=(－x+3)x－(－x+3)×0.5=－x2+3.5x－1.5
∴当x=2时,w=－22+3.5×2－1.5=1.5 故此时的销售利润是1.5万元．
例4一辆电瓶车在实验过程中,前10s行驶的路程s(m)与时间t(s)满足关系式s=at2，第10s末开始匀速行驶,第24s末开始刹车,第28s末停在离终点20m处,图20－5－2是电瓶车行驶过程中每2s记录一次的图象.
(1)求电瓶车出发到刹车时的路程s(m)与时间t(s)的函数关系式．
(2)如果第24s末不刹车 继续匀速行驶,那么出发多少秒
后通过终点
(3)如果10s后仍按s=at2的运动方式行驶, 那么出发多少秒后通过终点
(参考数据:≈2.24, ≈2.45,计算结果保留两个有效数字)
分析：这是一道综合性问题,考查学生一次函数、二次函数的应用， 以及综合分析问题、解决问题的能力.
解：（1）当0≤t≤10时，点（10，10）在s=at2上，可解得a=0.1，s=0.1t2
当0≤t≤10时,由图象可设一次函数s=kt+b,过(10,10),(24,38),
∴ 解得 ∴s=2t－10
(2)当s=40+20=60时,60=2t－10,∴t=35 即第24s末不刹车继续匀速行驶,那么出发35秒后通过终点．
(3)当s=60时,由s=0.1t2,60=0.1t2,t=(舍去负值) ∴t≈25 即出发25秒后通过终点.
【知识运用】
一、选择题
1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=20t－5t2.当h=20时，小球的运动时间为（ ）
A .20s B. 2s C. （2+2）s D .（2－2）s
2. 苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
3..如图20－5－3，有一抛物线形拱桥，当水线在AB位置时，拱桥离
水面2m，水面宽4m，水线下降1m后，水面宽为（ ）
A. m B. m C. m D. 2m
4. 如图20－5－4，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（ ）
二、填空题
5.汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系是s=，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停着一辆故障车，此时刹车 有危险.（填“会”或“不会”）
6.如图20－5－5，一男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，则铅球推出距离为 m．
三、解答题
7.一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆围成如图20－5－6所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
8.如图20－5－7为某市立交桥横断面的示意图，以地面水平线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立坐标系.已知横断面为抛物线形状，跨度为40m（即AB=40m），最高处离地面10m（即CD=10m）.问：一辆宽5m，高8m的大货车能否通过该立交桥下面？
二次函数专题测试
一、选择题
1.过原点的抛物线是( )
A. y=3x2－2 B. y=3x2+1 C. y=2(x－1)2 D. y=x2+x
2.抛物线y= x2－3x+2不经过( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 用长为30cm的绳子,围成了一个矩形,其面积最大值为( )
A. 225cm2 B. 112.5 cm2 C. 56.25 cm2 D. 100 cm2
4. y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则点M(a,bc)在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5. 已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
A. 1 B. 2 C. －2 D. 2或－2
6. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:
① a﹤0;② c﹥0;③ b2－4ac﹥0 ④ 中,正确的结论有( )
A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个
二、填空题
7.当a= 时,y=(a－4)+5是二次函数.
8.抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得抛物线的解析式为
9.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标为(2,－3).则b= ,c=
三、解答题
10.抛物线y=－x2+bx+c经过点A(1,0),对称轴是直线x=3,求抛物线的解析式.
11.已知抛物线y=－x2+3(m+1)x+m+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，且BO=4AO.求抛物线和直线BC的解析式.
12．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
参考答案
第1讲
1.B 2.B 3. D 4. D
5. y=x2+x (答案不唯一) 6. (x－1)2+2 7. 二
8.y=（x﹥0）
9.①y=－x2+100x+20000 ② 能，其长为200m，宽为100m.
第2讲
一、 1. B 2. D 3.C 4.D
二、5. 最大值－3 6. y=－2x2+2x+4
三、7.（1）y=x2
（2）列表
x 2 4 6 8
y 1 2 4
（3）由图象知：y=时，x=1．即正方形周长为1cm.
8.（1）2月份每千克销售价是3.5元；(2)7月份每千克销售价是0.5元；(3)1月到7月销售价逐月下降；(4) 7月到12月销售价逐月上升；(5)2月与7月的销售差价是每千克3元 等等.
第3讲
一、1. D 2.C 3.A 4.B
二、5. 1 6. －7
三、7.根据题意，得a－2=－1。 ∴a=1 ∴这个二次函数解析式是 y=x2－2.
因为这个二次函数图象开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该抛物线与x轴有两个交点.
8.（1）对于方程y=x2－2x－8，其判别式△=（－2）2－4×（－8）=36﹥0
∴方程y=x2－2x－8有两个实根，即抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）∵方程x2－2x－8=0有两个根为x1=－2，x2=4
∴AB=︳x1－x2︳=6， 又抛物线顶点P的纵坐标为 =－9
∴S△ABP=·AB·︳－9︱=27.
第4讲
一、1. A 2. A 3. D 4.D
二、 5.（1，－8） 6.y=2x2－3x+5 7. 3
三、8.y=－
9.y=x2－6x+8
第5讲
一、1. B 2. B 3. D 4. B
二、5. 会 6. 10 m
三、7.解：设AB边为x m，则AD边可表示为：（60－2x）m.
鸡舍面积 y（m2）与x（m）之间关系为：
y=x（60－2x）=－2x2+60x=－2（x－15）2+450
所以当x=15时，y取最大值450.
8.解：由题意知：图象经过点（－20，0），（20，0），（0，10）
设抛物线表达式为 y=ax2+k
把（20，0），（0，10）分别代入得： 解得：
所以 y=x2+10.
当x=2.5时，y=×(+10=9﹥8 ， 所以货车可以通过.
专题测试
一、选择题
1. D 2..C 3.C 4.A 5. D 6. D
二、填空题
7. －4 8. y=(x+3)2－2 9. －8,5
三、解答题
10.因为对称轴是x=3，∴=3 ①
把由①②得:b=6，c=－5．
所以解析式为 y=－x2+6x－5．
11.抛物线是y=－x2+3x+4，直线BC是y=－x+4．
12.（1）y=50- （0≤x＜160）；
（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-）=；
（3）因为w=，
所以当x=，即x=170时，利润最大，此时订房数y=50-=33．此时的利润是5110元．
图20-1-1
图20-2-1
图20-2-2
图20-2-3
图20-2-4
图20-2-5
图20-3-2
图20-3-1
图20-4-1 图20-4-2
图20-5-1
图20-5-2
图20-5-3
图20-5-4
图20-5-5
图20-5-6
图20-5-7
第6题图
第4题图
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