1.5.4 三角形全等的判定——AAS和角平分线同步训练（含解析）

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初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定——AAS和角平分线
一、单选题
1.已知△ABC ， 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB ， AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ， 点M一定在（??? ）
A.?∠A的平分线上???????????B.?AC边的高上??????????????C.?BC边的垂直平分线上??????????????D.?AB边的中线上
2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=8，BD=10，则点D到BC的距离是（ 　　）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
3.如图，在 中， ， ，如果 平分 ，那么 的度数是（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4.如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A=90°，AD=2，则CD的长为（??? ）

A.?3 ?????????????????????????????????????????B.?6?????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?4
5.现要在一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在（???? ）
A.?△ABC的三条中线的交点?????????????????????????????????????B.?△ABC三边的垂直平分线的交点
C.?△ABC三条角平分线的交点??????????????????????????????????D.?△ABC三条高所在直线的交点
6.在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B=∠C，求证：AB=AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（?? ）
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
7.若射线OC在∠AOB内部，则下列①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOB=∠AOC+∠BOC；④∠BOC= ∠AOB；能判定射线OC是∠AOB的角平分线的有(??? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=8，则四边形ABCD的面积为（?? ）
A.?32?????????????????????????????????????????B.?24?????????????????????????????????????????C.?40?????????????????????????????????????????D.?36
9.如图， 中， 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ，过 作 于点 ，若 ， ，则 （? ）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
10.如图， ，BP和CP分别平分 和 ，AD过点P，且与AB垂直。若点P到BC的距离是4，则AD的长为（??? ）
A.?8???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?2
二、填空题
11.如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm.
12.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝20，BD＝15，则点D到AB的距离为________.
13.如图，在 中， 的平分线 和边 的垂直平分线 相交于点 ，过点 作 垂直于 交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为________．
14.如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，则点P到OA的距离是________cm．
15.如图，△ABC的角平分线交于点P，已知AB，BC，CA的长分别为5，7，6，则S△ABP∶S△BPC∶S△APC=________.
三、解答题
16.如图，已知CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，BF交CE于D点，且AB=AC.
（1）求证：△ABF≌△ACE.
（2）求证：A点在∠EDF的平分线上.
17.已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD ， 其中OE平分∠BOC ．
（1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，∠AOC=________°；
（2）如图1，若∠AOC＝∠BOD ， ∠DOE＝15°，求∠AOC的度数；
（3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，若∠AOC＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
18.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE.
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：EC+CD=DF；
（2）如图2,连接BF交AC于G点,若 =3，求证：E点为BC中点；
（3）当E点在射线CB上,连接BF与直线AC交于G点,若 ,则 =________
答案解析部分
一、单选题
1. A
考点：角平分线的性质
解：作射线AM，由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC，
故答案为：A．
分析：根据角平分线的判定定理结合已知条件即可解答.
2. B
考点：角平分线的性质
解：D作DE⊥BC于点E，如图所示，
在Rt△ABD中， ，
∵BD平分∠ABC，由角平分线的性质可得DE=AD=6，
故答案为：B.
分析：在Rt△ABD中，利用勾股定理可求AD，再过D作DE⊥BC于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=AD.
3. C
考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质
解：
?
平分 ，
?
?
故答案为：C．
分析：根据三角形的内角和求解 利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案
4. D
考点：角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
解：∵ED为BC的垂直平分线
∴DB=DC
∴∠C=∠DBC
∵BD为△ABCB的角平分线
∴∠ABD=∠DBC
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°
∵DA⊥BA，DE⊥BC
∴DE=AD=2
∴CD=2ED=2AD=4
故答案为：D.
分析：根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，即可得到DE=AD=2，求出CD的长度即可。
5. C
考点：角平分线的性质
解：∵角平分线上的点到这个角两边的距离相等
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点.
故答案为：C.
分析：利用角平分线的性质求解即可。
6. B
考点：三角形全等的判定
解：①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，可得 （AAS）则△ABD≌△ACD，即可得AB=AC，故①符合题意；
②取BC边的中点D，连接AD，得BD=CD，AD=AD，∠B=∠C，根据这些条件不能判断△ABD≌△ACD，故②不符合题意；
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D，得 （AAS）则△ABD≌△ACD，即可得AB=AC，故③符合题意；
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法不符合题意，故④不符合题意；
故答案为：B．
分析：根据已知和作辅助线所得的条件，对每一种方法进行分析，看能否判定△ABD≌△ACD即可．
7. C
考点：角平分线的性质
解：①∵∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确；
②∵∠AOC=∠AOB
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC
∴∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的平分线。
③∵∠AOC+∠BOC=∠AOB
∴假设∠AOC=30°，∠BOC=40°，，∠AOB=70°，但是OC不是∠AOB的平分线；④∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC
∴∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB，即OC为∠AOB的角平分线，正确；
故答案为：C.
分析：根据角平分线的判定和性质，分别进行判断得到答案即可。
8. A
考点：全等三角形的判定与性质
解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
?
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN（设为a）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2 ， 而AC＝8；
∴2a2＝64，a2＝32，
故答案为：A.
分析：作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题.
9. C
考点：全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
解：如图, 连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.
∵ 的垂直平分线 交 的平分线 于点 ，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．
∴BF=AE．
又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF，
设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,
∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；
故答案为：C.
分析：连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD，DE=DF，依据HL定理可判断出Rt△AED≌Rt△BFD，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可．
10. A
考点：角平分线的性质
解：过点P作PE⊥BC于E．
∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD．
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD．
∵PE=4，∴PA=PD=4，∴AD=PA+PD=8．
故答案为：A．
分析：过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又PE=4，进而求出AD的长．
二、填空题
11. 4
考点：全等三角形的判定与性质
解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠ACF，
在△AED和△CEF中
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴FC=AD=5cm，
∴BD=AB-AD=9-5=4（cm）.
故答案为：4.
分析：根据二直线平行，内错角相等得出∠A=∠ACF，从而利用AAS判断出△AED≌△CEF，根据全等三角形的对应边相等得出FC=AD=5cm，从而根据BD=AB-AD即可算出答案.
12. 5
考点：角平分线的性质
解：作DE⊥AB于E，
∵BC＝20，BD＝15，
∴CD＝20﹣15＝5，
∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝5.
故答案是：5.
分析：作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出DE＝CD＝5.
13.
考点：全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
解：如图，连接CD，DB，作DM⊥AB于一点M，
∵AD平分∠A，
∴ ，
在△AFD和△AMD中， ，
∴△AFD≌△AMD(AAS)，
∴AF=AM，
∵DE垂直平分线BC，
∴CD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM（角平分线上的点到角的两边距离相等）
∵∠AFD=∠DMB=90°，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM(HL)，
∴BM=CF，
∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
分析：根据角平分线的性质结合全等三角形的判定定理得出△AFD≌△AMD，即可得出AF=AM，再利用线段垂直平分线的性质得出CD=BD，根据HL得出Rt△CDF≌Rt△BDM，即可得出CF=BM，即可得出答案．
14. 2
考点：角平分线的性质
解：过点P作PD⊥OA于点D，
∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，
∴PD＝PB＝2cm，
故答案为2．
分析：过点P作PD⊥OA于点D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝PB，从而得解．
15. 5:7:6
考点：三角形的面积，角平分线的性质
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC，PF⊥AC，
∵△ABC的角平分线交于点P，
∴PD=PE=PF.
∵S△ABP= AB PD，S△BCP= BC PE，S△ACP= AC PF，
∴S△ABP∶S△BPC∶S△APC= AB PD： BC PE： AC PF=AB：BC：AC=5：7：6.
分析：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC，PF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PD=PE=PF，根据根据三角形的面积计算方法，由等高三角形的面积之比就等于底之比即可得出答案.
三、解答题
16. （1）证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠CEA=90°，∠BFA=90°，
在△ABF和△ACE中， ，
∴△ABF≌△ACE（AAS）；
（2）证明：∵△ABF≌△ACE，
∴AF=AE，
又∵AF⊥DF，AE⊥DE，
∴A点在∠EDF的平分线上.
考点：全等三角形的判定与性质
【解析】分析：（1）根据AAS可直接证明△ABF≌△ACE；（2）由△ABF≌△ACE可得AF=AE，结合AF⊥DF，AE⊥DE可得A点在∠EDF的平分线上.
17. （1）30°
（2）解：设∠AOC为x°，则∠BOD为x°,
则∠BOE=x+15，∠BOC=2x+30
∠BOC+∠AOC=180
2x+15+x=180
x=50°，∠AOC=50°
（3）解：α＝2β，
理由如下：
∵ ∠COD是直角，∠DOE＝β，
∴ ∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣β，
∵ OE平分∠BOC ，
∴ ∠BOC＝2∠COE＝2（90°﹣β），
∵ ∠AOC+∠BOC＝180°，
∴ α+2（90°﹣β）＝180°，
∴ α＝2β
考点：角平分线的性质
【解析】分析：（1）根据∠DOE的度数以及∠COD为直角，即可得到∠COE的度数，根据OE为∠COB的平分线，根据平角的性质得到∠AOC的度数即可；
（2）根据题意，可以设∠AOC=∠BOD为x°，根据角之间的等量关系进行等量代换，根据平角的性质求出∠AOC的度数即可；
（3）根据直角的性质，结合角平分线的性质，即可得到∠BOC的度数，由平角的性质，即可得到α与β的关系。
18. （1）证明：如图1，
∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠F=90°，
∴∠CAE=∠AFD，
在△ADF和△ECA中， ，
∴△ADF≌△ECA（AAS），
∴AD=CD，FD=AC，
∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，即EC+CD=DF；
（2）证明：如图2，
过F点作FD⊥AC交AC于D点，
∵△ADF≌△ECA，
∴FD=AC=BC，
在△FDG和△BCG中， ，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴GD=CG，
∵ =3
∴
∴ ，
∵AD=CE，AC=BC
∴ ，
∴E点为BC中点；
（3）
考点：全等三角形的判定与性质
解：过F作FD⊥AG的延长线交于点D，如图3，
∵ ，BC=AC，CE=CB+BE，
∴ ，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE，
∴ ，
∴ ．
分析：（1）通过全等三角形△ADF≌△EDA的对应边相等得到：AD=CD，FD=AC，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；（2）过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据（1）中结论可得FD=AC=BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG=CG，根据 =3可证 ，根据AD=CE，AC=BC，即可解题；（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证 ，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG=GD，AD=CE，即可求得 的值，即可解题．
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