1.5.2 三角形全等的判定——SAS和线段垂直平分线同步训练（含解析）

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初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定——SAS和线段垂直平分线
一、单选题
1.如图，将两根钢条AA?,BB?的中点连接在一起，使AA?,BB?可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具(卡钳)，则图中AB的长等于内槽宽A?B?，那么判定△OAB≌△O A?B?的理由是(?? ?)
A.?边角边????????????????????????????????B.?边边边????????????????????????????????C.?角边角????????????????????????????????D.?角角边
2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D， 交AB于点E ， 如果 ?cm，? ?cm，那么△ 的周长是（?????? ）
A.?6 cm???????????????????????????????????B.?7 cm???????????????????????????????????C.?8 cm???????????????????????????????????D.?9 cm
3.如图，已知△ABC的三条角平分线交于点O，且∠BAC=120°，延长CA至点D，使DC=BC，连接OD，则∠BOD的度数为（??? ）

A.?45°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?75°
4.如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，且分别交BC，AC干点D，E，连接AD，若∠B=70°，∠BAD=60°，则∠C为（??? ）

A.?20°???????????????????????????????????????B.?25°???????????????????????????????????????C.?30°???????????????????????????????????????D.?50°
5.如图，D，E分别为△ABC的边AC，BC上的点，AE⊥BD，垂足为F，且AF=EF.若∠ABC=36°，∠C=44°，则∠EAC的度数为（?? ）

A.?18°???????????????????????????????????????B.?28°???????????????????????????????????????C.?36°???????????????????????????????????????D.?38°
6.有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？(? )
A.?△ABC三条角平分线的交点处??????????????????????????????B.?△ABC三条中线的交点处
C.?△ABC三条高的交点处?????????????????????????????????????????D.?△ABC三边垂直平分线的交点处
7.已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是（???? ）
A.?2二、填空题
8.在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是________.
9.如图，AB是线段CD的垂直平分线，若AC=5cm，BD=3cm，则四边形CADB的周长为________cm.
10.如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝62°，则∠AEB＝________．
11.在△ 中， ,分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点 ，作直线 交 于点 ,则 的度数是 ________.
12.如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：________，能使△ABD≌△BAC（只添一个即可）．
13.如图所示， ， ， ，点 在线段 上，若 ， ，则 ________ .
三、解答题
14.如图，有一个池塘，要测池塘两端 ， 的距离，可先在平地上取一个点 ，从点 不经过池塘可以直接达到点 和 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，那么量出 的长度就是 ， 的距离，为什么？
15.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，求证：BE=CD。

16.综合与实践
智慧小组将两个三角形纸片(△OAB和△OCD)按如图1摆放，其中∠AOB=∠COD，∠OAB=∠OBA，OA=OB，OC=OD。连接AC，BD，交点为M。

（1）请直接写出AC与BD存在的数量关系：
（2）将△OAB保持固定不动，△OCD绕点O转动到图2位置，猜想此时(1) 中结论还成立吗？请说明理由；
（3）智慧小组测量发现图1中∠AMB=∠AOB，由此组长大胆猜想：图2中∠AMB的大小也等于∠AOB。如果你是智慧小组的一员，你赞成组长的猜想吗？请说明理由。
答案解析部分
一、单选题
1. A
考点：三角形全等的判定
解：∵O是 的中点，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ?(SAS)，
所以理由是：边角边．
故答案为：A．
分析：已知两边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．
2. D
考点：线段垂直平分线的性质
解：∵AC是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴CD+BD=CD+AD=AC=5
∴△DBC的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）.
故答案为：D.
分析：先利用线段的垂直平分线的性质得AD=BD，则CD+BD=CD+AD=AC=5，进而可求出△DBC的周长。
3. C
考点：全等三角形的判定与性质
解：根据题意可知，∠DCO=∠BCO，通过SAS定理，
可判断出△OCD≌△OCB，
所以∠D=∠OBC=∠ABO
∠BOD=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=60°
故答案为：C
分析：根据全等三角形的判定和性质，进行计算即可。
4. B
考点：线段垂直平分线的性质
解：∠ADB=180°-70°-60°=50°，所以∠ADC=180°-50°=130°，
∠EDC=65°，∠C=180°-65°-90°=25°
故答案为：B
分析：根据垂直平分线的性质，进行角度换算即可。
5. B
考点：线段垂直平分线的性质
解：?∵ AE⊥BD ， AF=EF
? ?∴?BD是AE垂直平分线
? ?∴?BAE=BEA?
? ?∵? ∠ABC=36°，∠C=44°
? ?∴??BAE=BEA?=(180°- ∠ABC）2=(180°- 36°）2=72°
? ? ?EAC=BAE-∠C=72°-44°=28°
? ? ?故答案为：B.
分析：由AE⊥BD ， AF=EF?得出BD是AE垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到BAE=BEA ，利用三角形内角和是180°和∠ABC=36°求出在ABE中，BAE=BEA?=72°，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和以及∠C=44° 得出在AEC中，EAC=BAE-∠C=28°? 即可以得到结果。
6. D
考点：线段垂直平分线的性质
解：∵根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。则超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处。
分析：要求到三小区的距离相等，首先想到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，可得结果．
7. B
考点：全等三角形的判定与性质
解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，

∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC，
∵AB=4，AC=6，
∴6-4 即2 ∴1 故答案为：B.
分析：延长AD到点E，使DE=AD，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解. 关键是作出辅助线构造出合适的全等三角形，遇中点，常见辅助线是“倍长中线”.
二、填空题
8. PA=PB=PC
考点：线段垂直平分线的性质
解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
分析：根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
9. 16
考点：线段垂直平分线的性质
解：∵AB是线段CD的垂直平分线，AC=5cm，BD=3cm
∴
∴四边形CADB的周长
故答案为：16.
分析：根据垂直平分线的性质可得 ，即可求出四边形CADB的周长.
10. 152°
考点：三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质
解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB?∠BCE＝∠ECD?∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴∠CAE＋∠CBE＝∠CBD＋∠CBE＝∠EBD＝62°，
在△ABC中，∠EAB＋∠EBA＝180°?（∠ACB＋∠CAE＋∠CBE）＝180°?（90°＋62°）＝28°，
在△ABE中，∠AEB＝180°?（∠EAB＋∠EBA）＝180°?28°＝152°，
故答案为：152°．
分析：先求出∠ACE＝∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAE＝∠CBD，从而求出∠CAE＋∠CBE＝∠EBD，再利用三角形的内角和等于180°列式求出∠EAB＋∠EBA，然后再次利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
11. 20°
考点：三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质
解：∵∠C=80°,∠A=40°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°
由作图可知，EF为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-40°=20°.
故答案为：20°.
分析：先根据三角形内角和定理求出∠ABC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得出∠ABD=40°，进而可得出∠CBD的度数.
12. BD=AC
考点：三角形全等的判定
解：∠BAC=∠ABD（已知），AB=BA（公共边），BD=AC，
∴△DAB≌△CBA（SAS）；
故答案为BD=AC．本题答案不唯一．
分析：本题要判定△ABD≌△BAC，已知AB是公共边，∠BAC=∠ABD具备了一组边、一对角对应相等，故添加AC=BD后可以根据SAS判定△ABD≌△BAC．
13. 55°
考点：三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质
解：在△ABD与△ACE中，
∵∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠1=∠CAE；
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠2=∠ABE=30°；
∵∠3=∠1+∠ABE，∠1=25°，
∴∠3=55°．
故答案为：55°．
分析：根据已知先证明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性质，求得∠2=∠ABE；最后根据三角形外角的性质即可求出答案．
三、解答题
14. 证明：在 和 中，



考点：全等三角形的判定与性质
【解析】分析：利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
15. 证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE即∠BAE=∠CAD
在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD.
考点：全等三角形的判定与性质
分析：由已知∠BAD=∠CAE可以推出∠BAE=∠CAD，再利用SAS证明△ABE≌△CAD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
16. （1）AC=BD
（2）(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(SAS) ，
∴AC=BD
（3）赞成，理由如下：
由(2) 得△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
又∵∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB+∠OBA=∠OAC+∠CAB+∠OBA=∠OBD+∠CAB+∠OBA=∠ABM+∠MAB，
在△AMB中，∠AMB=180°-(∠ABM+∠MAB) ，
在△OAB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)
∴∠AMB=∠AOB
考点：全等三角形的判定与性质
分析：（1）根据题意，可直接写出关系。
（2）根据三角形全等的判定定理SAS，可证明其全等，根据全等三角形的性质求出即可。
（3）根据三角形全等的性质，利用角度换算，可得出结论。
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