浙教版七下数学阅读材料--《杨辉三角》

附件4
温州市初中“精品百课”教学设计
类 别： □常规课 □创新课
学校（全称）： 龙湾区实验中学
姓 名： 王 振 华
课 题：浙教版七下数学阅读材料——《杨辉三角
和两数和的乘方》综合实践活动课教学设计
联 系 方 式： 13706651199
报 送 时 间： 2009/06/
（内页不准署名）
填写说明：
课题要具体、明确。通用格式为“**版**年级**内容的教学设计”。
写明单位、姓名、联系电话。如果多人合作，应说明谁是执笔人或第一作者。
1. 设计简述：（简要说明设计的指导思想、理论依据和特色，不超过800字）
发展学生数学思维 提高学生数学素养《数学课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流.数学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.基于这两个基本理念，笔者对浙教版七下阅读材料《杨辉三角和两数和的乘方》进行了深度开发和创新利用，体现阅读材料的载体作用，寻求其理性的力量、人文的功能，并把握其在总体中的地位、作用和前后知识的联系，从而提出切实可行的办法，找到实施的途径，制定了符合课程标准和学生实际的、操作性强的“三维”目标，教学流程主要以三个探究活动、两道例题为主线，设计为一小时的综合实践活动课.（1）针对七年级学生的年龄特征和知识水平，结合本节内容的特点，设计为“探究性问题”教学，以挖掘学习材料潜在的意义，变学习为有意义的学习.（2）通过实验操作、合作学习，引导学生观察、讨论，联想已有知识经验（面积验证、多项式乘法）分析新的问题“求和”等活动，让学生充分感受知识的产生和发展过程，让学生始终处于积极思维状态之中，训练学生思维的广度和深度.（3）通过探究杨辉三角规律等活动，让学生亲历发现事物特征和规律，激发学生的学习兴趣，增强自信心，引发自行学习的内在动机.（4）在学生初步学习杨辉三角规律形成后，通过写的展开式和一组由浅入深、由易到难的题组（范例），逐题递进，落实本节课的教学重点.（5）根据学生的个性差异，遵循因材施教的原则，设计小组合作、题组训练、分层作业，使不同层次的学生都能通过活动有所收获.（6）整个设计遵照“数学课要活跃思维”的教学理念而进行，从而培养学生学数学，爱数学的好习惯，最终达到学以致用的目的.
2. 教材分析：（1）根据《课程标准》，分析本课教学的基本要求（2）分析本课内容的知识体系（地位和作用）（3）分析本课内容与相关知识的区别和联系（4）说明教学内容的调整、整合、解构和补充
（1）《杨辉三角和两数和的乘方》只是教材中安排的一篇阅读材料，课程总目标对本节的要求：通过教师在平时教学中渗透或通过学生课外阅读，了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以拓宽整式乘法.（2）本节是在学习了整式乘法的基础上进行，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式的展开式奠定基础.通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养.（3）在上完完全平方公式后，从学生作业反馈中发现，学生易丢2项，平时，在数学竞赛中时常有的公式应用，也曾看到中考把杨辉三角作为考点.对此，本节内容体现出：既是整式乘法的整合和补充，又是学生知识缺陷的弥补.
亮点与反思：本案的亮点是创造性使用阅读材料，使之探究化、价值化，从中不仅扩展了学生的知识，培养了学生学数学的兴趣，而且展现了数学的科学价值和人文价值.对此，对阅读材料使用有了更深刻认识，它作为教材的边角材料，教师应鼓励并引导学生课外阅读、研究、探讨和交流，或设计为一个教学片段或改编为综合实践活动课，发挥它在教学中的作用.
3.学情分析：（1）分析学生的学习起点，可能遇到的困难和问题及其依据（2）确定促进学生有效学习，解决困难的思路和策略。
本学段的学生具有对与自己的直观经验相冲突的现象和对有挑战性任务感兴趣的特点，也初步具备个体和群体参与“探究性问题”、“开放性问题”活动的能力，并结合本节内容的特点，采用探究式学习方式.对于学生在探究过程中出现不全面、易出错等问题，教师给予即时的引导、点拨和激励评价.对新知学习都力求从学生实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入主题，展开数学探究.本案的教学容量可能比较大，需要建立在学生相当的自主探究、学习基础上进行，因此本课教学预设为1小时综合实践活动课设计.
亮点与反思：学生多大程度上参与课堂活动，多大程度上获得收获，是我们课堂教学最关注的。整个课是卓有成效的，学生主动获得了杨辉三角规律，得到了更系统的知识。本课备课中首先备学生，学生的认知水平是课堂教学考虑的前提。
4. 教学目标设计：用具体、明确、可操作的行为语言，描述本课的知识、技能、能力、方法、情感、态度、价值观等方面的教学目标。
（1）通过实验操作，引导学生观察分析，形成数形结合思想.（2）通过例题的延伸训练，初步体会运用类比思想研究数学问题.（3）通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）.在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力.（4）通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感.
5. 重点难点设计：本课的教学重点和教学难点及依据
为了增强教学的目的性、针对性与实效性，结合教学内容及学情分析，确定了本节的重点、难点：（1）重点：杨辉三角的发现、理解和初步应用.（2）难点：的实验操作和结论得出，以及对赋值法验证理解.
6. 教学策略与手段：本课教学中所运用的教学模式、教学策略和教学手段，包括课前准备：（1）学生的学习准备；2．教师的教学准备；3．教学环境的设计与布置；4．教学用具的设计和准备。
采用“问题解决”的教学模式，遵循“创设情景→合作交流→解决问题→明晰新知→感悟新知→应用拓展、升华新知”的思路来组织教学过程.借助多媒体辅助手段，通过学生动手实践、观察、分析、猜测、组织讨论、合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报成果，得到结论后进行总结，及时进行反馈应用和反思式总结.学生准备：（1）布置学生通过google搜索有关杨辉三角资料，并进行阅读和理解.（2）学生自制正方形和长方形的硬纸板，立方体和长方体的硬纸盒（长度和数量按教师指定制作）.教师准备：（1）教师设计教学方案，安排教学活动.（2）制作多媒体课件.（3）教师预设教学过程中可能出现的问题.（4）教师确定对学生学习进行评价的内容和维度.
7. 教学过程：这是教学设计的主体部分。分几个环节具体说明教学活动的安排，包括学生学习活动、教师指导活动、师生交互活动。应采用文字叙述加点评的格式，不要采用表格或流程图的形式。
《杨辉三角和两数和的乘方》综合实践活动课一、合作学习，形成技能师：请同学们准备好2张正方形、2张长方形的纸片（如图1）.将它们拼成一个大正方形，并运用面积之间的关系，验证完全平方式. 生：动手操作完成（如图2），写出验证完全平方式.师：归纳面积验证的思路，大整块面积＝所有小块面积之和.师：请同学们准备好2个立方体、8个长方体的纸盒（如图3）.将它们搭成一个棱长为的立方体，并运用体积之间的关系，写出一条恒等式.生：四人小组合作，动手操作完成(如图4)，写出一条恒等式.生：.（要求按的次数从高到低排列）【设计意图：通过学生的实验操作，得出恒等式，注重了知识的建构，体验了从平面到立体的空间思维，渗透了数形结合的数学思想. 】师：我们已经得到了和展开公式，试想生：学生先独立完成，然后同桌讨论交流. 生1：生2：师：我们也知道下面将计算结果中各展开式的每项系数排列成下表（简称系数表）： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1师：因上表形如三角形，我国古代数学家杨辉对其有过深入研究，所以称它为杨辉三角，并提出课题.【设计意图：通过合作学习，从不同角度训练学生的思维，既提高学生学习兴趣，又培养合作团队精神和创造能力. 】二、介绍杨辉，感受成就杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.
　　“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，该书还说明此表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的“开方作法本源图”，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．因此，我们把此表叫杨辉三角或贾宪三角.在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．【设计意图：了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感；让学生体会到研究杨辉三角就是体察杨辉的探索精神，以鼓励学生探究的热情. 】三、探求规律，形成新知1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 师：（1）请你找出上述数据上下行之间的规律.（便于发现，可标出“ ”号）生：下一行中间的各个数分别等于它“肩上”的两数之和.（如：1＋2＝3）师：（2）说出每项中字母和的次数排列规律.生：展开式中每项字母的次数从高到低排列，字母的次数从低到高排列.师：（3）展开式中的项数与乘方指数有何关系？生：展开式中的项数比乘方指数多1.师：你能按上述规律写出的展开式吗？生：.（学生同桌校对，一位学生板演.）【设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习. 】师：将上述各展开式的每项系数再整理成如下模型： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1师：对上表你还有什么规律可发现？生1：最外侧的系数都是1.生2：展开式中第二项的系数都等于乘方指数.生3：展开式中各项的次数等于都乘方指数.生4：系数成左、右对称排列……【设计意图：虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义.这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程. 】四、范例讲解，应用新知师：例1 若今天是星期一，再过天后是星期几？怎么算？生1：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1.生2：（此方法学生若未提及，教师给予讲解）.师：（例1延伸）若今天是星期一，再过天后是星期几？怎么算？生1：猜想星期二，然后从.生2：求，前四项的和是7的倍数，所以除以7的余数是1，所以再过天后是星期二.师：（例1拓展）若今天是星期一，再过天后是星期几？生：的展开式中前项都含有7，所以除以7的余数是1，所以再过天后是星期二.【设计意图：从简单到复杂，从特殊到一般，层层推进，既深化新知，又激化学生的思维，更激化学生从认知结构中已有的知识和经验，便于学生类比学习. 】 五、纵横斜探，深度挖掘师：发给每位学生一张Excel表格.（表格上可先填好第一、二、三行的数字）　A列B列C列D列E列F列G列H列I列J列K列求和第0行11第1行11　　　　　　　　　2第2行121　　　　　　　　4第3行1331　　　　　　　8第4行14641　　　　　　16第5行15101051　　　　　32第6行1615201561　　　　64第7行172135352171　　　128第8行18285670562881　　256第9行193684126126843691　512第10行11045120210252210120451011024…　　　　　　　　　　　　生：四人一小组共同制作完成Excel表格《杨辉三角.xls ( 杨辉三角.xls )》.师：你能找到各行数字之和的规律吗？并用字母表示第行之和的结果.生：从求和的结果规律看，第行之和的结果为.师：观察和它的展开式，你能验证此规律成立的理由吗？生：当时，左边＝，而右边等于展开式中每项系数相加（因为1的任何正整数次幂都是1）.师：若学生想不到此验证思路，教师可借助当时，，即.这种验证方法叫数学中的赋值法.师：我们再从右斜线上算各行数字之和，有什么规律？　A列B列C列D列E列F列G列第0行1第1行11　　　　　第2行121　　　　第3行1331　　　第4行14641　　第5行15101051　第6行1615201561第7行17213535217生：1，1，2，3，5，8，13，21，…. 从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.师：这就是著名的斐波那契数列．【设计意图：培养学生观察探究能力，再发现杨辉三角蕴涵了许多优美的规律，让学生充分展开思维进入研究状态，形成爱数学的好习惯. 】六、走入[斐波那契数列] 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，…，正好是刚生的兔子对数，第一个月后的兔子对数．第二个月后的兔子对数，第三个月后的兔子对数，…n个月后的兔子的对数．“兔子繁殖问题”的答案233．【设计意图：通过体验斐波那契数列，呈现数学的趣味性，提高课堂学习氛围，达到学以致用的目的. 】
亮点与反思：这是一堂生动有效的综合实践活动课！在这课堂中，一通过学生实验操作、合作学习，引导学生观察、讨论，联想已有知识经验（面积验证、多项式乘法）分析新的问题（求），和探究杨辉三角规律及应用等活动，让学生亲历知识发生过程，从中感悟和获取数学知识、方法和思想，从而达成多方位提高学生数学素养.二教师的角色转变了，不再是传统教学中的“教教材”，而是主动寻找教材中的数学知识与学生已有知识有机联系为切入点，以学生所具备丰富信息出发，灵活展开教学，使枯燥的数学问题变为活生生的探究，增强了学生对数学内容的亲切感，使学生学得主动、学得开心，真正成为学习的主人.新课程的教学更需要教师注重创造性地使用教材，挖掘和盘活数学文本；要根据学生心理、学习需求、知识层面钻研教材，确定“以学定教”， 预设课堂，彰显丰盈的数学课.
8. 板书设计
杨辉三角和两数和的乘方
亮点与反思：这个板书设计并不突显创意，而是较完整地展现了课堂教学的主要内容，是常规而实用的板书设计。
9. 作业设计：
（1）通过网络搜索有关杨辉三角资料，进行再阅读，领悟其精髓.（2）结合资料，进行再探索.（有能力的学生写一篇数学小论文）
亮点与反思：作业是课堂的延伸，这两项作业，既开放又颇有点读后感的样式，是对学生课堂所学的知识再体验、再深化，同时又注重学生分层次性和可持续发展性.
10. 问题研讨：提出2-3个与本课设计相关的、值得反思和讨论的问题。（1）在平时教学中，对阅读材料使用常流于形式：如作导入新课的素材（显得肤浅）；课堂中插入介绍（感觉生硬）；布置学生课外阅读（难以落实）.如何开发、有效地使用阅读材料，更好地发挥它在教材、教学中的作用？（2）探究式教学中教师主导地位和学生主体地位在尺度上把握，和何时收何放在时机上选择感到有些困难.
【参考资料】
1 毕田增.初中数学新课程教学设计[M].北京：首都师范大学出版社，2004
2 瓯益生.新课程初中数学教学设计与案例分析[M].杭州：浙江教育出版社，2007
3 麻晓春.探究教学的思考与实践[M]. 杭州：浙江科学技术出版社，2003
4 朱鹏.利用课程资源 转变学生学习方式[J].中学数学教学参考，2009，6
√
1张
1张
2张
（如图1）
（如图2）
3个
3个
1个
1个
（如图4）
（如图3）
学生板演
范例讲解