4.4《方差与标准差》教学设计

μ附件4：
温州市初中“精品百课”教学设计
类 别： 常规课 □创新课
学校（全称）： 温州外国语学校
姓 名： 汤 亦 纯
课 题： 浙教版八年级上册
《方差与标准差》教学设计
联 系 方 式： 13587669956
报 送 时 间： 2009年6月
（内页不准署名）
填写说明：
课题要具体、明确。通用格式为“**版**年级**内容的教学设计”。
写明单位、姓名、联系电话。如果多人合作，应说明谁是执笔人或第一作者。
1.设计简述：（简要说明设计的指导思想、理论依据和特色，不超过800字）
本课的教学设计遵循新课程教学理念，以建构主义理论为指导，积极落实新课程理念。倡导“合作与探究学习”，充分调动学生学习的主动性、积极性，让学生成为课堂学习的主人，注重学生情感、态度、价值观的培养，在教学设计中，既要关注学生的认知水平，又要关注学生的可挖掘潜能情况。基于以上的认识，在本课的设计过程中，首先是重视直观形象的教学方法。从生活中中提取实际例子，让学生能用已有的知识进行首轮分析，再通过对问题的冲突设置来发展思维，体会到已有的平均数的知识不足以解决分析成绩的恒定性即稳定性问题。而以往的教学实践表明，学生对方差、标准差的意义和作用不甚了解，只会硬套公式计算。为改变这种情况，教师在课堂中就尽量避免用较为抽象的专业名词“离散”，而改为形象的生活用语“波动”，并用图形直观地表现数据的波动，以帮助学生理解一组数据的波动性，理解为什么方差、标准差能表示一组数据的波动性。让学生在认可，理解，探讨中感受公式的由来和应用。整节课的教学过程中，学生始终是问题的发现者和解决者，而教师始终是学生学习的组织者、引导者。因此，在本节课的教学设计上，具备如下特色：特色一，所有问题的设置都紧贴生活实际，让学生时刻感受到统计学就是与现代生活紧密结合的一门课程。特色二，设计理念和思路上。本节课突出课程设计的矛盾统一性，内容设计层层递进，在内容上以“设计选拔方案→出现难分难解的情况（平均数相同）→用极差解决也存在不合理处→通过波动图来分析波动情况→讨论同绝对值和平方两种方法谁更优→新知识的应用→练习拔高”作为流程，，使整节课一气呵成。特色三，教学模式和组织形式上。突出学生的主体地位，课堂中，以学生的独立思考，合作分析，合作探究为主，合作探究能力，思维创新及良好数学素养的形成起到了较好的作用，而教师作为一位参与者参与到其中，帮助个别有困难的学生得到必要的点拨。
2.教材分析：（1）根据《课程标准》，分析本课教学的基本要求（2）分析本课内容的知识体系（地位和作用）（3）分析本课内容与相关知识的区别和联系（4）说明教学内容的调整、整合、解构和补充
（1）根据《课程标准》，分析本课教学的基本要求《数学课程标准》指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。当今社会是信息社会，在“统计”教学中应重视培养学生的统计意识和信息处理能力，促进学生正确认识统计的意义和作用，发展处理信息的基本能力。要关注学生整理和分析数据、对各种统计量的计算、解释和应用的能力，包括会使用计算器进行数据处理。（2）分析本课内容的知识体系（地位和作用）《方差与标准差》这节课是选自浙教版八年纪上第四章第四节，是在学生学习了样本与数据分析这章中的两个基本知识点：如何抽样与抽样调查中所涉及到的概念，和用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。是对数据进行分析的另一重量指标。这节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，在“数据与图表中”是着重用图表的形式来反映数据的特征和变化。而本章则是用统计量来反映数据的特征和变化。学好本节课，不仅为进一步学好数据分析打好基础，而且在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。（3）分析本课内容与相关知识的区别和联系计算方差、标准差时，首先要求平均数。因此，求方差、标准差也是求平均数的练习和巩固的过程。但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。（4）说明教学内容的调整，整和，解构和补充根据我所教授的两个班的学生的水平，我对教学内容没有做将大的删改，而是将教大的比重放在公式的产生的必要性和合理性上，既公式的推导过程。对于八年纪的学生来说，要根据实际需要选择统计量，并通过数据分析作出判断或预测。不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有教丰富的生活实践经验，对于我们这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。因此，我在教学中会把握好教学要求，不要求学生去解教复杂或生疏的问题。但一定会要求学生学会完整的写出算式，并按课本要求将解题过程写完整，但可以借助计算器。在课堂的进行过程中，我会根据学生当堂的掌握情况，通过练习的回馈情况来决定是否添加一组数据中每个数都增加a，则新的一组数据的方差、标准差不变的知识点。对于程度较好的学生，可在家庭作业中要求进一步探讨：将一组数据x1，x2 … xn变为ax1+b，ax2+b，…，axn+b，其中a、b都是常数，如果原数据的平均数、方差、标准差分别是、s2、s，那么新的一组数据的平均数、方差、标准差分别是什么？
亮点与反思：1、教材内容的选取上不拘泥于课本的例题，而是根据学生的认知矛盾重新设置问题的呈现方式。2、设计的理念的思路上，突出课程设计的整体性，做到系统设计，整体推进，以数学能力培养为重点，以多种形式的教学方法激发学生思维的活跃性。。
3.学情分析：（1）分析学生的学习起点，可能遇到的困难和问题及其依据（2）确定促进学生有效学习，解决困难的思路和策略。
根据教学设计与教材分析，对学生的学情作如下分析： 1、学生的起点及可能遇到的困难和问题。 本节课对学生的起点要求不高，来自生活中学生比较熟悉的射击选手的选拔问题，在学生的日常生活中也比较常见类似的选拔需要，因此，全班同学都能很容易地理解接受。在方案的设计过程中，对于不断出现的矛盾和冲突也是实际中完全有可能存在的，学生很容易对旧知产生联想，进而达到复习旧知的目的，但要对所面临的新问题给出合理的解决方法，做到既合理又可操作，需要学生去根据数据的分布情况，联系波动图，提出想法和在不同方法间的进行合理取舍，这就对大部分的学生提出了挑战；对学生的综合能力提出了很高的要求，因此，通过小组合作的形式予以教学。2、确定促进学生有效学习，解决困难的思路和策略。（1）在数据的提供上，教师注重对局部变化引起的不变量和变化的量，尽量做到让学生一目了然，从而引发学生思考自己的认识的片面性，进而思考如何弥补和问题解决的关键点如何去寻找解决问题全面性和合理性。（2）在方差的教学中，为什么必须是偏差的平方的平均数是学生认识上的难点，因此，在公式的推导过程中对这一环节要给予学生充分的时间去讨论，探究，采取学生合作探究，教师引导，逐步解决。
亮点与反思：1、对难点的突破不拘泥与形式上而是落实到实处，对不同程度的学生来说都是可接受的。2、对学生的每次问题解决都能给予及时的鼓励，同时又能及时给予问题的提升，让学生都能有只要我再想想一定会有解决方法的信心。3、各环节之间既有区别又有联系，前一环节问题解决的方法策略可以为后一环节所借鉴，让学生在后面的合作学习中得到帮助。4、根据学生能力的不同，设置问题的梯度，能让不同能力的学生都感受到成功的愉悦
4、教学目标设计：用具体、明确、可操作的行为语言，描述本课的知识、技能、能力、方法、情感、态度、价值观等方面的教学目标。
【知识目标】1、了解方差，标准差的公式的产生过程2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差【能力目标】会用方差公式来分析数据离散程度【情感目标】根据学生的年龄特征，寻找适合的例子来体会概念的产生是因需要而产生并服务于实际。让初二的学生充分体会到自己在解决实际问题中的分析能力和创造能力，激发学生的学习兴趣。
5.重点难点设计：本课的教学重点和教学难点及依据
围绕教学目标，我制定了本课的重点和难点：【教学重点】 方差、标准差的概念、计算及其运用，这既是本节的重点，又是本章的重点。【教学难点】1、方差和标准差的计算及运用。我们的学生普遍存在的问题是对概念都能记的很熟，但是不知如何用，本次课通过公式推导、练习来解决这个问题。2、方差为什么是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数，这既是教学难点，又是教学的关键，只要把这一关键问题解决好，学生就会更好的理解方差和标准差的概念。
6.教学策略与手段：本课教学中所运用的教学模式、教学策略和教学手段，包括课前准备：1.学生的学习准备；2．教师的教学准备；3．教学环境的设计与布置；4．教学用具的设计和准备。
本节课的教学，坚持以“教师为主导，学生为主体，探索为主线，思维为核心”的教学思路，采用矛盾冲突教学方法，加以多媒体的使用，充实了教学内容，使学生的注意力始终集中如何解决不停出现的意外插曲，通过师生合作，生生合作以及学生自身的独立思考，探索获得方差的公式和标准差的合理出现 课前的学具准备有：计算器，练习本等，教师则用多媒体课件辅助教学。
7. 教学过程：这是教学设计的主体部分。分几个环节具体说明教学活动的安排，包括学生学习活动、教师指导活动、师生交互活动。应采用文字叙述加点评的格式，不要采用表格或流程图的形式。
教学流程：情境引入（设计选拔方案）→新知识产生的必要性（矛盾无法解决）→新知识的产生过程（通过波动图来分析）→知识的应用（例题的解答）→新知识的的巩固应用（练习及小结）练习拔高→作业布置”教学过程： 师：同学们，谁看过射击实况转播？（相信绝大多数同学都看过）师：今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。（出示投影） .师：下面我宣布招标开始！（学生跃跃欲试，可能会提出好几种方案。通过比较，结合前面学过的平均数，容易得出：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的，相信大多数同学会赞同这一方案。）师：这个方案不错。可是——（老师首先肯定这个方案的可行性，然后稍作停顿，提出下面的疑问）师：如果两人的平均环数一样，怎么办？（同学们肯定会说，再比一次，这时老师可以问：再一样怎么办？难道就这样一直比下去吗？学生会发笑，进而思考应如何解决这个问题。）师：假如是下面这个情况：（出示投影）（估计会出现两种截然相反的意见：有人认为应该选甲，有人认为应该选乙，但由于X甲=X乙，谁也没有充足的由反驳对方。这时老师可引导，尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，让学生充分研讨，经过观察分析数据，比较容易达成这样的共识：甲最多10环，最少4环，波动范围较大，而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。因此乙较稳定，应该选拔乙参赛，相信学生对这一点不会怀疑。） 设计意图：从一个学生认为可以很容易解决的问题入手，不停的制造矛盾，而且矛盾是确实客观存在和可接受的。但即便如此，设计的问题还要让学生看得到解决的希望，数据的变化要有特点：即：水平的差距是能让学生显而易见看得到的。师：由于甲最多环数与最少环数的差距大，从而得出甲不稳定，所以甲遭淘汰。难道这种分析方法就准确？（老师进一步提出疑问，估计学生中间会引起一阵私语，接着引发一场争论，这时老师可顺势利导，引出问题三。）（出示投影）（不难发现，虽然甲最多比最少差距大，但还是甲比乙要稳定） 设计意图：此处数据的改动很有意义，当着学生的面改动如同当面给了刚才还满腔热血的学生浇了一盆冷水，让他们立刻清醒也立刻能觉察到自己考虑问题的片面性。同时也为考虑到使用波动图埋下伏笔。师：根据问题二和三，可以看出：在平均数相同的情况下，单纯比较最大与最小两个数据，不能够说明一组数据的整体波动情况。为了直观地反映整体波动的情况，你有什么好的想法吗？（学生进入兴奋状态，有独自埋头思考，也有三五成群的讨论，并有辅以图形帮助的）师：我看到同学的一些好的想法，因为看到有同学在做图，从图中看波动情况，这种借助图示的方法是否可行呢？老师在这里也为问题二中的甲、乙绘制了这样一张环数波动图。（出示投影）（可由学生在图中用线连接各点，更易看出问题所在。学生讨论后很容易一致得出：甲比较离散，乙比较集中，也就是说乙比较集中在平均数的附近） 师：这给了我们什么启发呢？生：这就启发我们：一个数据的波动是说它与平均数的差的情况。师：很好，那么又如何反映一组数据的波动情况？请同学们仔细思考，并相互交流，看谁的办法好。生：①用各个数据减去它们的平均数，得到各个数据的偏差；②将各偏差相加。师：好想法，那我们就来算算看，（不难得出甲、乙的偏差和为0。到这一步，同学们会突然想到去掉偏差的负号问题。老师引导学生进行探索、分析，最后归纳出两种方法。①先求各偏差的绝对值，再相加；②先求各偏差的平方，再相加。）师：好！这两种方法都有道理。（老师充分肯定成绩，让学生体验到成功的喜悦，以进一步加强学生的探索意识）师：但哪种方法更好一些？（老师又一次提出问题，从而把学生的思维引向高潮，不难估计到绝大部分赞同第一种，因为取绝对值相对容易，面对学生的这种观点，引出问题四，将全班学生分成两组，通过计算比较。）（出示投影）
（通过计算易知，用方法①，二人的波动一致；用方法②甲的波动大，因此我们选择用方法②）（教师此处选择的数据有一定的特殊性，实际是让学生初步体会用平方而不用绝对值的目的就是将数据间的差距拉大）师：从上面的计算看出：单求偏差平方和，易因数据不同而导致出现错误的结论，只有求得其平均数才能真实地描述波动特征。一般地，为了描述一组数据的波动大小，我们可以采用几个步骤来分析出结果呢：（师生共同合作完成）师：我们把这个平均数叫做这组数据的方差。（引出方差定义，板书课题，出示投影） 板书： 方差定义： 设在一组数据X1,X2,…，Xn 中，各数据与它们的平均数X的差的平方分别是（X1-X）2，（X2-X）2，…，（Xn-X）2，那么我们用它们的平均数，即用 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。师：注意：一组数据方差较大，说明这组数据的波动越大。设计意图：此环节是整堂课的灵魂所在，在所有问题的铺垫均已到位的情况下，每个问题的发现和解决都可以一气呵成。从发现问题波动的实质是与平均数的偏离程度，到用绝对值和平方来消除负号的影响，都是一次思维的自然过渡和提升。而教师所提供的数据也经过了精心的挑选，让学生能通过实践得出一个为什么？为什么弃简单择复杂的理由何在。（至此，讲完方差概念，再让学生阅读教材中相关内容）师：现在我们用刚才自己推导得出的公式来计算到底该派谁去参赛吧！（要求学生解答引例一中的问题，教师用规范的板书来给予学生示例）（板书解答略）师：有没有同学对方差的记号为什么是S2中的平方感兴趣呢？你们注意到我们得出的最后结论中的数据的单位与原数据的单位有何不同了吗？（学生可以很轻松的回答出是原数据单位的平方，教师就可以顺势带出标准差的概念）师：为了解决这一问题。我们又引入一个新的概念来解决这个矛盾：标准差S，师：计算准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的一致，有时用它比较方便。师：请同学们按例题格式做课本中相应练习，（练习的选择教师有意识的选择了计算量相对教小的作业题3，意在巩固学生对公式的熟练应用，并及时了解学生在解题过程中遇到的困难）（在学生完成练习后，让学生阅读探究活动，并同时求解作业题5，让当堂掌握得较好的学生通过对此题的思考，对方差能有更深入的理解。）一：带领学生简单回忆方差和标准差产生的必要性，合理性。二：强调公式的特征，应用范围，解题步骤和格式。全体学生完成作业本中的练习《课课通》中选做几题（略）亮点与反思：纵观整个教学设计流程，本课时教学设计具备以下亮点。1、教学内容的选取与组织符合本学段学生的年龄特征.一堂课的教学内容如何组织，包括知识点如何展示、例题的选取和搭配、习题质和量的确定等，都对数学教学目标的实现有直接影响，从本节课从教学内容来看方差的公式是较难记忆和理解的，但只要选择好了引入的途径和延续的铺垫，那么学生在理解和接受上就能显得自然和配合了。因此一个好的情境对于感性经验尚不丰富的学生的思维发展具有重要意义2、能采用弹性的教学设计，根据课堂学生的表现和课堂生成情况进行教学环节的局部调整。本节课中很多问题的提出是做了两手准备的，如问题一与问题三，都可以既是学生发现先行提出，也可以是在学生没有疑问的前提下由教师给出。对于波动图的发现和生成，则是一个无法预设的问题，它的出现要取决于学生的思维和教师的点拨。这就是我们在备课时常说的有所备而有所不备，我们不能备学生的思维，但我们能备整堂课中的环节设置。因此，要求教师要有扎实的专业知识和驾驭课堂的能力。学生是学习的主体，教学中教师要依据学生学习规，留给时间和空间，引导学生利用已有的知识和生活经验，自己去解决问题，探求新知识。3、以新课程理念作为指导，采用多媒体教学手段进行教学，同时以学生的自主学习、合作探究为教学模式，围绕“问题”，创设多样的教学情境，把课堂教学的问题化、案例化、情景化、生活化、活动化紧密地结合起来，充分发挥了学生的主体作用，引导学生自主、合作、探究地学习，教学过程气氛热烈，学生能够积极思考，踊跃发言，有效地实现了教学的“三维目标”。 通过本课的教学设计，也使本人对数学教学工作有了新的认识，以下为此次设计后的一些反思。1、该放手时要放手在一些环节的设置上，教师的本意是良好的，但没有留给学生足够的时间去自己发现问题，如：当学生提出用平均数解决人选的时候，教师可以让学生自行讨论会出现什么不可解决的情况2、要及时给予学生正面的评价新课程要求关注全部学生的全面发展，不仅仅关注学生的知识和技能的获得情况，更关注学生学习的过程、当这类与前面的知识联系不是太紧密的章节出现时，要给予基础较差的学生以更多的机会，因为这类孩子的生活实践往往并不差，正是他们表现自己的大好时机，教师在备课时就要考虑到这些因素，在课堂教学中多多给予他们正面的评价，可以激发学生的学习兴趣。
8.板书设计4．1方差和标准差一：方差的概念二：求方差的一般步骤： 1、求平均数； 2、计算各偏差的平方； 3、求各偏差的平方和； 4、求各偏差的平方的平均数。三：方差及标准差的公式
亮点与反思：1：板书的设计简洁而有效，既展示了方差形成的思维过程，也为学生的仿效提供了最直接，最有效的视觉冲击。2：保留了例题的解题过程，给学生一个书写的规范标本，同时也借助例题的解题过程的展示，更进一步理解和记住了公式的应用，使本课的重点、难点清楚、系统、完整地展示在孩子们面前，发挥了板书对整节课的概括作用，提高了教学的实效性。
9.作业设计
本节课的作业进行了分层布置 1：全体学生完成作业本中的练习2：《课课通》中选做几题（选做的几题是为了让程度较好的学生能通过对练习的独立完成，进一步认识到：一组数据中每个数都增加a，则新的一组数据的方差、标准差不变。可知，数据平移与波动性无关。更进一步：若将一组数据x1，x2 … xn变为ax1+b，ax2+b，…，axn+b，其中a、b都是常数，如果原数据的平均数、方差、标准差分别是、s2、s，那么新的一组数据的平均数、方差、标准差分别是a+b，a2s2，│a│s。可以让学生次日来校讨论各自得出的结论，增加研讨气氛。
亮点与反思：数学作业作为课堂教学的延伸，学生学习内容的巩固和反馈的重要手段，为了体现作业的实效性，设计了分层次作业，具有以下亮点：1、分层作业易调动学生作业能兼顾不同程度的学生。必须全体完成的作业是为了及时巩固新知识的应用，在选择题目时，就注意避免一些繁复的计算和与实际较脱节的题目，让绝大部分的学生能一接触到题目就知道要考虑的是问题的什么方面，再借助计算器来完成计算过程。 2、提高部分的作业设置目的明确，后续效果较好。 对学有余力的学生，增加了具有挑战性的作业，避免了产生学习的厌怠性，他们可以通过公式进行推导，还可以用波动图来进行形象化的解释。刺激了这部分学生的好胜心和求知欲。
10.问题研讨：提出2-3个与本课设计相关的、值得反思和讨论的问题。
一：如何通过教学活动，关注学生在统计学习过程中情感、态度的变化。“统计初步”的学习过程、包括统计实习活动，对培养学生的数学应用能力、人际交往能力、社会实践能力、团队合作精神和科学态度，有重要的和积极的影响。如何为学生开展统计活动提供机会，组织学生有效参与，对学生在活动中的积极表现进行鼓励性评价；如何关注学生在统计活动中的过程经历和情感体验，关注学生所活动的经验和体会，是编者和教育第一线的教师要考虑的一个问题二：关注学生对统计的重要概念和基本方法的掌握。要通过评价，引导学生正确理解概念，学会统计的基本方法。学生能根据平均数、方差来说明一组数据的特性，重视通过分析和研究得出结论的全过程，对学生在运用统计知识解决实际问题的活动中所获得的经验和方法进行评价。三：重视统计的实践活动以及计算器的应用。本章内容与现实生活的联系紧密，还安排了一些联系实际的统计作业以及统计实习。要有效展开多种多样的统计活动，让学生在实践中学习统计知识、培养统计意识，体会统计的普遍性和重要性。本章在数据处理和分析中，常常会出现繁复的数值计算，要求学生利用计算器来完成计算，教学中要指导学生根据所持计算器的说明书，学会使用计算器求有关统计量的操作方法。
附件3
温州市教研系统教学评比承诺书
题 目 浙教版八年级上册《方差与标准查》教学设计
教师姓名 汤亦纯 性别 女 出生年月 76年2月 职称 中学一级
单位全称 温州外国语学校
单位地址 温州市学院西路166号 邮编 325800
联系电话 办公：0577-88117395　　　　手机：13587669956
电子信箱 Email:linrunyibaobao@
个人诚信承诺 1、我郑重承诺（在括号内打“√”）：所写教学设计属本人原创，没有抄袭（ √ ）2、主办单位若将我的作品公示、上网，我表示（在括号内打“√”）：同意（ √ ）不同意（ ）承诺人签字：　　　　　　　　 2009年　 6 月　28 日
单位意见 　　　　单位负责人签字：　　　　（盖公章）　　　　年　月　日
县教研室意见 　县（市、区）教研室领导或学科教研员签字：　　 年　月　日
一：情境引入
问题一 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行有奖招标。如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？
问题二 若甲、乙二人在相同的条件下各连续射靶10次，命中的环数如下：
甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
①比较上述数据，你将选择 参赛？
②通过计算可知，X甲= ，X乙= ，并根据计算的结果验证你选择的正确性。
二：概念初成
问题三 若甲、乙二人在相同的条件下各连续射靶10次，命中的环数如下：
甲 10 7 7 7 7 7 7 7 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
请你观察上述数据， 的水平比较稳定？
问题四 若甲、乙二人在相同的条件下各连续射靶10次，命中的环数如下：
甲 7 9 6 7 6 5 9 9 7 5
乙 9 6 7 8 9 6 8 5 5 7
试比较谁较稳定？
三：公式的归纳
求方差的一般步骤：
1、求平均数；
2、计算各偏差的平方；
3、求各偏差的平方和；
4、求各偏差的平方的平均数。
四：新知应用
五：巩固练习
六：小结心得
七：作业布置
PAGE
13