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浙教版数学八年级上册1.5.2
用两边夹角关系判定三角形全等导学案
课题
1.5.2
用两边夹角关系判定三角形全等
单元
第一单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1.掌握三角形全等（SAS）的判定方法。2.掌握线段垂直平分线的性质定理。3.会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线的性质，解决两条线段相等、两个角相等的问题。
重点
两个三角形全等的判定条件（SAS）。
难点
线段垂直平分线性质定理的证明涉及分类讨论。
教学过程
课前预学
某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
上节课我们研究过两个三角形如果只知道有一组或两组元素对应相等，则这两个三角形不一定全等，而如果两个三角形有3组元素对应相等，这两个三角形很有可能全等。本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?
新知讲解
如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不能唯一确定，这就是说，如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等.例如，下图中，△ABC与△AB'C不是全等三角形。如果固定两木条之间的夹角（即∠BAC）的大小，那么△ABC的形状和大小也随之被确定.如图，在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B',AB=A'B',BC=B'C'.因为∠B=∠B'，当把它们叠在一起时，可以使射线BA与B'A'重合，射线BC与B'C'重合.又因为AB=A'B'，BC=B'C'，所以点A与点A'重合，点C与点C重合，所以△ABC与△A'B'C重合，所以△ABC≌△A'B'C.由此可得结论：__________________________________________，简写成_________或________。几何语言：___________________________________________________________________________【例】
已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：△AOB≌△COD.【做一做】如图，把两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳.说明卡钳的工作原理。如果“两边及一角”条件中的是其中一边的对角，比如两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°
，情况会怎样呢？动手画一画，你发现了什么？注意：两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等，那么这两个三角形不一定全等。【垂直平分线的定义】垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线.【小组讨论】在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A，B的距离.你发现了什么？由此你能得到什么结论？________________________________________________________________________你能验证这一结论吗？已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.求证：CA=CB.线段垂直平分线的性质________________________________________________________________________符号语言：________________________________________________________________________________________________________________
课堂练习
1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EACC．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EAD2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( )A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACEC．∠BAD＝∠CAE
D．∠BAC＝∠DAE3．下列能判定△ABC≌△A′B′C′的是( )A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′B．∠B＝135°，∠B′＝135°，AB＝B′C′，BC＝C′A′C．AB＝BC＝CA，A′B′＝B′C′＝C′A′，∠A＝∠A′D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′＝135°4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )A．13
B．15
C．17
D．195．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.6．【中考·菏泽】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．参考答案：1.C
2.B
3.D
4.B5.证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，CE＝CD.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，即∠ECB＝∠DCA.在△CDA与△CEB中，∵∴△CDA≌△CEB（SAS）.6.证明：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠ABE＝90°.在△ABE和△CBD中，∵∴△ABE≌△CBD(SAS).(2)解：在△ABC中，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°.∵∠CAE＝30°，∴∠BEA＝∠ACB＋∠CAE＝75°.∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠BEA＝75°.
课堂小结
本节课你学到了什么?1.边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等2.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.3.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
板书
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精品试卷·第
2
页
（共
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新知导入
某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
带左边的玻璃去.
为什么左边的可以，而右边的不可以？
左边的玻璃知道了两条边和一个角这三个条件，而右边的只知道一条边这一个条件.
新知导入
上节课我们研究过两个三角形如果只知道有一组或两组元素对应相等，则这两个三角形不一定全等，而如果两个三角形有3组元素对应相等，这两个三角形很有可能全等。本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?
新知讲解
如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不能唯一确定，这就是说，如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等.
例如，右图中，△ABC与△AB'C不是全等三角形。
如果固定两木条之间的夹角（即∠BAC）的大小，那么△ABC的形状和大小也随之被确定.
新知讲解
如图，在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B',AB=A'B',BC=B'C'.
因为∠B=∠B'，当把它们叠在一起时，可以使射线BA与B'A'重合，射线BC与B'C'重合.又因为AB=A'B'，BC=B'C'，所以点A与点A'重合，点C与点C重合，所以△ABC与△A'B'C重合，
所以△ABC≌△A'B'C.
新知讲解
由此可得结论：__________________________________________，
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
简写成_________或________。
边角边
SAS
几何语言：
新知讲解
【例】
已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：△AOB≌△COD.
新知讲解
【做一做】如图，把两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳.说明卡钳的工作原理。
卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，
∵O是AA'，BB'的中点，∴AO=A'O,BO=B'O,
又∵∠AOB与∠A'OB'是对顶角，∴∠AOB=∠A'OB',
∴△AOB≌△A'OB'(SAS)，AB=A'B'.
只要量出A'B'的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准。
新知讲解
如果“两边及一角”条件中的是其中一边的对角，比如两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°
，情况会怎样呢？
动手画一画，你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
新知讲解
如果“两边及一角”条件中的是其中一边的对角，比如两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°
，情况会怎样呢？
动手画一画，你发现了什么？
注意：两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等，那么这两个三角形不一定全等。
新知讲解
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
【垂直平分线的定义】
如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线.
新知讲解
【小组讨论】在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A，B的距离.你发现了什么？
P1A
____P1B
P2A
____
P2B
P3A
____
P3B
＝
＝
＝
新知讲解
猜想：________________________________________________
命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离分别相等．
新知讲解
已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.
求证：CA=CB.
证明
已知OA=OB，当点C与点O为同一点，即重合时，显然CA=CB.
当点C与点O不重合时，
∵直线l⊥AB(已知）
∴∠COA=∠COB=90°(垂直的定义）.
新知讲解
已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.
求证：CA=CB.
新知讲解
符号语言：
∵ PC垂直平分AB(AC=BC,PC⊥AB)，
∴ PA=PB．
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
课堂练习
1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EAD
C
课堂练习
2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( )
A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACE
C．∠BAD＝∠CAE
D．∠BAC＝∠DAE
B
课堂练习
3．下列能判定△ABC≌△A′B′C′的是( )
A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′
B．∠B＝135°，∠B′＝135°，AB＝B′C′，BC＝C′A′
C．AB＝BC＝CA，A′B′＝B′C′＝C′A′，∠A＝∠A′
D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′＝135°
D
课堂练习
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )
A．13
B．15
C．17
D．19
B
拓展提高
5．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
即∠ECB＝∠DCA.
拓展提高
5．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
中考链接
6．【中考·菏泽】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
中考链接
解：在△ABC中，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°.
∵∠CAE＝30°，
∴∠BEA＝∠ACB＋∠CAE＝75°.
∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠BEA＝75°.
6．【中考·菏泽】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
课堂总结
这节课你学到了什么？
边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
几何语言：
课堂总结
这节课你学到了什么？
符号语言：
∵ PC垂直平分AB(AC=BC,PC⊥AB)，
∴ PA=PB．
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
板书设计
作业布置
P30
练习题
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