2.8 直角三角形全等的判定 同步练习(含解析）

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初中数学浙教版八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（??? ）
A.?两条直角边对应相等。???????????????????????????????????????B.?斜边和一锐角对应相等。
C.?斜边和一条直角边对应相等。?????????????????????????????D.?两锐角相等。
2.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有(?? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
3.下列条件不能保证两个三角形全等的是（???? ）
A.?三边对应相等??????????????????????????????????????????????????B.?两边一角对应相等
C.?两角一边对应相等???????????????????????????????????????????D.?直角边和一个锐角对应相等
4.如图△ABC和△DEF,下列条件中①∠B=∠E=90°，AC=DF；②∠B=∠E，AB=DE,AC=DF;③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF;④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，能证明△ABC≌△DEF的是（?? ）
A.?③ ⑤????????????????????????????B.?① ③⑤????????????????????????????C.?①② ③⑤????????????????????????????D.?①② ③④⑤
5.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（??? ）
A.?∠BAC＝∠BAD???????????B.?AC＝AD或BC＝BD???????????C.?AC＝AD且BC＝BD???????????D.?以上都不正确
6.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ??）

A.?7???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
7.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（?? ）
A.?AE＝DF?????????????????????????????B.?∠A＝∠D?????????????????????????????C.?∠B＝∠C?????????????????????????????D.?AB＝DC
8.如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（?? ）
A.?HL??????????????????????????????????????B.?SAS??????????????????????????????????????C.?AAS??????????????????????????????????????D.?SSS
9.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
10.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(? ??)
A.?①②④???????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?②③④?????????????????????????????????D.?①③
二、填空题
11.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌________，全等的根据是________．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ， P ， Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等．
13.如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 ________?cm．
14.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D ， DE⊥AB于E ． 若△ADE的周长为8cm ， 则AB＝________ cm ．
15.如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝________．
三、解答题
16.如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．

17.已知DC=EC，AB∥DC，∠D=90°， AE⊥BC于点E．求证：∠ACB=∠BAC．

18.如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由；
（2）AB＝AD＋BC
（3）△CDE是不是直角三角形？请说明理由.
19.如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．

（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
答案解析部分
一、单选题
1. D
考点：直角三角形全等的判定
解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
分析：根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
2. D
考点：直角三角形全等的判定
解：根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
分析：根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
3. B
考点：直角三角形全等的判定
解：A、 三边对应相等 （SSS），则三角形全等，正确，不符合题意；
B、 两边一角对应相等?，无边边角定理，不能证明三角形全等，错误，不符合题意；
C、 两角一边对应相等（AAS），则三角形全等，正确，不符合题意；
D、 直角边和一个锐角对应相等 （ASA），则三角形全等，正确，不符合题意.
故答案为：B.
分析：三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，逐项分析即可判断.
4. A
考点：直角三角形全等的判定
解：??①∠B=∠E=90°，AC=DF，只有两个要素对应相等不能证明三角形全等，不符合题意；
②∠B=∠E，AB=DE, AC=DF，无边边角定理，不能证明两三角形全等，不符合题意 ;
③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，则 △ABC≌△DEF （HL），符合题意;
④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，三个角对应相等，不能证明两三角形全等，不符合题意；
⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，则 △ABC≌△DEF（AAS）?， 符合题意；
综上，只有 ③⑤ 符合题意.
故答案为：A.
?分析：三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，直角三角形全等还有斜边直角边定理，逐项分析即可判断.
5. B
考点：直角三角形全等的判定
解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即 AC＝AD或BC＝BD?；
故答案为：B.
分析： 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
6. B
考点：直角三角形全等的判定
解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
分析：根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
7. D
考点：直角三角形全等的判定
解：条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故答案为：D．
分析：这个题目考查的是直角三角形的判定定理的运用。前提条件必须是两个直角三角形，必须有斜边，再加一条直角边，用两个条件即可证明全等。特别注意证明过程的格式书写。
8. A
考点：直角三角形全等的判定
解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线.
故答案为：A.
分析：由作图可知OM=ON ，∠OMP=∠ONP再根据OP是公共边即可作出判断.
9. A
考点：直角三角形全等的判定
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，
在△EDO和△FBO中，
∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴S△DEO=S△BFO，
阴影面积 ?
故答案为：A
分析：在正方形ABCD中，根据三角形的的两个角及其夹边对应相等，两个三角形全等，可证△DEO≌△BFO(ASA)，所以阴影部分的面积可以转化为正方形面积的即可。
10.A
考点：直角三角形全等的判定
解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF,
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
分析：过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF,然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED=?∠BEC=90°。
二、填空题
11.△DFE；HL
考点：直角三角形全等的判定
解：EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等分析：根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
12. 5或10
考点：直角三角形全等的判定
解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
分析：根据直角三角形全等的判定定理，分别证明三角形全等，即可得到答案。
13. 12
考点：直角三角形全等的判定
解：连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
分析：根据直角三角形全等的判定定理容易证得Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，从而可以得出结论
14. 8
考点：全等三角形的性质，直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质
解：∵∠C=90?，BD平分∠CBA，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
∵
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AB=8cm.
故答案为：8cm.
分析：根据题意，结合角平分线的性质，即可得到CD=DE，在题目中，结合已知条件证明直角三角形BCD≌直角三角形BED，即可根据全等三角形的性质得到BC=BE，将△ADE的周长转化为三角形ACB中已知边的长度求出答案即可。
15.
考点：三角形的外角性质，直角三角形全等的判定，角平分线的性质
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD?∠BPC=(x?40)°，
∴∠BAC=∠ACD?∠ABC=2x°?(x°?40°)?(x°?40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
分析： 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
三、解答题
16. 证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
∵CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠C＝∠D．
考点：直角三角形全等的判定
分析：先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D．
17. 证明：∵AB∥DC
∴∠ACD＝∠BAC
∵AE⊥BC
∴∠AEC＝90°
在Rt△ACE和Rt△ACD中

∴Rt△ACE≌Rt△ACD（HL)
∴∠ACB＝∠ACD.
∴∠ACB＝∠BAC.
考点：直角三角形全等的判定
分析：根据直角三角形的判定定理（HL）可判断出三角形全等，根据全等三角形的性质可得出对应角相等。
18. （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等 ，
证明：∵ ∠A=∠B=90 °，
AE=BC，
∵∠1=∠2 ，
则DE=CE，
∴ Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）证明，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
则AD=BE，AE=BC，
∴AE+EB=AD+BC，
即AB=AD+BC.
（3）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴ ∠AED=∠BCE，
∵ ∠AED+∠BEC=?∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠DEC=90°.
考点：直角三角形全等的判定
分析：（1）利用斜边直角边定理，证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形对应边分别相等，结合等式的性质，即可证得AB=AD+BC；
（3）由全等三角形对应角相等，结合等式的性质，求得∠AED和∠BEC之和等于90°，则∠DEC等于90°。
19. （1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，

∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
考点：直角三角形全等的判定
分析：（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt △ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
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