2.3.1 等腰三角形的性质定理同步练习(含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理（1）同步练习
一、单选题
1.等边三角形的一个角是（??? ）．
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.已知一个等腰三角形的底角为 ，则这个三角形的顶角为（??? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
3.在△ABC中，AB=AC，∠C=75°， 则∠A的度数是（ ??）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?50°??????????????????????????????????????C.?75°??????????????????????????????????????D.?150°
4.如右上图,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,则∠AMB的度数为（ ??）
A.?144°????????????????????????????????????B.?120°????????????????????????????????????C.?108°????????????????????????????????????D.?100°
5.若等腰三角形的顶角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为（ ???）
A.?50°??????????????????????????????????????B.?65°??????????????????????????????????????C.?80°??????????????????????????????????????D.?130°
6.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（????? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?45°
7.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，且AB=BD，则∠ACD的度数为（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?35°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?50°
8.在等腰三角形ABC中，∠A=80°.则∠B的度数不可能为（?? ）
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?80°
9.如图,在 中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB、AC于点D和E, =50°, =60°，则 为(?? )
A.?30°???????????????????????????????????????B.?20°???????????????????????????????????????C.?25°???????????????????????????????????????D.?35°
10.已知一个等腰三角形内角的度数之比为1：4，则它的顶角的度数为(??? )
A.?20°??????????????????????????????????B.?36°??????????????????????????????????C.?120°??????????????????????????????????D.?20°或120°
二、填空题
11.等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角的度数为________.
12.若等腰三角形的顶角为α，则一腰上的高线与另一腰的夹角是________(用α的代数式表示)
13.如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A=________.
14.如图，已知 ，点 是射线 上的一个动点，在点 的运动过程中， 恰好是等腰三角形，则此时 所有可能的度数为________ .
15.如图， 为等腰直角三角形， ， 为等边三角形，则 ________.
三、解答题
16.已知如图，四边形 中， ， ，求证： .
17.数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰△ABC中，∠A=100°，求∠B的度数．(答案：40°)
例2：等腰△ABC中，∠A=50°，求∠B的度数．(答案：50°或65°或80°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰△ABC中，∠A=70°，求∠B的度数．
（1）请你解答小敏编的变式题：
（2）解第(1)小题后小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1. B
考点：等边三角形的性质
解：等边三角形三个角相等，且和为180°，所以每一个内角是60°，
故答案为：B.
分析：根据等边对等角得到三个角相等，又三角形内角和是180°，求出等边三角形的每一个角的度数.
2. C
考点：等腰三角形的性质
解：∵等腰三角形的底角为
∴这个三角形的顶角为
故答案为：C
分析：根据等腰三角形的性质及三角形的内角和解答即可.
3. C
考点：等腰三角形的性质
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠B=75°，
∴∠A=180°-∠C-∠B
=180°-75°-75°
=30°.
故答案为：A.
分析：根据等边对等角得出∠C=∠B=75°，进而根据三角形的内角和即可算出∠A的度数.
4. C
考点：等腰三角形的性质
解：如图，
∵∠A＝36°，∠ACM＝∠AMC，
∴∠AMC＝ ＝72°，
∴∠AMB＝180°?72°＝108°.
故答案为：C.
分析：根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和得出∠AMC＝ ＝72°，进而根据邻补角的定义即可求出∠AMB的度数.
5. B
考点：等腰三角形的性质
解： 底角度数=?.
故答案为：B.
分析：根据三角形内角之和等于180°，结合等腰三角形的性质即可求解.
6. B
考点：等腰三角形的性质
解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°．
故答案为：B．
分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
7. C
考点：等边三角形的性质
解：∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∵BD⊥AB，且AB=BD
∴∠CBD=∠ABC＋∠ABD=150°，BC=BD
∴∠BCD=∠BDC= （180°－∠CBD）=15°
∴∠ACD=∠ACB－∠BCD=45°
故答案为：C.
分析：根据等边三角形的性质可得：BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，从而求出∠CBD的度数，然后根据已知条件可得：BC=BD，根据等边对等角和三角形的内角和即可求出∠BCD，从而求出∠ACD的度数.
8. B
考点：等腰三角形的性质
解：当∠A为顶角时,则底角为 ;
当∠A为底角时,∠B为底角则∠B为80°;若∠B为顶角,则为 .
故答案为：B.
分析：分情况讨论：当∠A为顶角时；当∠A为底角时；若∠B为顶角，利用三角形的内角和定理，分别求出∠B的度数即可。
9. B
考点：等腰三角形的性质
解：∵ =50°, =60°，，
∴∠ABC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠ABC=∠EBC+∠ABE=∠EBC+∠A
∴ =∠ABC-∠A=70°-50°=20°，
故答案为：B.
分析：利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形的内角和定理以及外角的性质即可求解.
10. D
考点：等腰三角形的性质
解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.
故答案为：D.
分析：根据题意设两内角的度数为x、4x，再分情况讨论：当等腰三角形的顶角为x时；当等腰三角形的顶角为4x时，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
二、填空题
11. 40°
考点：等腰三角形的性质
解：①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
分析：由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
12. 90-α或者α-90
考点：等腰三角形的性质
解：①当α是锐角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是90°-α；
②当α是钝角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是α-90°；
③当α是直角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是0°，即重合.
综上所述，等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是90°-α或α-90°.
故答案为：90-α或者α-90°.
分析：分三种情况讨论即可.本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论的思想的应用，注意这几种情况要考虑全面.
13. 40°
考点：等腰三角形的性质
解：∵∠ACD=110 ，
∴∠ACB=180 -110 =70 ；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70 ；
∴∠A=∠ACD-∠B=110 -70 =40 .
故答案为：40 .
分析：根据邻补角的定义得出∠ACB=70°，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
14. 30或75或120
考点：等腰三角形的性质
解：（1）若 和 是底角，则有 ；（2）若 和 是底角，则有 ; （3） 是顶角，则有 ；
故答案为：30或75或120.
分析：分三种情况： 和 是底角； 和 是底角; 是顶角，分别进行讨论即可.
15.
考点：等边三角形的性质
解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BA=BD，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴BD=BC，∠CBD=30°，
∴∠BDC=∠BCD= （180°-30°）=75°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°，
故答案为135.
分析：利用等腰三角形的性质分别求出∠ADB，∠BDC即可解决问题.
三、解答题
16. 解：连接 ，
∵AB=AC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
即 .
考点：等腰三角形的性质
分析： 连接 ， 根据等边对等角得出 ∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， 根据等式的性质将两个等式直接相加即可得出结论。
17. （1）解： ∵△ABC为等腰三角形，
①若∠A=∠B，
∵∠A=70°，
∴∠B=70°；
②若∠A=∠C，
∵∠A=70°，
∴∠C=70°；
∴∠B=180°-70°-70°=40°；
③若∠B=∠C，
∵∠A=70°，
∴∠B=×（180°-70）=55°；
综上所述： ∠B的度数为：70°或40°或55°.
（2）解： 当0＜x＜90°时，
①若∠A=∠B，
∵∠A=x°，
∴∠B=x°；
②若∠A=∠C，
∵∠A=x°，
∴∠C=x°；
∴∠B=180°-x°-x°=180°-2x°；
③若∠C=∠B，
∵∠A=x°，
∴∠B=×（180°-x）；
当×（180°-x）≠180°-2x°且180°-2x°≠x且×（180°-x）≠x；
即x≠60°时，∠B有三个不同的度数；
当90°≤x＜180°时，
∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
综上所述：当0＜x＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数.
考点：等腰三角形的性质
分析：（1） 根据等腰三角形的性质分情况讨论：①若∠A=∠B，②若∠A=∠C，③若∠B=∠C，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别计算即可得出答案.
（2）当0＜x＜90°时，根据等腰三角形的性质分情况讨论：①若∠A=∠B，②若∠A=∠C，③若∠C=∠B，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别计算即可得出答案；当×（180°-x）≠180°-2x°且180°-2x°≠x且×（180°-x）≠x；即x≠60°时，∠B有三个不同的度数；当90°≤x＜180°时，此时∠B的度数只有一个.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_