2.7 探索勾股定理（2）同步练习(含解析）

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初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理（2）同步练习
一、单选题
1.判断以下各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是（??? ）
A.?6，15，17???????????????????????B.?7，12，15???????????????????????C.?13，15，20???????????????????????D.?7，24，25
2.下列说法不能得到直角三角形的（??? ）
A.?三个角度之比为 1：2：3 的三角形?????????????????????B.?三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C.?三个边长之比为 8：16：17 的三角形?????????????????D.?三个角度之比为 1：1：2 的三角形
3.下列三角形中，不是直角三角形的是（??? ）
A.?△ABC中,∠A=∠B-∠C????????????????????????????????B.?△ABC中,a:b:c=1:2:3
C.?△ABC中,a2=c2-b2??????????????????????????????????? D.?△ABC中,三边的长分别为m2+n2,m2-n2,2mn(m>n>0)
4.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形是（??? ）
A.?锐角三角形?????????????????????????B.?直角三角形?????????????????????????C.?钝角三角形?????????????????????????D.?不确定
5.已知三角形三边的长分别为3、2、 ，则该三角形的形状是（??? ）
A.?锐角三角形????????????????????????B.?直角三角形????????????????????????C.?钝角三角形????????????????????????D.?无法确定
6.如图，已知 中， 的垂直平分线分别交 于 连接 ，则 的长为（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7. 的三边分别为a，b，c，下列条件：① ；② ；③ .其中能判断 是直角三角形的条件个数有 ??
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
8.在四边形 中， ，若 ，则 的大小为（???? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
9. 的三边 ，且 ，下列结论正确的是（? ）
A.? 是等腰直角三角形且 ????????B.? 是直角三角形或等腰三角形
C.? 是直角三角形，且 ????????????D.? 是直角三角形，且
10.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题的大意是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里；12里；13里，问这块沙田面积有多大？题中的1里=0.5千米，则该沙田的面积为（?? ）
A.?3平方千米??????????????????????B.?7.5平方千米??????????????????????C.?15平方千米??????????????????????D.?30平方千米
二、填空题
11.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 | |=0，则△ABC的形状是________．
12.一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为________．
13.如图所示的网格是正方形网格，则 ________ （点 、 、 、 、 是网格线交点）．
14.在△ABC 中，若 ，则最长边上的高为________．
15.已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4 ， 那么它的形状是________．
三、解答题
16.如图，在 中， ， ， ， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，求 的长．
17.如图，四边形 中， ， ， ， ，且 ，求四边形 的面积．
18.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A,B,其中 ，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D(A、D、B)在同一条直线上)，并新修一条路CD，测得 千米， 千米， 千米.
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明：
（2）求原来的路线 的长.
19.在如图所示的网格中有四条线段AB、CD、EF、GH（线段端点在格点上），
（1）选取其中三条线段，使得这三条线段能围成一个直角三角形.
答：选取的三条线段为________.
（2）只变动其中两条线段的位置，在原图中画出一个满足上题的直角三角形（顶点仍在格点，并标上必要的字母）.________
答：画出的直角三角形为△________.
（3）所画直角三角形的面积为________.
答案解析部分
一、单选题
1. D
考点：勾股定理的逆定理
解：A.因为62＋152≠172,所以以6，15，17为边的三角形不是直角三角形,故A不符合题意;
B.因为72＋122≠152,所以以7，12，15为边的三角形不是直角三角形,故B不符合题意;
C.因为132＋152≠202,所以以13，15，20为边的三角形不是直角三角形,故C不符合题意
D.因为72＋242＝252,所以以7，24，25为边的三角形是直角三角形,故D符合题意;
故答案为：D.
分析：根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
2. C
考点：勾股定理的逆定理
解：A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形；
C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
故答案为：C
分析：三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
3. B
考点：勾股定理的逆定理
解： A、∠A+∠C=∠B，则∠B=90°，则为直角三角形；
B、当三边比值为1:2:3时，则无法构成三角形；
C、根据题意可知： ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形；D、根据题意可知 ，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形.
故答案为：B ．
分析：对于直角三角形的判定我们可以从角的方面去判断，也可以利用勾股定理的逆定理来进行判断.
4. B
考点：勾股定理的逆定理
解：设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，
∴ ，
直角三角形各边长都缩小或扩大k倍后得：ka，kb，kc（k≠0），
∴ ，
即以ka，kb，kc为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：B.
分析：设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，由勾股定理得 ，再根据条件和勾股定理的逆定理，即可得到结论.
5. B
考点：勾股定理的逆定理
解： ，
该三角形是直角三角形，
故答案为： .
分析：两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形.
6. C
考点：线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
解：∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴ ,
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
在Rt△BCD中， ,
∴ ,
解得CD= ，
故答案为：C.
分析：先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD.
7. D
考点：三角形内角和定理，勾股定理的逆定理
解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2 ， ∴a2+c2＝b2 ，
∴△BAC是直角三角形；
③∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2+b2＝25k2 ， c2＝25k2 ，
∴a2+b2＝c2 ，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：D.
分析：根据三角形的内角和定理即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②和③，由此即得答案.
8. C
考点：勾股定理，勾股定理的逆定理
解：连接AC，
∵AB=BC=1，∠B=90°
∴AC= ，
又∵AD=2，DC= ，
∴( )2=22+( )2 ，
即CD2=AD2+AC2 ，
∴∠DAC=90°，
∵ ，
∴∠ACD=90°-α，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BCD=90°-α+45°=135°-α.
故答案为：C.
分析：连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD为直角三角形，且∠DAC=90°，进而可求出∠BCD的度数.
9. D
考点：勾股定理的逆定理
解：∵
∴
∴ 是直角三角形，且
故答案为：D
分析：将 进行化简后，根据勾股逆定理进行判断即可
10. B
考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理
解：因为 ，所以该三角形为直角三角形.
则两直角边为较短的两边，即为5和12，即为2.5千米和6千米.
所以三角形的面积为：2.5×6÷2=7.5（平方千米）
故答案为：B.
分析：根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边为5和12，由1里=0.5千米，可得两直角边分别为2.5千米和6千米，利用三角形的面积公式计算即可.
二、填空题
11. 等腰直角三角形
考点：勾股定理的逆定理，非负数的性质：算术平方根，绝对值的非负性
解：∵ | |=0，
∴ ，| |=0，
∴ 且c=a
∴△ABC为等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
分析：利用二次根式被开方数和绝对值的非负性求得 ，| |=0，从而得到 且c=a，从而进行判断．
12. 150cm2
考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理
解：由题意，设这个三角形的三边长分别为
由其周长得：
解得
则这个三角形的三边长分别为
这个三角形是直角三角形，且斜边长为
则其面积为
故答案为： ．
分析：先求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式即可得．
13. 45
考点：平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
解：如图所示作辅助线，点F、H均在格点上，设一小格为1，
由勾股定理得：AH＝CH＝CE＝ ，AC＝ ，
∴AH2＋CH2＝AC2 ，
∴△AHC是等腰直角三角形，∠HAC＝45°，
又∵AF＝CD＝2，FH＝DE＝1，
∴△AFH≌△CDE，
∴∠FAH＝∠DCE，
∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°，
故答案为：45．
分析：如图作辅助线，证明△AHC是等腰直角三角形，△AFH≌△CDE，得到∠HAC＝45°，∠FAH＝∠DCE，然后根据平行线的性质求出∠FAC＝∠ACB，将∠ACB－∠DCE转化为∠FAC－∠FAH＝∠HAC进行计算即可．
14.
考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理
解：∵ ，
将两个方程相加得： ，
∵a＞0，
∴a=4
代入得： ，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，
?，
即： ，
解得：CD= ，
故答案为： .
分析：解方程 可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
15. 直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
考点：因式分解的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4 ，
∴c2（a2?b2）＝（a2＋b2）（a2?b2），
移项得：c2（a2?b2）?（a2＋b2）（a2?b2）＝0，
因式分解得：（a2?b2）[c2?（a2＋b2）]＝0，
则当a2?b2＝0时，a＝b；当a2?b2≠0时，a2＋b2＝c2；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
分析：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．
三、解答题
16. 解：连接DB，在△ACB中，
∵AB2＋AC2＝62＋82＝100，
又∵BC2 ＝102 ＝100，
∴AB2＋AC2＝BC2 ．
∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，
∵DE垂直平分BC，
∴DC＝DB，
设DC＝DB＝x，则AD＝8?x．
在Rt△ABD中，∠A＝90 ，AB2＋AD2＝BD2 ，
即62＋（8?x）2＝x2 ，
解得x＝ ，
即CD＝ ．
考点：线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
分析：连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A＝90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC＝DB，设DC＝DB＝x，则AD＝8?x．根据勾股定理即可得到结论．
17. 解：如下图，连接AC
∵AB=3，BC=4，∠B=90°
∴在Rt△ABC中，AC=5
∵DC=12，AD=13
又∵
∴△ACD是直角三角形
∴
考点：三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理
分析：如下图，连接AC，可判断△ABC和△ACD是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可得．
18. （1）解：（1）结论：CD是从村庄C到河边最近的路.
理由： ∵在 中， 千米， 千米， 千米
∴ ，即
∴ 是直角三角形
∴
∴
∴CD是从村庄C到河边最近的路.
（2）设 千米，则 千米， 千米
∵在 中，由勾股定理得：
∴
∴
答：原来的路线BC的长为8.45千米.
考点：勾股定理，勾股定理的逆定理
分析：（1）结合已知条件根据勾股定理的逆定理、垂直的定义、垂线段最短即可得解；（2）设 千米，则 千米、 千米，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可.
19. （1）AB、EF、GH
（2）；MGH
（3）5
考点：勾股定理，勾股定理的逆定理
解：（1）由图可知AB=5,CD= ,EF= ,GH= ,
∴ ,即 ,
∴由AB,EF,GH可组成直角三角形.
（ 2 ）如图，三角形MGH即为所示.
如图，可画直角三角形MGH.
（ 3 ） = =5
分析：（1）根据勾股定理及网格特点分别求出AB，CD，EF，GH的长，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
（2）利用（1）结论进行画图即可.
（3）根据三角形的面积公式计算即可.
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