3.1圆-3.3 垂径定理小节培优精选试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1圆-3.3 垂径定理小节培优精选试题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-02 16:20:37 | ||
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文档简介
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浙教版九年级上第三章3.1-3.3小节培优练习（含答案解析）
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?邳州市期末）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
2．（2020?资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
3．（2020?南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
4．（2020?鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A．甲先到B点 B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B D．无法确定
5．（2020?天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
6．（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
7．（2016?宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
8．（2020?广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
9．（2020?齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．（2019?梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
11．（2019?黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
12．（2018?衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
13．（2019秋?安居区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
14．（2020?枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
15．（2020春?武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
二．填空题（共10小题）
16．（2015?盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
17．（2020?甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 ．
18．（2020?南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm．
19．（2020?镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合．
20．（2020?鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝ ．
21．（2019?广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 寸．
22．（2019?嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
23．（2016?南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．
24．（2019?潍坊二模）如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
25．（2020?牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为 ．
三．解答题（共6小题）
26．（2018秋?含山县期末）如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
27．（2018秋?云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
28．（2018秋?莱州市期中）某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
29．（2019秋?红安县期中）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？
30．（2018秋?微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
31．（2015秋?淮安校级月考）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．
浙教版九年级上第三章3.1-3.3小节习题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?邳州市期末）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，
故选：C．
2．（2020?资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
3．（2020?南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
4．（2020?鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A．甲先到B点 B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B D．无法确定
【解答】解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）＝π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，
因此两个同时到B点．
故选：C．
5．（2020?天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确，
故选：D．
6．（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【解答】解：π×12×
＝π×1×
＝π．
答：图中阴影部分的面积为π．
故选：B．
7．（2016?宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【解答】解：∵OA＝＝，
∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外，
故选：A．
8．（2020?广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48，
∴BD＝AB＝×48＝24，
∵⊙O的直径为52，
∴OB＝OC＝26，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
9．（2020?齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
10．（2019?梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
11．（2019?黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
12．（2018?衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【解答】解：连接AB，OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴OF＝．
故选：D．
13．（2019秋?安居区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
【解答】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
14．（2020?枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
15．（2020春?武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
【解答】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
16．（2015?盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 ．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD＝＝5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
17．（2020?甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 3 ．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
故答案为3．
18．（2020?南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 12 cm．
【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝13，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
19．（2020?镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相重合．
【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝＝72°．
故答案为：72．
20．（2020?鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝ 或或 ．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
如图1，
在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE＝PF＝1，
∴PA＝PC＝1，
∴S△APC＝＝；
如图2，
同理：S△APC＝＝；
如图3，
同理：S△APC＝＝；
故答案为：或或．
21．（2019?广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 26 寸．
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
22．（2019?嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
23．（2016?南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm．
【解答】解：如图，设圆心为O，
连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM＝30，AN＝40，
∵CM2+OM2＝AN2+ON2，
∴302+OM2＝402+（70﹣OM）2，
解得：OM＝40，
∴OC＝＝50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
故答案为：50．
24．（2019?潍坊二模）如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 37.5 cm．
【解答】解：如图，设点O为圆环的圆心，连接OA和OD，
∵AB是内圆O的切线，
∴AB⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝180°，
∴O、D、C共线，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30cm，
∴设OA为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，
根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，
解得：r＝37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
25．（2020?牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为 12或4 ．
【解答】解：∵OM⊥AB，
∴AM＝BM，
若∠OAM＝30°，
则tan∠OAM＝，
∴AM＝6，
∴AB＝2AM＝12；
若∠AOM＝30°，
则tan∠AOM＝，
∴AM＝2，
∴AB＝2AM＝4．
故答案为：12或4．
三．解答题（共6小题）
26．（2018秋?含山县期末）如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
【解答】解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM＝DE．
∵DE＝8（cm）
∴DM＝4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），
∴OM＝＝＝3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
27．（2018秋?云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【解答】解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16．
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
28．（2018秋?莱州市期中）某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
【解答】解：如图所示：
连接OC，
∵OA＝AE＝0.5m，
∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，
∴BC＝＝＝3.2＞3m
∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．
29．（2019秋?红安县期中）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB
由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，
当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm时，
则OC′＝＝30cm，
水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
30．（2018秋?微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB＝＝10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM＝＝5，
∴点C在⊙M上．
31．（2015秋?淮安校级月考）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．
【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′?OA＝22，
而r＝2，OA＝4，
∴OA′＝1，
∵OB′?OB＝22，
∴OB′＝2，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，
∴A′B′＝2sin60°＝．
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浙教版九年级上第三章3.1-3.3小节培优练习（含答案解析）
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?邳州市期末）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
2．（2020?资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
3．（2020?南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
4．（2020?鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A．甲先到B点 B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B D．无法确定
5．（2020?天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
6．（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
7．（2016?宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
8．（2020?广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
9．（2020?齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．（2019?梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
11．（2019?黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
12．（2018?衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
13．（2019秋?安居区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
14．（2020?枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
15．（2020春?武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
二．填空题（共10小题）
16．（2015?盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
17．（2020?甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 ．
18．（2020?南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm．
19．（2020?镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合．
20．（2020?鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝ ．
21．（2019?广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 寸．
22．（2019?嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
23．（2016?南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．
24．（2019?潍坊二模）如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
25．（2020?牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为 ．
三．解答题（共6小题）
26．（2018秋?含山县期末）如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
27．（2018秋?云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
28．（2018秋?莱州市期中）某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
29．（2019秋?红安县期中）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？
30．（2018秋?微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
31．（2015秋?淮安校级月考）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．
浙教版九年级上第三章3.1-3.3小节习题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?邳州市期末）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，
故选：C．
2．（2020?资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
3．（2020?南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．
4．（2020?鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A．甲先到B点 B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B D．无法确定
【解答】解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）＝π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，
因此两个同时到B点．
故选：C．
5．（2020?天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确，
故选：D．
6．（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【解答】解：π×12×
＝π×1×
＝π．
答：图中阴影部分的面积为π．
故选：B．
7．（2016?宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【解答】解：∵OA＝＝，
∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外，
故选：A．
8．（2020?广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48，
∴BD＝AB＝×48＝24，
∵⊙O的直径为52，
∴OB＝OC＝26，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
9．（2020?齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
10．（2019?梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
11．（2019?黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
12．（2018?衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【解答】解：连接AB，OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴OF＝．
故选：D．
13．（2019秋?安居区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
【解答】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
14．（2020?枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，2+） D．（﹣1，2+）
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
15．（2020春?武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
【解答】解：观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
16．（2015?盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 ．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD＝＝5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
17．（2020?甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 3 ．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
故答案为3．
18．（2020?南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 12 cm．
【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝13，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
19．（2020?镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相重合．
【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝＝72°．
故答案为：72．
20．（2020?鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝ 或或 ．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
如图1，
在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE＝PF＝1，
∴PA＝PC＝1，
∴S△APC＝＝；
如图2，
同理：S△APC＝＝；
如图3，
同理：S△APC＝＝；
故答案为：或或．
21．（2019?广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为 26 寸．
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
22．（2019?嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
23．（2016?南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm．
【解答】解：如图，设圆心为O，
连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM＝30，AN＝40，
∵CM2+OM2＝AN2+ON2，
∴302+OM2＝402+（70﹣OM）2，
解得：OM＝40，
∴OC＝＝50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
故答案为：50．
24．（2019?潍坊二模）如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是 37.5 cm．
【解答】解：如图，设点O为圆环的圆心，连接OA和OD，
∵AB是内圆O的切线，
∴AB⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝180°，
∴O、D、C共线，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30cm，
∴设OA为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，
根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，
解得：r＝37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
25．（2020?牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为 12或4 ．
【解答】解：∵OM⊥AB，
∴AM＝BM，
若∠OAM＝30°，
则tan∠OAM＝，
∴AM＝6，
∴AB＝2AM＝12；
若∠AOM＝30°，
则tan∠AOM＝，
∴AM＝2，
∴AB＝2AM＝4．
故答案为：12或4．
三．解答题（共6小题）
26．（2018秋?含山县期末）如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
【解答】解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM＝DE．
∵DE＝8（cm）
∴DM＝4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），
∴OM＝＝＝3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
27．（2018秋?云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【解答】解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16．
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
28．（2018秋?莱州市期中）某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
【解答】解：如图所示：
连接OC，
∵OA＝AE＝0.5m，
∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，
∴BC＝＝＝3.2＞3m
∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．
29．（2019秋?红安县期中）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB
由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，
在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，
当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm时，
则OC′＝＝30cm，
水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
30．（2018秋?微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB＝＝10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM＝＝5，
∴点C在⊙M上．
31．（2015秋?淮安校级月考）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“美好点”．如图2，⊙O的半径为2，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝4，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的美好点，求A′B′的长．
【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′?OA＝22，
而r＝2，OA＝4，
∴OA′＝1，
∵OB′?OB＝22，
∴OB′＝2，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，
∴A′B′＝2sin60°＝．
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日期：2020/8/2 13:29:53；用户：1032650243；邮箱：1032650243@qq.com；学号：20715072
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