3.4圆心角-3.5圆周角小节培优精选试题（含解析）

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浙教版九年级上第三章3.4—3.5圆心角圆周角习题精选
一．选择题（共12小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．（2019秋?柯桥区期末）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
3．（2019秋?吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020?项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（　　）
A．25° B．40° C．50° D．60°
5．（2020?烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．85°
6．（2020?碑林区校级二模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．12
7．（2020?雁塔区校级一模）如图，B、C两点在以AD为直径的半圆O上，若∠ABC＝4∠D，且＝3，则∠A的度数为（　　）
A．60° B．66° C．72° D．78°
8．（2020?牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
9．（2020?青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（　　）
A．99° B．108° C．110° D．117°
10．（2020?北海模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝2，CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
11．（2020?道里区二模）如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是（　　）
A． B．3 C．2 D．4
12．（2020?恩平市模拟）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
二．填空题（共10小题）
13．（2020?望花区二模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°圆弧多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点），以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2020秒时点P的纵坐标为　 　．
14．（2019秋?蕲春县期中）如图，AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．③＝，④AC＝AD．其中正确的有　 　（填序号）．
15．（2020?聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是　 　．
16．（2020?徐州模拟）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝35°，则∠BOC的度数为　 　°．
17．（2020?徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，OC长为　 　．
18．（2020?德阳模拟）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB＝cm，CD＝cm，则弦AC、BD的夹角∠APB的度数为　 　．
19．（2020?市南区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC＝28°，则∠D的度数是　 　°．
20．（2020?随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　 　．
21．（2018?北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　 　．
22．（2019秋?聊城期中）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．⊙C的半径和圆心C的坐标分别是　 　，　 　．
三．解答题（共10小题）
23．（2020?淮南二模）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
24．（2020?武汉模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
25．（2020?南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
26．（2019?包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
27．（2020?河北区一模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
28．（2019秋?襄阳期末）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．
（1）求证：∠ADC＝∠AOB；
（2）求AE＝2，BC＝6，求OA的长．
29．（2020?凉山州一模）如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
30．（2019秋?崇川区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，若EC＝BC，且∠1＝∠2．求证：DC＝BC．
31．（2019秋?东西湖区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
32．（2018秋?醴陵市期末）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．
（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．
（2）求证：DF＝EF
浙教版九年级上第三章3.4—3.5圆心角圆周角
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【解答】解：∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠AOC＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠D＝∠A＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：D．
2．（2019秋?柯桥区期末）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
3．（2019秋?吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，
∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴DE＝AC＝2，
∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，
在Rt△BEF，BE＝＝2，
∵△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝×2＝．
故选：D．
4．（2020?项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（　　）
A．25° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A＝65°，∠D＝60°，
∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，
∵＝150°，
∴∠AOD＝150°，
∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，
则的度数为60°．
故选：D．
5．（2020?烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．85°
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，
故选：C．
6．（2020?碑林区校级二模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．12
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BOC＝2∠BCD＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝6×＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：B．
7．（2020?雁塔区校级一模）如图，B、C两点在以AD为直径的半圆O上，若∠ABC＝4∠D，且＝3，则∠A的度数为（　　）
A．60° B．66° C．72° D．78°
【解答】解：连接OC，OB．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC＝4∠D，
∴∠D＝36°，
∵OC＝DO，
∴∠OCD＝∠D＝36°，
∴∠DOC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∵＝3，
∴∠COD＝3∠BOC，
∴∠BOC＝36°，
∴∠BOD＝36°+108°＝144°，
∴∠A＝∠DOB＝72°，
故选：C．
8．（2020?牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
9．（2020?青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（　　）
A．99° B．108° C．110° D．117°
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
故选：B．
10．（2020?北海模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝2，CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OE＝OC＝×2＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故选：B．
11．（2020?道里区二模）如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是（　　）
A． B．3 C．2 D．4
【解答】解：设半径OC⊥弦AB于点E，
∴＝，
∴∠D＝∠BOC＝30°，
∴∠BO4＝60°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵OB＝2，
∴AE＝EB＝OB?sin60°＝，
∴AB＝2AE＝2，
故选：C．
12．（2020?恩平市模拟）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵＝2，
∴∠DOB＝×90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB?sin∠ABD＝2，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故选：A．
二．填空题（共10小题）
13．（2020?望花区二模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°圆弧多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点），以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2020秒时点P的纵坐标为　0　．
【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．
如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝×2＝1，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2020÷4＝505，
∴第2020秒时点P的纵坐标为是0．
故答案为0．
14．（2019秋?蕲春县期中）如图，AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．③＝，④AC＝AD．其中正确的有　①②③④　（填序号）．
【解答】解：∵AB⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，＝，①②③正确，
∵＝，
∴AC＝AD，④正确，
故答案为：①②③④．
15．（2020?聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是　60°　．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠D+∠AOC＝180°，
∵∠AOC＝2∠D，
∴3∠D＝180°，
∴∠ADC＝60°，
故答案为60°．
16．（2020?徐州模拟）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝35°，则∠BOC的度数为　70　°．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝2∠ADC＝2×35°＝70°．
故答案为70．
17．（2020?徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，OC长为　　．
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），
CD∥OA，CD＝OB＝8，
过点M作MF⊥CD于F，则CF＝CD＝4，
过C作CE⊥OA于E，
∵A（10，0），
∴OA＝10，OM＝5，
∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝5﹣4＝1，
连接MC，MC＝OA＝5
∴在Rt△CMF中，
MF＝＝＝3，
∴CE＝MF＝3，
∴OC＝＝＝，
故答案为：．
18．（2020?德阳模拟）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB＝cm，CD＝cm，则弦AC、BD的夹角∠APB的度数为　105°　．
【解答】解：连接OA、OB、BC，作直径CE，连接DE，如图，
∵OA＝OB＝5，AB＝5，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°，
∵CE为直径，
∴∠CDE＝90°，
∵sin∠E＝＝＝，
∴∠E＝60°，
∴∠PBC＝∠E＝60°，
∴∠APB＝45°+60°＝105°．
故答案为105°．
19．（2020?市南区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC＝28°，则∠D的度数是　62　°．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠BAC＝28°，
∴∠B＝62°
∴∠D＝∠B＝62°．
故答案为：62．
20．（2020?随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　30°　．
【解答】解：∵∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°．
故答案为30°．
21．（2018?北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　70°　．
【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
22．（2019秋?聊城期中）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．⊙C的半径和圆心C的坐标分别是　4　，　（，2）　．
【解答】解：连接AB，OC，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO＝120°，
∴∠BCO＝120°，∠BAO＝60°，
∵AC＝OC，∠BAO＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴⊙C的半径＝OA＝4；
过C作CD⊥OB于D，则OD＝OB，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴OD＝＝＝2，CD＝BC＝×4＝2，
∴D点坐标为（﹣2，0），
∴C点坐标为（﹣2，2）．
故答案为：4，C（﹣2，2）．
三．解答题（共10小题）
23．（2020?淮南二模）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
24．（2020?武汉模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AD＝BC．
25．（2020?南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
26．（2019?包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
27．（2020?河北区一模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
【解答】解：（1）∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；
（2）连接BD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵OC∥AB，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，
∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ACO＝30°．
28．（2019秋?襄阳期末）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．
（1）求证：∠ADC＝∠AOB；
（2）求AE＝2，BC＝6，求OA的长．
【解答】（1）证明：∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB；
（2）解：∵OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝×6＝3，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OE＝r﹣2，
在Rt△OBE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r＝，
即OA的长为．
29．（2020?凉山州一模）如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．
30．（2019秋?崇川区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，若EC＝BC，且∠1＝∠2．求证：DC＝BC．
【解答】证明：∵EC＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠1+∠CBD＝∠2+∠BAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠BDC，
∴BC＝CD．
31．（2019秋?东西湖区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
【解答】证明：（1）连接OB、OC，
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
32．（2018秋?醴陵市期末）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．
（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．
（2）求证：DF＝EF
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHA＝∠ADB＝90°，
又∵∠DAB＝∠HAD，
∴△DAB∽△HAD，
∴＝即＝，
∴AH＝3.6．
（2）证明：∵＝，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵DH⊥AB，
∴∠FDE+∠B＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DEF+∠DAC＝90°，
∴∠DEF＝∠FDE，
∴DF＝EF．
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