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浙教版版数学八年级上册2.1
图形的轴对称导学案
课题
2.1
图形的轴对称
单元
第二单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1了解轴对称图形的概念，了解成轴对称图形的概念。2.会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴。3.能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
重点
图形的轴对称概念和性质。
难点
通过操作，观察、分析、归纳得出轴对称的性质。
教学过程
课前预学
北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构，由于轴对称给人以美感，它被广泛应用于建筑设计上.观察图中的几组图片和图形，它们有什么共同特点?
新知讲解
什么叫做轴对称图形？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________例如，长方形是有两条对称轴的轴对称图形，如图1；正方形是有四条对称轴的轴对称图形，如图2；圆也是轴对称图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴，如图3.【思考】1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.（1）四边形ABDC是轴对称图形吗?如果你认为是，说出它的对称轴。哪一个点与点B对称?（2）如图，连结BC，交AD于点E.把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗?∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论?【议一议】（1）在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有什么关系？（2）对应线段有什么关系？（3）对应角有什么关系？（4）在两个成轴对称的图形中呢？【总结归纳】在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段______________________________________________________________________________________________轴对称图形有下面的性质：________________________________________________例1
如下图，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A'，B'，C'为顶点的△A'B'C'.如果把图2-7沿直线m折叠，那么△A'B'C'就和△ABC重合，这时我们说△A'B'C'与△ABC关于直线m成轴对称。__________________________________________________________________________________叫做图形的轴对称，这条直线叫做_______。图形的轴对称有下面的性质：_______________________________________1.如图，已知线段AB和直线l.以直线l为对称轴，作与线段AB成轴对称的图形。
例2
如下图，直线l表示草原上的一条河流.一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中.他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.将军饮马问题解题思路的归纳1.?怎么对称，作谁的对称？?______________________________________________________________________________________________________________________________________________2.?对称完以后和谁连接？?______________________________________________________________________________________________________________________________________________3.?所求点怎么确定？?_______________________________________________________________________
课堂练习
1.下列图形中一定是轴对称图形的是( )2.已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )A．△ABC的边AB的垂直平分线B．∠ACB的平分线所在的直线C．△ABC的边BC上的中线所在的直线D．△ABC的边AC上的高所在的直线3.
以下图形，对称轴的数量小于3的是( )4.如图，正六边形ABCDEF关于直线l成轴对称的图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是( )A．AB＝A′B′
B．DC∥B′C′C．直线l⊥BB′
D．∠A′＝120°5.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.试说明点E，F关于AD对称．6.【中考·聊城】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(
)A．115°
B．120°
C．130°
D．140°7．【
中考?遵义】把一张长方形纸片按如图①②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( )
课堂小结
本节课你学到了什么?1.轴对称图形的概念2.
两个图形成轴对称的概念3.
两者的区别与联系4.
找轴对称图形的对称轴及对应点
板书
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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新知导入
北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构，由于轴对称给人以美感，它被广泛应用于建筑设计上.
新知导入
观察图中的几组图片和图形，它们有什么共同特点?
它们都关于某一条直线对称。
新知讲解
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
这条直线叫做对称轴。
轴对称图形
对称轴
新知讲解
例如，长方形是有两条对称轴的轴对称图形，如图1；正方形是有四条对称轴的轴对称图形，如图2；圆也是轴对称图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴，如图3.
图1
图2
图3
新知讲解
【思考】1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？
注意：判断一个图形是不是轴对称图形，关键是抓住轴对称的本质，即图形是否有“存在直线，将其折叠，互相重合”的图形特征。
新知讲解
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.
（1）四边形ABDC是轴对称图形吗?如果你认为是，说出它的对称轴。哪一个点与点B对称?
新知讲解
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.
（2）如图，连结BC，交AD于点E.把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗?∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论?
新知讲解
【议一议】
（1）在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有什么关系？
（2）对应线段有什么关系？
（3）对应角有什么关系？
（4）在两个成轴对称的图形中呢？
相等
相等
相等
垂直平分
新知讲解
【总结归纳】
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
轴对称图形有下面的性质：
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
新知讲解
例1
如图2-6，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A'，B'，C'为顶点的△A'B'C'.
图2-6
新知讲解
分析
如下图，根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”的性质，直线m垂直平分线段AA'，所以只要过点A作直线m的垂线段AP，延长AP至A'，使A'P=AP，则A'便是点A的对称点.类似地，可以作出点B，C的对称点B'，C'
P
A'
新知讲解
解
如图2-7.
1.作AP⊥m，延长AP至A'，使A'P=AP.
2.按上述方法作出点B的对称点B'，点C的对称点C'.
3.依次连结A'B',B'C',C'A'.
△A'B'C'就是所求作的三角形。
P
A'
B'
C'
图2-7
新知讲解
如果把图2-7沿直线m折叠，那么△A'B'C'就和△ABC重合，这时我们说△A'B'C'与△ABC关于直线m成轴对称。
一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴。
图形的轴对称有下面的性质：
成轴对称的两个图形是全等图形.
新知讲解
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合.
2.可以互相转化.
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别
联系
新知讲解
1.如图，已知线段AB和直线l.以直线l为对称轴，作与线段AB成轴对称的图形。
A'
B'
新知讲解
例2
如图2-8，直线l表示草原上的一条河流.一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中.他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.
图2-8
新知讲解
解
如图，作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B，交直线l于点C，连结AC.骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短.
A'
C
新知讲解
下面给出证明：
设P是直线l上任意一点，连结AP，A'P.
由作图知，直线l垂直平分AA'，
则AC=A'C,AP=A'P(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
∴AP+BP=A'P+BP≥A'B,
A'B=A'C+BC=AC+BC，
即AP+BP≥AC+BC，
所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。
P
新知讲解
将军饮马问题解题思路的归纳
简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。
那么作谁的对称点？
首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。
1.?怎么对称，作谁的对称？?
新知讲解
和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。
明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。
将军饮马问题解题思路的归纳
2.?对称完以后和谁连接？?
新知讲解
所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。
将军饮马问题解题思路的归纳
3.?所求点怎么确定？?
课堂练习
1.下列图形中一定是轴对称图形的是( )
D
课堂练习
2.已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
C
课堂练习
3.
以下图形，对称轴的数量小于3的是( )
D
课堂练习
4.如图，正六边形ABCDEF关于直线l成轴对称的图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是( )
A．AB＝A′B′
B．DC∥B′C′
C．直线l⊥BB′
D．∠A′＝120°
B
拓展提高
5.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.试说明点E，F关于AD对称．
解：如图，连结EF交AD于点G，
因为AD平分∠BAC，所以∠EAD＝∠FAD.
又因为∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
所以△ADE≌△ADF(AAS)．
所以AE＝AF.
拓展提高
5.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.试说明点E，F关于AD对称．
又因为∠EAG＝∠FAG，AG＝AG，
所以△AEG≌△AFG
(SAS)．
所以EG＝FG，∠AGE＝∠AGF.
又因为∠AGE＋∠AGF＝180°，
所以∠AGE＝∠AGF＝90°.
所以AD垂直平分EF.
所以点E，F关于AD对称．
中考链接
6.【中考·聊城】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(
)
A．115°
B．120°
C．130°
D．140°
A
中考链接
7．【
中考?遵义】把一张长方形纸片按如图①②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( )
C
课堂总结
通过本节课的学习，你有什么收获？
1.
轴对称图形的概念
2.
两个图形成轴对称的概念
3.
两者的区别与联系
4.
找轴对称图形的对称轴及对应点
板书设计
作业布置
课本
P51
练习题
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