浙教版八年级上册数学3.2 不等式的基本性质讲义（附答案）

八年级上册数学——第3章
一元一次不等式
3.2
不等式的基本性质
①
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．如果，那么；
②
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．?如果，，那么
（或）；
③
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果，，那么
?
（或
）．??
不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．
不等式的传递性：如果，，那么．
例题精讲：
解：（2）
解：>，<，<，<，>，<。
解：A
1.
若
，则下列不等式中错误的是
A.
B.
C.
D.
2.
设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么
这三种物体按质量从大到小的顺序排列是
A.
B.
C.
D.
3.
下列结论中，正确的是
A.
若
，则
B.
若
，则
C.
若
，则
D.
若
，则
4.
对于命题“，
是有理数，若
，则
”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题?给出下列说法：
①
，
是有理数，若
，则
；
②
，
是有理数，若
，且
，则
；
③
，
是有理数，若
，则
；
④
，
是有理数，若
，且
，则
．
其中真命题有
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
5.
由
得到
的条件是
?．
6.
设
，用“”或“”填空：
（1）
?
；
（2）
?
；
（3）
?
；
（4）
?
；
（5）
?
．
7.
若
，则
，，
的大小关系为（用“”连接）
?．
8.
已知不等式
．
（1）如果
，求
的取值范围；
（2）如果
，求
的取值范围．
9.
比较下列算式结果的大小（在横线上填“”“”或“”）：
?
；
?
；
?
；
?
；
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明．
10.
如果
，那么下列不等式中一定成立的是
A.
B.
C.
D.
11.
已知
，若
，则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
12.
已知
，
两数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论中正确的是
A.
B.
C.
D.
13.
求差法比较大小，就是根据两数之差是正数、负数或
，来判断两数大小关系的方法．若
，，则
与
的大小关系为
A.
B.
C.
D.
无法确定
14.
已知非负数
，，
满足条件
，，设
的最大值为
，最小值为
，则
的值为
?．
15.
已知
且
，则
的取值范围是
?．
16.
已知
，试比较
与
的大小．
17.
用等号或不等号填空：
（1）比较
与
的大小：
当
时，
?
；
当
时，
?
；
当
时，
?
．
（2）无论
取什么值，
与
总有怎样的大小关系?试说明理由．
（3）比较
与
的大小，并说明理由．
（4）比较
与
的大小．
18.
5名学生的身高各不相同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为
，后两名的平均身高为
；前两名的平均身高为
，后三名的平均身高为
，则
A.
B.
C.
D.
以上都不对
19.
现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等号的方向改变．
请解答下列问题：
（1）利用性质①比较
与
的大小（）．
（2）利用性质②比较
与
的大小（）．
20.
同学们在
《
数学
》
七年级下册学习了作差法比较大小，请根据你学过的知识解答下列问题：
（1）已知
，，比较
与
的大小．
（2）已知
，，则
与
能否相等?若相等，请注明相等的条件．
（3）根据（1）（2）题中的结论，请求出代数式
的最小值，并指出代数式取最小值时
的值．
巩固详练：
1．【2017·常州】若3x＞－3y，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．x＋y＞0
B．x－y＞0
C．x＋y＜0
D．x－y＜0
2．下列推理正确的是(　　)
A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1
B．因为a＜b，所以a－1＜b－2
C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c
D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d
3．【中考·怀化】下列不等式变形正确的是(　　)
A．由a＞b，得ac＞bc
B．由a＞b，得－2a＞－2b
C．由a＞b，得－a＜－b
D．由a＞b，得a－2＜b－2
4．【2018·宿迁】若a＜b，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．a－1＜b－1
B．2a＜2b
C．－＞－
D．a2＜b2
5．若－a＞a，则a必是(　　)
A．正整数
B．负整数
C．正数
D．负数
6．【中考·本溪】若a＜－2＜b，且a，b是两个连续整数，则a＋b的值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
7．【2017·大庆】下列说法中，正确的是(　　)
A．a≠b，则a2≠b2
B．若a＞|b|，则a＞b
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若|a|＞|b|，则a＞b
8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图，把－a，－b，0按从小到大的顺序排列，正确的是(　　)
A．－a＜0＜－b
B．0＜－a＜－b
C．－b＜0＜－a
D．0＜－b＜－a
9．【2018·浙江绍兴柯桥期末】已知a＜b，则有以下结论：①a＋c＜b＋c；②＜；③c－a＞c－b；④a|c|＜b|c|.其中正确的结论的序号是(　　)
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
10．【2017·浙江杭州西湖期末】若a＞b，且(x＋2)a＜(x＋2)b，则x的取值范围为________．
11．如图，四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，试将他们的体重从小到大排列．
12．“0＞5”，你信吗？请你仔细阅读下面“0＞5”的推导过程：
已知x＞y，
两边都乘5，得5x＞5y，①
两边都减去5x，得0＞5y－5x，②
即0＞5(y－x)，③
两边都除以y－x，得0＞5.④
显然“0＞5”是不成立的，那么你能找出推导过程的问题所在吗？为什么？
13．【中考·湖州】已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x＋y＝a＋b，y－x＜a－b.请将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是________________．
14．已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，试判断下列各式是否成立，并说明理由．
（1）ab＜ac；
（2）a＋b＜b＋c.
在一家超市中，商品甲的价格比商品乙的价格高，但又不到商品乙价格的两倍．临近新年，商家决定把商品价格都提高10%
问：提价后商品甲的价格仍比商品乙的价格高，但不到商品乙价格的两倍吗？如果每件商品各涨5元呢？
16．已知关于x的不等式(1－a)x＞2两边都除以1－a，得x＜，试化简：|a－1|＋|a＋2|.
17．先填空，再探究：
（1）①如果a－b＞0，那么a________b；
②如果a－b＝0，那么a________b；
③如果a－b＜0，那么a________b.
由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
用（1）的方法，你能否比较3x2－3x＋7与4x2－3x＋7的大小？如果能，请写出比较过程．
参考答案
1.
C
2.
B
3.
C
4.
D
5.
6.
（1），（2），（3），（4），（5）
7.
8.
（1）
由
且
可得
，
．
????（2）
由
且
可得
，
．
9.
；；；
一般结论：若
，
是两个实数，则
．
证明：
，
．
．
10.
A
11.
C
12.
C
13.
B
14.
【解析】，，
为非负数，
．
，
，
．
，
．
又
，
时
最小，即
，
，
，
，
，
时
最大，即
，
，
．
15.
16.
，
两边都乘
得
，
两边都减
得
，
．
17.
（1）
；；
??????（2）
无论
取什么值，总有
．理由如下：
，
无论
取什么值，总有
．
??????（3）
，
．
??????（4）
，
当
时，，；
当
时，，；
当
时，，．
18.
B
19.
（1）
当
时，
，
；
当
时，
，
．
??????（2）
当
时，
，得
，
；
当
时，，得
，
．
20.
（1）
．
??????（2）
能相等．当
，即
时，．
??????（3）
，
当
，
即
时，取得最小值，最小值为
．
巩固详练：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
C
C
D
D
A
B
C
A
12、解：错在④.
∵x＞y，
∴y－x＜0.不等式两边同时除以负数y－x，不等号应改变方向才能成立．
13、∵x＋y＝a＋b，
∴y＝a＋b－x，x＝a＋b－y，
分别代入y－x＜a－b得x＞b，y＜a.
又∵b＞a，
∴这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是y＜a＜b＜x.
答案：y＜a＜b＜x　
14、（1）解：不成立．
理由：根据数轴易看出：b＞c，a＞0，
所以ab＞ac，
所以原结论不成立．
（2）解：不成立．
理由：根据数轴易看出：a＞c，
两边都加上b，得a＋b＞b＋c，
所以原结论不成立．
15、解：设甲、乙两件商品的价格分别为x元、y元．
根据题意，得x＞y，x＜2y.
涨价10%后，甲、乙两件商品的价格分别为1.1x元、1.1y元，
根据不等式的基本性质3，得1.1x＞1.1y，1.1x＜2.2y＝2×1.1y，
即提价后商品甲的价格仍比商品乙的价格高，但不到商品乙价格的两倍．涨价5元后，甲、乙两件商品的价格分别为(x＋5)元、(y＋5)元，
由不等式的基本性质2，
可得x＋5＞y＋5，x＋5＜2y＋5，
而2y＋5＜2(y＋5)，
即x＋5＜2(y＋5)，
即涨价5元后商品甲的价格仍比商品乙的价格高，但不到商品乙价格的两倍．
16、解：由已知得1－a＜0，即a＞1.则|a－1|＋|a＋2|＝a－1＋a＋2＝2a＋1.
17、（1）
>，=，<
（2）解：比较a，b两数的大小，如果a减b的差大于0，则a＞b；如果a减b的差等于0，则a＝b；如果a减b的差小于0，则a＜b.
（3）解：能．∵(3x2－3x＋7)－(4x2－3x＋7)＝－x2≤0，
∴3x2－3x＋7≤4x2－3x＋7.
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