3.8 弧长及扇形的面积培优精选试题（含解析）

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3.8弧长与面积公式小节习题精选（培优篇）
一．选择题（共10小题）
1．（2020?武汉模拟）如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
2．（2018?辉县市二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣2 B．π+2 C．2﹣π D．+π
3．（2017?温州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，分别以A、B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，若BC＝2AC，且的长度恰好是的倍，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π
4．（2020?镇海区模拟）如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
5．（2020?历城区二模）如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE、OF和上，且点A是线段OB的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2019?武汉模拟）如图，AB为半圆的直径，AB＝4，C、D为上两点，且＝，若∠CED＝∠COD，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2018秋?吴兴区期末）如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则弧HR的弧长为（　　）
A． B．π C．π D．π
8．（2018秋?香洲区期末）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、E．若DE＝，则弧AB的长为（　　）
A． B． C． D．2π
9．（2020?黄冈二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（　　）
A． B． C． D．
10．（2013?涪城区校级自主招生）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1?A2?A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（　　）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
二．填空题（共10小题）
11．（2020?唐河县一模）如图所示，扇形AOB中，∠AOB＝130°，点C为OA中点，OA＝10，CD⊥AO交于D，以OC为半径画交OB于E，则图中阴影部分面积为　 　．
12．（2019秋?绵阳期末）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于　 　．
13．（2018?青羊区模拟）如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值＝　 　．
14．（2019?厦门一模）如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长　 　．
15．（2018秋?鼓楼区期中）已知边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，使AB边与弦MN重合，如图所示，将正方形在圆中逆时针滚动，在滚动过程中，点M、D之间距离的最小值是　 　．
16．（2020?张家界）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是　 　．
17．（2020?郑州二模）如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
18．（2019秋?中山市期末）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AD长为半径画弧，交AB边于F点；再以顶点C为圆心，线段CD长为半径画弧，交AB边于点E，若AD＝，CD＝2，则、和EF围成的阴影部分面积是　 　．
19．（2020?萧山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1．将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD，再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，则图中阴影部分的面积是　 　．
20．（2020?铁西区二模）以A为圆心，半径为9的四分之一圆，与以C为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积为　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2019秋?伊通县期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
22．（2019?长春一模）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
（1）求证：OD⊥DE．
（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．
23．（2019秋?曲阜市校级月考）如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是多少？
24．（2017秋?嵊州市期末）如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求证：AF＝DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
25．（2017秋?费县期末）如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，AC长10cm．
（1）求点O到AB的距离；
（2）求阴影部分的面积．
26．（2017秋?鄞州区校级月考）如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD＝CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE＝2AC＝6，求阴影部分的面积．
27．（2017秋?东台市期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．
（1）设AB＝m，PB＝n（m＞n），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图中阴影部分）的面积；
（2）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
28．（2017?平邑县校级模拟）如图，菱形ABCO的顶点A的坐标为（﹣4，0），∠ABC＝60°，将菱形ABCO绕点O顺时针旋转270°得到菱形A′B′C′O，图中阴影部分是菱形ABCO旋转时所扫过的面积，该圆弧与x轴的负半轴交于点M．
（1）求点C′的坐标和空白部分的∠AOC′的度数；
（2）试判断点M是否在A′B′所在的直线上，并说明理由；
（3）求图中阴影部分的面积．
29．（2016秋?鄱阳县校级期末）已知：如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P'CB，若AB＝m，PB＝n（n＜m）．求△PAB旋转过程中边PA扫过区域（阴影部分）的面积；
（2）若PA＝，PB＝2，∠APB＝135°，求PC的长．
3.8弧长与面积公式小节习题精选（培优篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020?武汉模拟）如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【解答】解：在AE上截取AG＝BM，连接CG，
∵AC＝BC，∠A＝∠B，
∴△ACG≌△BCM（SAS），
∴CG＝CM＝，
∵AE＝2，AG＝BM＝，
∴GE＝，
∵CE⊥AM，
∴CE＝＝＝2，
∴tan∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠COM＝60°，
连接OM，CO，
∵OC＝OM，
∴△COM是等边三角形，
∴OC＝，
∴的长＝＝，
故选：A．
2．（2018?辉县市二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣2 B．π+2 C．2﹣π D．+π
【解答】解：连接OE，
∵∠BOA＝90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA＝4
∴∠ECO+∠COA＝180°，OB＝OE＝4，OC＝2，
∴∠OCE＝90°，OE＝2OC，
∴∠EOC＝60°，CE＝2，
∴阴影部分的面积为：＝，
故选：A．
3．（2017?温州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，分别以A、B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，若BC＝2AC，且的长度恰好是的倍，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【解答】解：如图，连接ED，作AM⊥EC于M，BN⊥CD于N．
∵BC＝2AC，
∴设AC＝x，BC＝2x，
∵∠C＝90°，
∴x2+（2x）2＝5，
∴x＝1，2x＝2，
AC＝1，BC＝2，
∵∠AMC＝∠BNC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠CAM＝90°，∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CAM，
∵∠CBN+∠BCN＝90°，
∴∠CAM+∠CBN＝90°，
∵AE＝AC，AM⊥EC，BC＝BD，BN⊥CD，
∴∠CAE＝2∠CAM，∠CBD＝2∠CBN，
∴∠CAE+∠CBD＝180°，
∵的长度恰好是的倍，设∠CBD＝m，∠CAE＝n，
∴＝×，
∴4m＝5n，
∵m+n＝180°，
∴m＝100°，n＝80°，
∴S阴＝+＝，
故选：B．
4．（2020?镇海区模拟）如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【解答】解：连接EB，BH，AB，
∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，
∴BE2+AB2＝AE2，
∴∠ABE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠AHB＝90°，
∴BH⊥AH，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴弧AH所对的圆心角为90°，
∴的长＝＝．
故选：B．
5．（2020?历城区二模）如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE、OF和上，且点A是线段OB的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO，
∵A为OB的中点，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝2，
∵A为OB的中点，AB＝AD＝2，
∴OA＝AD＝2，
∵∠DAO＝90°，
∴∠DOA＝∠ADO＝45°，
∴的长为＝π，
故选：D．
6．（2019?武汉模拟）如图，AB为半圆的直径，AB＝4，C、D为上两点，且＝，若∠CED＝∠COD，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设的度数为x°，则∠AOC＝x，∠BOD＝5x，∠COD＝180°﹣6x，
∵∠CED＝∠COD，
∴∠CED＝（180°﹣6x），
∵∠CED+∠COD＝180°，
∴（180°﹣6x）+90°﹣3x＝180°，
解得x＝20，
∴∠DOB＝100°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
7．（2018秋?吴兴区期末）如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则弧HR的弧长为（　　）
A． B．π C．π D．π
【解答】解：连接AM，MH，MR．
∵AM＝MH＝2，AH＝2，
∴AM2+MH2＝AH2，
∴∠AMH＝90°，
∴△AMH是等腰直角三角形，
∵∠MPH＝90°，
∴MH是圆的直径，
∴∠MRH＝90°，
∴MR⊥AH，
∴∠RMH＝∠RMA＝45°，
∴弧RH所对的圆心角为90°，
∴的长＝＝．
故选：D．
8．（2018秋?香洲区期末）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、E．若DE＝，则弧AB的长为（　　）
A． B． C． D．2π
【解答】解：如图作OH⊥AB于H．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴CD＝DB，CE＝AE，
∴AB＝2DE＝2，
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝，
∵OA＝OB，
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
OB＝＝2，
∴的长＝＝，
故选：B．
9．（2020?黄冈二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝＝．
故选：C．
10．（2013?涪城区校级自主招生）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1?A2?A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（　　）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
【解答】解：根据题意得：＝4πcm，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．（2020?唐河县一模）如图所示，扇形AOB中，∠AOB＝130°，点C为OA中点，OA＝10，CD⊥AO交于D，以OC为半径画交OB于E，则图中阴影部分面积为　+　．
【解答】解：如图，连接OD．
∵CD⊥OA，AC＝OC，
∴OAO＝2OC，
∴∠CDO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCE﹣（S扇形OAD﹣S△OCD）
＝﹣﹣（﹣×5×5）
＝+，
故答案为：+．
12．（2019秋?绵阳期末）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于　　．
【解答】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，
∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵AD＝CD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，
∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，
故答案为：π﹣．
13．（2018?青羊区模拟）如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值＝　　．
【解答】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，
∵P（，），
∴OP＝2，∵OA'＝OB'＝4，
∴PA'＝PB'＝2，
∴tan∠A'OP＝tan∠B'OP＝，
∴∠A'OP＝∠B'OP＝60°，
∴∠A'OB'＝120°，
∴S阴＝S扇形OA'B'﹣S△A'OB'＝，
故答案为：．
14．（2019?厦门一模）如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长　4﹣2　．
【解答】解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°，
∵DM＝VE，
∴CM＝BC，
∵的长为2π，
∴＝2π，
解得：R＝4，
即BM＝BE＝CD＝AB＝4，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，
BC＝CM＝2，
∴CE＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
15．（2018秋?鼓楼区期中）已知边长为1的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为1的圆上，使AB边与弦MN重合，如图所示，将正方形在圆中逆时针滚动，在滚动过程中，点M、D之间距离的最小值是　2﹣　．
【解答】解：如图，点D的运动轨迹是图中的红线．
观察图象可知M、D之间的最小距离是线段AD′的长＝AE﹣EF＝2﹣，
故答案为2﹣．
16．（2020?张家界）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是　　．
【解答】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝，
∴BF＝﹣1，
∵∠BFE＝45°，
∴阴影部分的面积＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1；
方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，
∵B在对角线CF上，
∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB＝CN＝EC＝，
又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），
∴PB＝PE，
又∠PFB＝45°，
∴∠FPB＝45°＝∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP＝x，则EP＝BP＝，
∵MP+BP＝MB，
∴，解得，
∴BP＝，
∴阴影部分的面积＝．
故答案为：．
17．（2020?郑州二模）如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　2　．
【解答】解：∵正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，
∴∠DAE＝90°，AE＝1，AD＝2，
∴DE＝，
∴AN＝AE+EN＝1+，AM＝﹣1，
∴MD＝＝，ND＝＝，
∴阴影部分的面积是：+﹣＝2，
故答案为：2．
18．（2019秋?中山市期末）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AD长为半径画弧，交AB边于F点；再以顶点C为圆心，线段CD长为半径画弧，交AB边于点E，若AD＝，CD＝2，则、和EF围成的阴影部分面积是　π+1﹣2　．
【解答】解：如图，连接EC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝，CD＝AB＝EC＝2，∠B＝∠A＝∠DCB＝90°，
∴BE＝＝＝，
∴BC＝BE＝，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°，
∴∠ECD＝45°，
∴S阴＝S矩形ABCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形ADF）﹣（S矩形ABCD﹣S扇形CDE﹣S△EBC）
＝S扇形ADF+S扇形CDE+S△EBC﹣S矩形ABCD
＝++××﹣2×，
＝π+1﹣2．
故答案为：π+1﹣2．
19．（2020?萧山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1．将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD，再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，则图中阴影部分的面积是　﹣　．
【解答】解：作EF⊥CD于F，
由旋转变换的性质可知，EF＝BC＝1，CD＝CB+BD＝4，
由勾股定理得，CA＝＝＝，
则图中阴影部分的面积＝△ABC的面积+扇形ABD的面积+△ECD的面积﹣扇形ACE的面积
＝×1×3++﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
20．（2020?铁西区二模）以A为圆心，半径为9的四分之一圆，与以C为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积为　π﹣36　．
【解答】解：π×92+π×42﹣9×4
＝π+π﹣36
＝π﹣36．
答：图中阴影部分的面积为π﹣36．
故答案为：π﹣36．
三．解答题（共10小题）
21．（2019秋?伊通县期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；
（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AP＝AB＝2，
∴BP＝＝＝2；
②连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O时AB的中点，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP?PB＝×2×2＝，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．
22．（2019?长春一模）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
（1）求证：OD⊥DE．
（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）∵AB＝8，∠BAC＝30°，
∴AD＝4，
阴影部分的面积＝﹣×4×2
＝π﹣4．
23．（2019秋?曲阜市校级月考）如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是多少？
【解答】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°＝540°，
则五个阴影部分的面积之和＝＝6π．
24．（2017秋?嵊州市期末）如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求证：AF＝DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【解答】（1）证明：连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴＝＝，度数都是60°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，
∴∠DAC＝30°，∠CAB＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴∠DAC∠ADE＝30°，
∴AF＝DF；
（2）解：由（1）知，∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，AB＝4，
∴△AOD是等边三角形，OA＝2，
∵DE⊥AO，
∴DE＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×2×＝π﹣．
25．（2017秋?费县期末）如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，AC长10cm．
（1）求点O到AB的距离；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，
∴∠ADC＝90°，则∠ADB＝∠CDB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵AO＝BO，
∴△AOB是等腰直角三角形，
则EO＝AO?sin45°＝5×＝（cm）；
（2）阴影部分的面积为：﹣×5×5＝﹣．
26．（2017秋?鄞州区校级月考）如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD＝CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE＝2AC＝6，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴CE⊥AD，
∵AC＝CD，
∴AE＝ED，
∴∠AEC＝∠DEC，
∴＝；
∴点C是劣弧 的中点；
（2）连接BC，OB，OC，
∵AE＝2AC＝6，
∴∠AEC＝30°，AE＝AD，
∴∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵＝，
∴＝＝，
∴AE∥BC，∠BOC＝60°，
∴S△OBC＝S△EBC，
∴S阴影＝S扇形＝＝π．
27．（2017秋?东台市期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．
（1）设AB＝m，PB＝n（m＞n），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图中阴影部分）的面积；
（2）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
【解答】解：
（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S△PAB＝S△P'CB，S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′＝（m2﹣n2）；
（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP＝BP′＝4，P′C＝PA＝2，∠PBP′＝90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P′P2＝PB2+P'B2＝32．
又∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣45°＝90°，
即△PP′C是直角三角形，
∴PC＝＝6．
28．（2017?平邑县校级模拟）如图，菱形ABCO的顶点A的坐标为（﹣4，0），∠ABC＝60°，将菱形ABCO绕点O顺时针旋转270°得到菱形A′B′C′O，图中阴影部分是菱形ABCO旋转时所扫过的面积，该圆弧与x轴的负半轴交于点M．
（1）求点C′的坐标和空白部分的∠AOC′的度数；
（2）试判断点M是否在A′B′所在的直线上，并说明理由；
（3）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵菱形ABCO的顶点A的坐标为（﹣4，0），∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COA′＝30°，
∴∠A′OC′＝60°，
∴点C′的横坐标是：4×sin60°＝2，纵坐标是：﹣4×cos60°＝﹣2，
∴点C′的坐标是（2，﹣2），
由题意可得，∠AOC′＝∠AOA′+∠A′OC′＝90°+60°＝150°，
即点C′的坐标是（2，﹣2），∠AOC′＝150°；
（2）点M在点A′、B′所在的直线上，
理由：由题意可得，
点A′的坐标是（0，﹣4），
点B′的横坐标是：4×sin60°＝2，纵坐标是：﹣4+（﹣4×cos60°）＝﹣6，
即点B′的坐标是（2，﹣6），
设过点A′、B′所在的直线的解析式为y＝kx+b，
，得，
∴过点A′、B′所在的直线的解析式为y＝，
∵OB的长度为：，
∴点M的坐标为（﹣，0），
将x＝﹣4代入y＝，得y＝0，
∴点M在点A′、B′所在的直线上；
（3）∵OB的长度为4，OA＝4，
∴阴影部分的面积是：﹣＝36π﹣．
29．（2016秋?鄱阳县校级期末）已知：如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P'CB，若AB＝m，PB＝n（n＜m）．求△PAB旋转过程中边PA扫过区域（阴影部分）的面积；
（2）若PA＝，PB＝2，∠APB＝135°，求PC的长．
【解答】解：（1）由旋转的性质可知，S△ABP＝S△CBP′，
∴△PAB旋转过程中边PA扫过区域面积＝﹣＝（m2﹣n2）；
（2）连接PP′，
由旋转的性质可知，∠BP′C＝∠APB＝135°，∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝，
∴PP′＝＝4，∠PP′C＝90°，
∴PC＝＝3．
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