3.6 圆内接四边形—3.8 弧长及扇形的面积培优精选试题（含解析）

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3.6圆内接四边形—3.8弧长与面积小节习题精选
一．选择题（共15小题）
1．（2020?吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）
A．54° B．62° C．72° D．82°
2．（2020?张家界）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2020?遵化市三模）如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．2
4．（2020?高唐县一模）如图，点A，B，C，D都在半径为4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．4
5．（2020春?丰泽区校级期中）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（　　）个五边形完成这一圆环．
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2020?毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π+
7．（2020?富阳区一模）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　）
A．厘米 B．5厘米 C．3厘米 D．10厘米
8．（2020?南充模拟）如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（　　）
A．90° B．85° C．84° D．80°
9．（2020?路北区一模）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（　　）
A．58° B．116° C．122° D．128°
10．（2020?攀枝花）如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．π D．3π
11．（2020?宁波模拟）如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（　　）
A．π+ B．π C．π+2 D．3
12．（2020?山西一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．13π B．13π+24 C．13π﹣24 D．5π+24
13．（2020?黔东南州）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
14．（2020?山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆造型出会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（　　）
A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2
15．（2020?漳州二模）如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB＝4．若∠BCD＝120°，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
16．（2020?雁塔区校级一模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对角线CF和BE相交于点N，对角线DF与BE相交于点M，则MN＝　 　．
17．（2020?平阳县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AC＝AD，且∠DAC＝50°，则∠B的度数为　 　．
18．（2020?昆山市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为　 　度．
19．（2020?连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝　 　°．
20．（2020?宁波模拟）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD于G，H为OG的中点，连结HA，HB，HC，则S△HCB：S△HBA等于　 　．
21．（2020?浙江自主招生）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与A、B重合），点F是弧BC上的一点，连结OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，则△GBH周长的最小值为　 　．
22．（2020?禅城区二模）如图，A，B，C，D是圆O上的四个点，点B是弧ABC的中点，如果∠ABC＝72°，那么∠ADB＝　 　．
23．（2020?呼和浩特）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　 　．
24．（2020?潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　 　．
25．（2020?邗江区二模）如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
三．解答题（共10小题）
26．（2019秋?镇江期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．
（1）求证：；
（2）求的度数．
27．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
28．（2018秋?黄浦区期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC上，四边形EBGF也是正方形，边长为1cm，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，求图中阴影部分面积．
29．（2020?张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　 　°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
30．（2019?长春）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
31．（2019秋?无为县期末）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝4，求阴影部分的面积．
32．（2019秋?安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
33．（2020?界首市一模）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝　 　，S5＝　 　，S6＝　 　+　 　，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝　 　．
34．（2020?河北区一模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
3.6圆内接四边形—3.8弧长与面积小节习题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2020?吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）
A．54° B．62° C．72° D．82°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，
故选：C．
2．（2020?张家界）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
3．（2020?遵化市三模）如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．2
【解答】解：延长DE交AG于T．
由题意FG＝2EF，∠EFC＝∠EFT＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴∠EFT＝60°，
∴∠EFT＝∠FET＝∠ETF＝60°，
∴EF＝FT＝ET，
∴TG＝TF＝ET，
∴∠FEG＝90°，
∵AB＝AF＝EF＝，
∴EG＝EF?tan60°＝3，
故选：C．
4．（2020?高唐县一模）如图，点A，B，C，D都在半径为4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．4
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴CH＝BH，＝，
∴∠AOB＝2∠CDA＝60°，∴BH＝OB?sin∠AOB＝2，
∴BC＝2BH＝4，
故选：A．
5．（2020春?丰泽区校级期中）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（　　）个五边形完成这一圆环．
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故排成圆环还需7个五边形．
故选：B．
6．（2020?毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π+
【解答】解：连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
∵弧CD的长为，
∴＝，
解得：r＝1，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
在△OAC和△OCD中，，
∴△OAC≌△OCD（SSS），
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
故选：A．
7．（2020?富阳区一模）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　）
A．厘米 B．5厘米 C．3厘米 D．10厘米
【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
8．（2020?南充模拟）如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（　　）
A．90° B．85° C．84° D．80°
【解答】解：由正五边形内角，得
∠I＝∠BAI＝＝108°，
由正六边形内角，得
∠ABC＝＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABK＝60°，
∴由四边形的内角和，得
∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK
＝360°﹣108°﹣108°﹣60°
＝84°．
故选：C．
9．（2020?路北区一模）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（　　）
A．58° B．116° C．122° D．128°
【解答】解：连接AC、CE，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC＝180°﹣∠B＝58°，
∵＝，
∴∠ACE＝∠AEC＝58°，
∴∠CAE＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠D＝180°﹣64°＝116°，
故选：B．
10．（2020?攀枝花）如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．π D．3π
【解答】解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影＝S半圆A′B+S扇形ABA′﹣S半圆AB
＝S扇形ABA′
＝
＝3π，
故选：D．
11．（2020?宁波模拟）如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（　　）
A．π+ B．π C．π+2 D．3
【解答】解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形，
点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，
点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段，
当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，
它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：
+2××22＝π+2，
故选：C．
12．（2020?山西一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．13π B．13π+24 C．13π﹣24 D．5π+24
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）＝﹣（6×4﹣）＝13π﹣24，
故选：C．
13．（2020?黔东南州）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【解答】解：由题意可得，
阴影部分的面积是：?π×22﹣﹣2（1×1﹣?π×12）＝π﹣2，
故选：B．
14．（2020?山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆造型出会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（　　）
A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2
【解答】解：如图，连接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π，
故选：B．
15．（2020?漳州二模）如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB＝4．若∠BCD＝120°，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OD，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵OD＝OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
∴的长＝＝π，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
16．（2020?雁塔区校级一模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对角线CF和BE相交于点N，对角线DF与BE相交于点M，则MN＝　1　．
【解答】解：∵对角线CF和BE相交于点N，
∴△ENF是等边三角形，
∴∠FNM＝60°，FN＝EF＝2，
∵对角线DF与BE相交于点M，
∴∠FMN＝90°，
∴MN＝FN＝2＝1，
故答案为：1．
17．（2020?平阳县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AC＝AD，且∠DAC＝50°，则∠B的度数为　115°　．
【解答】解：∵AC＝AD，且∠DAC＝50°，
∴∠D＝∠ACD＝＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
18．（2020?昆山市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为　50　度．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
19．（2020?连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝　48　°．
【解答】解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4＝＝108°，
∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，
∴α＝∠CED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣12﹣°﹣72°＝48°，
故答案为：48．
20．（2020?宁波模拟）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD于G，H为OG的中点，连结HA，HB，HC，则S△HCB：S△HBA等于　3：5　．
【解答】解：如图，连接CF、HD、HE，过H作直线PQ⊥AB，
由于正六边形的对角线必过圆心，所以C、O、F共线，
由于AB∥DE∥CF，则PQ⊥DE，PQ⊥CF，P、K、Q都是垂足，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD，
∴点C和点D，点E和点B关于直线OG对称，
∴DH＝CH，BH＝EH，
∵DE＝BC，
∴△BCH≌△EDH（SSS），
∴PK＝KQ＝OG＝2OH，
又因为∠HOK＝∠COG＝30°，KH＝OH，
令KH＝1，
∴OH＝2，OG＝4，
∴PK＝4，
∴PH＝PK+KH＝5，HQ＝KQ﹣KH＝3，
∴S△HCB：S△HBA＝PH：HQ＝3：5．
故答案为：3：5．
21．（2020?浙江自主招生）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与A、B重合），点F是弧BC上的一点，连结OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，则△GBH周长的最小值为　4+2　．
【解答】解：如图，连接OC，OB，过点O作OM⊥BC于M，
∵边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，
∴OB＝OC，AB＝BC＝4，∠BOC＝90°，∠OCB＝∠OBA＝45°，
∴△OBC是等腰直角三角形，OM⊥BC，
∴OM＝BC＝2，
∵∠EOF＝90°＝∠BOC，
∴∠COH＝∠BOG，且BO＝CO，∠BCO＝∠ABO，
∴△BOG≌△COH（ASA），
∴OG＝OH，BG＝CH，
∴△GOH是等腰直角三角形，
∴HG＝OH，
∵△GBH周长＝BH+GB+GH＝BH+CH+OH＝4+OH，
∴当OH最小时，△GBH周长有最小值，
∴当OH⊥BC时，即（OH与OM重合时）OH有最小值，
∴OH的最小值为2，
∴△GBH周长的最小值为4+2，
故答案为：4+2．
22．（2020?禅城区二模）如图，A，B，C，D是圆O上的四个点，点B是弧ABC的中点，如果∠ABC＝72°，那么∠ADB＝　54°　．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣72°＝108°．
∵点B是的中点，
∴＝．
∴∠ADB＝∠BDC．
∴∠ADB＝∠ADC＝×108°＝54°．
故答案为：54°．
23．（2020?呼和浩特）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　　．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝，
故答案为：．
24．（2020?潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　4039π　．
【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，
故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝．
故答案为：4039π．
25．（2020?邗江区二模）如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为　π﹣　．（结果保留π）
【解答】解：连接AD，AE，
∵AD＝AB＝＝，BD＝＝，
∴AD2+AB2＝BD2，
∴∠BAD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴弧BE所对的圆心角为90°，
∴图中阴影部分的面积＝﹣×＝﹣．
故答案为：﹣．
三．解答题（共10小题）
26．（2019秋?镇江期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴＝，
∵M为的中点，
∴＝，
∴+＝+，
∴；
（2）解：连接OM，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，
∴的度数时135°．
27．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣＝3π﹣．
28．（2018秋?黄浦区期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC上，四边形EBGF也是正方形，边长为1cm，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，求图中阴影部分面积．
【解答】解：正方形EBGF面机S＝1×1＝1（cm2），
扇形ABC面积：S＝＝4π，
三角形CEF面积：S＝×1×（4﹣1）＝（cm2），
三角形AGF面积：S＝×1×（4+1）＝（cm2），
S阴＝4π++1﹣＝4π（cm2）．
29．（2020?张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　110　°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴＝＝，
∴＝，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
30．（2019?长春）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
31．（2019秋?无为县期末）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝4，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°．
（2）∵∠ACB＝90°，AB＝4，
∴AC＝BC＝2
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形BCD＝××﹣＝4﹣π．
32．（2019秋?安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
33．（2020?界首市一模）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝　S2　，S5＝　　，S6＝　S4　+　S5　，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝　2　．
【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，
S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．
故答案为：S2，S3，S4，S5，2．
34．（2020?河北区一模）四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；
（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．
【解答】解：（1）∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；
（2）连接BD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵OC∥AB，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，
由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，
∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ACO＝30°．
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