中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.2垂径定理导学案
课题
垂径定理
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.
2.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题
重点
难点
垂径定理的推论
垂径定理及推论的应用
教学过程
知识链接
问题：
谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论
合作探究
一、教材79页
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
求证：CD⊥AB，=
师生共同归纳
定理1：
.
探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，=
求证：CD⊥AB
归纳出：定理2：
。
二、教材79页例题
例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为
37.02
m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m,
求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
自主尝试
1．下列命题中，正确的是(
)
A．
过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(
)
A．8 B．2 C．10 D．5
3．已知⊙O的半径为2
cm，弦AB长2
cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为(
)
A．
1
cm
B．2
cm
C.cm
D.
cm
【方法宝典】
利用垂径定理推论进行解答即可。
当堂检测
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(
).
A.10cm
B.16cm
C.24cm
D.26cm
2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是(
).
A.1275πm2
B.2550πm2
C.3825πm2
D.5100πm2
3.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为(
).
A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm
4.如图所示，将一个半径为5cm的半圆O折叠，使经过点O，则折痕AF的长度为(
).
A.5cm
B.5cm
C.5cm
D.10cm
5.如图所示，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为
．
6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长.
(2)当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m，即PE=4m时，是否要采取紧急措施？
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1．C
2.A
3.C
4.C
5．5cm
6．(1)
如答图所示，连结OA.由题意得AD=AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO中，由勾股定理得r2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r的长为34m.
(2)连结OA′.易知OE=OP-PE=30（m），在Rt△A′EO中，由勾股定理得A′E2=A′O2-OE2，
即A′E2=342-302，解得A′E=16.∴A′B′=2A′E=32(m).∵A′B′=32m＞30m，∴不需要采取紧急措施.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
浙教版
九年级上
3.3.2垂径定理
温故知新
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵
CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
条件
①CD为直径
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
③CD平分弦AB
④CD平分弧AB
结论
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
探究
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
过点M作直径CD.
●O
上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
D
●
M
A
B
┗
想一想
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
①
CD是直径,
③
AM=BM,
②
CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如图,
对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
（2）
（3）
归纳
垂径定理逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
证明定理1
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
求证：CD⊥AB，AC=BC
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AP=BP
∴CD⊥AB
∴AC=BC
(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)
⌒
⌒
请独自证明定理2
说一说
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（3）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
×
√
×
（4）平分弦的直线，必定过圆心。
（5）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。
?
?
（6）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
?
例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为
37.02
m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m,
求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
例题解析
例题解析
A
B
D
解：如图，用AB表示桥拱圆弧，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB，
所以CD就是拱高.由题意，得
∴AD=AB=0.5×37.02=18.51,
OD=OC-DC=（R-7.23）(m).
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m.
C
AB=37.02m,CD=7.23m,
(m)
O
练一练
有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB为16
m，桥拱最高处点C离水面4
m.
(1)求该桥拱的半径；
(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12
m，则水面涨高了多少？
解：(1)如图，设点O为圆心，连结OA，OC，OC交AB于点D.
由题意，得AB＝16
m，CD＝4
m，，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝×16＝8(m)．
设⊙O的半径为x
m，则在Rt△AOD中，
OA2＝AD2＋OD2，即x2＝82＋(x－4)2，
解得x＝10.
所以该桥拱的半径为10
m.
D
(2)设水面上涨到EF位置(如图)．
此时EF＝12
m，EF∥AB，有OC⊥EF(设垂足为M)，
∴EM＝EF＝×12＝6(m)．
连结OE，则有OE＝10
m，
∴OM＝＝＝8(m)．
又∵OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)，
∴OM－OD＝8－6＝2(m)，
即大雨过后，水面涨高了2
m.
总结：
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
课堂练习
1.如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，
DE＝8,AB的长为( )
A．9
B．8
C．6
D．4
B
2．如图所示，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是(
)
A.AB＝DB
B.BD＝CD
C．BC⊥AD
D．∠B＝∠C
A
课堂练习
3．如图，AB是⊙O的直径，B是的中点，AB＝10
cm，
OE＝3
cm，则CD的长为________cm.
8
4.如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为
。
课堂练习
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,
拱顶高出水面2.4米.
现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,
此货船能顺利通过这座拱桥吗？
课堂练习
解:如图,用表示桥拱,
所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.
AD=，OD=OC-DC=R-2.4
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得，
即
由题设得
解得
R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
即：OH=
∴DH=3.6-1.5=2.1>2
课堂小结
圆
圆的轴对称性
垂径定理的逆定理
定理1
定理2
平分弦（不是直径）的直径__________，并且_______弦所对的弧
平分弧的直径_______
弧所对的弦
垂直于弦
平分
垂直平分
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
