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浙教版
九年级上
3.3垂径定理
导入新课
复习提问:
（２）正三角形是轴对称图形吗？
（１）什么是轴对称图形
（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。
有几条对称轴？
是
３
折一折
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
用折叠的方法
●O
探究
如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?
为什么?
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
你能将你的发现归纳成一般结论吗？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
试一试
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB，
如图∵
CD是直径，
∴AM
＝
BM，
⌒
⌒
AC
＝BC
⌒
⌒
AD＝BD.
请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明
已知CD是直径，CD⊥AB，
求证：CD平分AB，CD平分AB和ADB
⌒
⌒
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
归纳
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
例题解析
例1、已知AB如图，用直尺和圆规作这条弧的中点.
⌒
E
1.
连结AB;
⌒
2.
作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
作法:
∴点E就是所求AB的中点.
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.
⌒
想一想
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
归纳
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
例题解析
例2、一条排水管的截面如图所示.
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16.
求截面圆心O到水面的距离.
C
8
8
解:
作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:AC=BC==0.5×16=8
由勾股定理得:
答:
截面圆心O到水面的距离为6.
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,
上图中,
OC的长就是弦AB的弦心距.
D
1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2
．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长AB=2
方法：
想一想
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
课堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（
）
A.
∠COE=∠DOE
B.
CE=DE
C.
OE=AE
D.
BD=BC
⌒
⌒
·
O
A
B
E
C
D
C
课堂练习
2.
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,
则AB=
cm.
·
O
A
B
E
16
课堂练习
3.
如图，⊙O直径为10，弦AB的长为8，点P在AB上运动.
则OP的取值范围是_________________.
·
A
B
P
O
3≤OP≤5
课堂练习
4.
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连结OA.
∵
CD是直径，OE⊥AB，
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2
.
解得：x=13.
∴
OA=13.
∴
CD=2OA=26.
即直径CD的长为26.
∴
AE=AB=5.
课堂小结
垂径定理
内容
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
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3.3.1垂径定理导学案
课题
垂径定理
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
重点
难点
垂径定理及其应用
垂径定理的证明
教学过程
知识链接
问题：
轴对称有什么特点？我们学过哪些轴对称图形?
合作探究
一、教材76页
合作学习
1.在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,
然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
总结：圆是
图形，每一条
都是对称轴。
2.请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？
点
与点
重合，
与
重合，
，＝．
你能将你的发现归纳成一般结论吗？
。
请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明
已知CD是直径，CD⊥AB，
求证：CD平分AB，CD平分和
总结：弧的中点：
。
二、教材77页
例1
已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
三、教材77页
例2
一条排水管的截面如图所示.
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16.
求截面圆心O到水面的距离.
总结：弦心距：
。
自主尝试
1、下列说法正确的是（
）
A.
直径是圆的对称轴
B.
经过圆心的直线是圆的对称轴
C.
与圆相交的直线是圆的对称轴
D.
与半径垂直的直线是圆的对称轴
2、在半径为
4cm
的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（
）
A.
3cm
B.
2cm
C.
4cm
D.
8cm
3．如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是（
）
A.
CE＝DE
B.
＝
C.
∠BAC＝∠BAD
D.
AC＞AD
【方法宝典】
利用垂径定理的内容解答即可。
当堂检测
1.如图所示，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(
).
A.6
B.5
C.4
D.3
2.如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连结CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中，正确的是(
).
A.AD=2OB
B.CE=EO
C.∠OCE=40°
D.∠BOC=2∠BAD
3.如图所示，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是(
).
A.3
B.6
C.9
D.12
4.如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为(
).
A.8
B.10
C.16
D.20
5.如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P，且AB=CD=8，则OP的长为(
).
A.3
B.4
C.32
D.42
6.如图所示，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD=8，则△ACD的面积是
．
7.如图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(1，0)，以点P为圆心，AP长为半径作弧，与x轴交于点B，则点B的坐标为
．
8.如图所示，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．
(1)求圆心O到CD的距离．
(2)若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
旋转的概念和性质
参考答案：
当堂检测：
1．B
2.D
3.C
4.D
5．C
6．32
7.
(7，0)
8.
(1)如答图所示，作OG⊥CD于点G，OF⊥AB于点F.∵∠OGE＝∠GEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OGEF是矩形.∴OG＝EF.
∵OF⊥AB，∴AF＝AB＝×(4＋10)＝7(cm).∴OG＝EF＝AF－AE＝3(cm).∴点O到CD的距离为3cm.
(2)如答图所示，连结OD，在Rt△ODG中，OD＝8cm，OG＝3cm，∴GD＝＝
(cm).∵OG⊥CD，∴CD＝2GD＝2
(cm).
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精品试卷·第
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