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三角形全等的判定
——第四课时
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
1.
全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形全等
三边对应相等的两个三角形全等
2.边边边公理（SSS）
3.边角边公理（SAS）
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
4.角边角公理（ASA）
两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D,
∠B=∠E,BC=EF,
△ABC和△DEF全等吗？为什么？
A
C
B
E
D
F
分析：能否转化为ASA?
证明：∵
∠A=∠D,
∠B=∠E(已知)
∴∠C=∠F(三角形内角和定理)
∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
你能从上题中得到什么结论？
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等
有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
判定三角形全等的定理4：
A
B
C
D
E
F
数学语言表示：
在△ABC和△DEF中，
∵
∠C=∠F
∠A=∠D，
AB=DE
,
∴
△ABC≌△DEF（AAS）
必须按照角角边的顺序书写
（AAS）
A
B
C
D
E
F
角角边的情形包括：
两角和其中一角的对边对应相等
∴△
APB
≌△APC（AAS）
∴PB=PC（___________________________）
证明：
P
∵PB⊥AB，PC⊥AC（已知）
∴∠ABP=∠ACP=Rt∠（__________________）
在△APB与△APC中，
A
B
C
例6.点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB,PC⊥AC，求证：PB=PC
∠PAB=∠PAC（__________________）
∠ABP=∠ACP
AP=AP(（公共边）
∵
全等三角形对应边相等
垂线的定义
角平分线的定义
如图，已知AB=AC，∠ADB=
∠AEC，求证：
△ABD≌△ACE
A
B
C
D
E
证明：∵
AB=AC，
∴
∠B=
∠C（等边对等角）
在△ABD和△ACE中，
∵
∠B=
∠C
∠ADB=
∠AEC
AB=AC
∴
△ABD≌△ACE（AAS）
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的性质定理：
A
B
C
P
∵点P是∠BAC的平分线上的一点，
且PB⊥AB,PC⊥AC，
∴PB=PC（全等三角形对应边相等）
几何语言
例7
如图，AB//CD,PB和PC平分∠ABC∠DCB，AD过点
P，且与
AB垂直。求证：
PA=PD
证明：如图，作PE⊥BC于点E
∵
AB∥CD（已知）
∴∠BAD+∠CDA=180°（_____________________________）
∵AD⊥AB
∴∠BAD=90°
∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°
∴AD⊥CD（_____________________________________）
∵PB平分∠ABC
∴PA=PE
∴PA=PE=PD
两直线平行，同旁内角互补
角平分线上的点到角两边的距离相等
D
B
C
P
A
E
通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为______．
5
【解析】∵P是△ABC的内角平分线的交点，
∴P到三边的距离相等，即到三边的距离都是1，
∴S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC
=×1×AC+×1×BC+×1×AB
=×1×（AC+BC+AB）
=×1×10=5．
所以△ABC的面积是5．
故填空答案：5．
1.已知如图，∠1
=
∠2，∠C
=
∠D
求证：AC
=
AD
A
B
D
C
2
1
证明：在△ABC和△ABD中
∠1
=
∠2
∠C
=
∠D
AB
=
AB
∴△ABC≌△ABD（AAS）
∴AC
=
AD（全等三角形对应边相等）
2.如图，给出下列四个条件，不能判断△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
①∠B=∠B′②∠C=∠C′
③AC=A′C′④BC=B′C′．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
A项，根据全等三角形的判定定理“AAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
B项，根据全等三角形的判定定理“ASA”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
C项，“SSA”不能推出两三角形全等，故本选项正确；
D项，根据全等三角形的判定定理“SAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误．
C
3.如图，∠CAD=∠BAE，∠ACB=∠ADE，AB=AE，
则可判定（ ）
A．△AEF≌△ABD
B．△ABC≌△AED
C．△ADC≌△AFD
D．以上答案都不对
【解析】∵∠CAD=∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
∠CAB=∠DAE
∠ACB=∠ADE
AB=AE
∴△ABC≌△AED（AAS）．
B
4.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线MN，如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，则这样的点至少有______个，最多有______个．
2
1
【解析】如图所示，分别作∠AOD及∠AOC的平分线OE与OF，
∵OE与OF分别是∠AOD及∠AOC的平分线，
∴直线OE与OF上的点到AB、CD距离相等，
∴点M必在直线OE或直线OF上，
∵点M在直线MN上，
∴点M在这两条角平分线与直线MN的交点上，
∴当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；
当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
故答案为：1，2．
5.如图，已知矩形ABCD中，?AC与BD交于点O，?BE⊥AC,CF⊥BD，垂足分别是?E、F．求证：BE=CF
证明：矩形对角线互相平分且相等，
∴OB=OC，
在△BOE和△COF中
∵
∠BEO=∠CFO
∠EOB=∠FOC
BO=CO
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴BE=CF．
如图，E、D分别是AC、AB上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N．
求证：A、M、N在一条直线上．
证明：过点N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；过点M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分线上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分线上．
∵M、N都在∠A的平分线上，
∴A、M、N在一条直线上．
SSS
SAS
ASA
AAS
两个三角形全等
的判定定理
这节课我们学习了：
1.全等三角形的判定定理：AAS
2.角平分线的性质集体备课教案
时
间
月
日
执教人
集体研讨
二次备课
辅备人
八年级
备课组全体老师
课
题
1.5?
三角形全等的判定（4）
教学目标
1.掌握三角形全等的判定定理（AAS）2.理解角平分线的性质3.能够体会数学独特的逻辑思维，感受数学的美妙，利用所学知识解决生活实际问题。
学情分析
教学重点
两个三角形全等的条件：AAS
教学难点
例7需要添加辅助线，证明思路较复杂，是本节教学难点
教学方法
讲授法
教学准备
教学过程
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？1.
全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形全等2.边边边公理（SSS）三边对应相等的两个三角形全等3.边角边公理（SAS）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等4.角边角公理（ASA）两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D,
∠B=∠E,BC=EF,
△ABC和△DEF全等吗？为什么？证明：∵
∠A=∠D,
∠B=∠E(已知)∴∠C=∠F(三角形内角和定理)在△ABC和△DEF中∠B=∠EBC=EF
∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）你能从上题中得到什么结论？两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等判定三角形全等的定理4：两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）数学语言表示：在△ABC和△DEF中，∵
∠C=∠F
∠A=∠D，
AB=DE
,∴
△ABC≌△DEF（AAS）必须按照角角边的顺序书写角角边的情形包括：例6.点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB,PC⊥AC，求证：PB=PC
证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC（已知）∴∠ABP=∠ACP=Rt∠（_垂线的定义）在△APB与△APC中，∵∠PAB=∠PAC（角平分线的定义）
∠ABP=∠ACP
AP=AP(（公共边）∴△
APB
≌△APC（AAS）∴PB=PC（全等三角形对应边相等_）如图，已知AB=AC，∠ADB=
∠AEC，求证：△ABD≌△ACE证明：∵
AB=AC，∴
∠B=
∠C（等边对等角）在△ABD和△ACE中，∵
∠B=
∠C
∠ADB=
∠AEC
AB=AC∴
△ABD≌△ACE（AAS）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。∵点P是∠BAC的平分线上的一点，且PB⊥AB,PC⊥AC，∴PB=PC（全等三角形对应边相等）例7
如图，AB//CD,PB和PC平分∠ABC∠DCB，AD过点
P，且与
AB垂直。求证：
PA=PD证明：如图，作PE⊥BC于点E∵
AB∥CD（已知）∴∠BAD+∠CDA=180°（_两直线平行，同旁内角互补_）∵AD⊥AB∴∠BAD=90°∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°∴AD⊥CD（角平分线上的点到角两边的距离相等）∵PB平分∠ABC∴PA=PE∴PA=PE=PD通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为______．【解析】∵P是△ABC的内角平分线的交点，
∴P到三边的距离相等，即到三边的距离都是1，
∴S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC=×1×AC+×1×BC+×1×AB
=×1×（AC+BC+AB）
=×1×10=5．
所以△ABC的面积是5．
故填空答案：5．
1.已知如图，∠1
=
∠2，∠C
=
∠D求证：AC
=
AD证明：在△ABC和△ABD中∠1
=
∠2∠C
=
∠DAB
=
AB∴△ABC≌△ABD（A.A.S.）∴AC
=
AD（全等三角形对应边相等）2.如图，给出下列四个条件，不能判断△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
①∠B=∠B′②∠C=∠C′
③AC=A′C′④BC=B′C′．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④A项，根据全等三角形的判定定理“AAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
B项，根据全等三角形的判定定理“ASA”，可推出两三角形全等，故本选项错误；
C项，“SSA”不能推出两三角形全等，故本选项正确；
D项，根据全等三角形的判定定理“SAS”，可推出两三角形全等，故本选项错误．3.如图，∠CAD=∠BAE，∠ACB=∠ADE，AB=AE，则可判定（ ）
A．△AEF≌△ABDB．△ABC≌△AEDC．△ADC≌△AFDD．以上答案都不对
∠CAB=∠DAE
∠ACB=∠ADE
AB=AE
∴△ABC≌△AED（AAS）．4.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线MN，如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，则这样的点至少有______个，最多有______个．【解析】如图所示，分别作∠AOD及∠AOC的平分线OE与OF，
∵OE与OF分别是∠AOD及∠AOC的平分线，
∴直线OE与OF上的点到AB、CD距离相等，
∴点M必在直线OE或直线OF上，
∵点M在直线MN上，
∴点M在这两条角平分线与直线MN的交点上，
∴当OF或OE与MN平行时，符合条件的点有1个；
当OF或OE均与直线MN不平行时，符合条件的点有2个．
故答案为：1，2．5.如图，已知矩形ABCD中，?AC与BD交于点O，?BE⊥AC,CF⊥BD，垂足分别是?E、F．求证：BE=CF证明：矩形对角线互相平分且相等，
∴OB=OC，在△BOE和△COF中
∵
∠BEO=∠CFO
∠EOB=∠FOC
BO=CO
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴BE=CF．
如图，E、D分别是AC、AB上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N．
求证：A、M、N在一条直线上．证明：过点N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；过点M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分线上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分线上．
∵M、N都在∠A的平分线上，
∴A、M、N在一条直线上．
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板书设计
教学反思
