集体备课教案
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执教人
集体研讨
二次备课
辅备人
八年级
备课组全体老师
课
题
1.6?
尺规作图
教学目标
1.了解尺规作图的含义及其历史背景；2.会画一个角等于已知角；作角平分线；3.给定边角条件下，求作三角形；作已知线段的垂直平分线；4.要了解作法的理由。
学情分析
教学重点
尺规作图给定边角条件下的三角形
教学难点
作一个角等于已知角、作角平分线与作线段的垂直平分线的作法分析过程。
教学方法
讲授法
教学准备
教学过程
我们以前学过作一条线段等于已知线段，作一个角的角平分线。还记得怎么画吗？一起回顾。1.已知：线段a，求作一条线段等于a.（1）先画射线AC；（2）用圆规量出线段a的长；（3）在射线AC
上截取AB
＝a
，则线段AB
就是所要画的线段2.已知：∠AOB
，求作∠AOB
的平分线.
（1）以O
为圆心，以适当长为半径画弧，交OA
于C
点，交OB
于D
点；（2）分别以C、D
两点圆心，以大于
CD
长为半径画弧，两弧相交于P
点；（3）过O、P
作射线OP
，则OP即为所求作的角平分线.在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。思考：怎么做一个角等于已知角？如图，已知∠AOB
，求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
作法：1.以点O
为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA
于C
，交OB
于D
；（图1）2.作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC
长为半径画弧l，交O′
A′于C′.
（图2）3.以点C′为圆心，以CD
长为半径画弧，交弧l于D′.4.经过点O′,D’画射线O′
B′，则∠A′
O′
B′就是所求作的角.
你能证明上题作图的正确性吗?如图1和图2，连结CD，C’D’。在△OCD与△O’C’D’中，∵
OC=O’C’（作法）
OD=O’D’（作法）
CD=C’D’
（作法）∴△OCD≌△O’C’D’（SSS）∴∠A’O’B’=∠AOB要求：用直尺和圆规作一个30°的角。（只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）方法一：先作等边三角形得到60°，再作60°角的平分线，得到30°角；方法二：6等份圆，作60°圆心角的平分线，得到30°角；（或作30°的圆周角）方法三：作含有30°角的直角三角形．已知：线段AB
，用直尺和圆规画出线段AB的垂直平分线.
分析
要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出。作法：（1）
分别以A、B
两点为圆心，以大于AB
线段一半的长为半径画弧，两弧交于C、D
两点；（2）过点C、D
作直线CD，直线CD即为所求作线段AB
的垂直平分线.你能根据作法证明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．?
求证：CD⊥AB，CD平分AB．证明：设CD与AB交于点E．
∵在△ACD和△BCD中，
AC＝BC
AD＝BD
CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．?
∴∠1=∠2．??
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即?CD⊥AB，CD平分AB．
如图所示的尺规作图是作（ ）A．一条线段的垂直平分线B．一个角的平分线C．一条直线的平行线D．一个角等于已知角?【解析】如图所示的尺规作图是作一条线段的垂直平分线,故选:A.已知:∠α,∠β,线段a，用直尺和圆规作△ABC,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，AB=a.1.作一条线段AB=a2.分别以A,B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB交于点C。△ABC就是所求作的三角形已知:三角形的两角及它们的夹边,求作三角形已知：线段a，
b，
∠α
，求作：△ABC，使BC＝
a，AB＝
b，
∠ABC
＝∠α作法：
1.作∠MBN＝
∠α2.在射线BM上截取BC＝
a,在射线B
N上截取BA＝
b，
3.连接AC则△ABC为所求作的三角形已知三角形的两边及其夹角，求作三角形已知:线段a
,
b
,
c，求作:△ABC,使BC＝a,
AC＝b
,
AB＝c作法：(1)做线段BC＝a,
(2)以C为圆心,
b为半径画弧(3)以B为圆心,
C为半径画弧，两弧相交于点A(4)连接AB,AC则△ABC为所求作的三角形一般情况下，已知两角夹边，先画边,再画两角;已知两边夹角，先画角,再在角的两边分别截取两边。已知三条边，分别画三条边给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（?
）A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④【解析】①是边边边（SSS）；
②是两边夹一角（SAS）；
③两角夹一边（ASA）都成立．
根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；
而④则不能．
故选A．常用的作图语言（1）过点×、×作线段或射线、直线；（2）连结两点×、×；（3）在线段或射线×上截取××=××；（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；（6）延长××到点×，使××=××．注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。1.下列关于几何画图的语句正确的是（ ）A．延长射线AB到点C，使BC=2ABB．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上C．将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角D．已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b【解析】A、延长射线AB到点C，使BC=2AB，说法错误，不能延长射线；
B、点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不能说延长直线；
C、将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角，说法正确；
D、已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b，说法错误，AC也可能为2a+b；
故选：C．2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=______．
【解析】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=AE=4，
∴AE=8．
故答案为：8．
3.如图有A、B两村合伙在河边MN建一座扬水站，要使所用管道最少，请你帮助确定扬水站的位置（画出图形不写作法，保留作图痕迹）4.尺规作图：黎明花园O处有两条交叉公路OA、OB，∠AOB内有两栋居民楼C、D，小李准备开一家超市P，超市P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两栋居民楼C、D的距离相等；?求作：超市P的位置，（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．解：如图所示，点P即为所要找的超市的位置．5.利用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：?
已知：如图，∠1，∠2和线段a．?
求作：△ABC，使AB=a，∠CAB=∠1+∠2，∠ABC=∠2．如图，△ABC中，AB=3.5cm，AC=2.4cm，BC=4.7cm，∠B=30°，∠C=45°．请你从中选择适当的数据，画与△ABC全等的三角形，要求至少用三种不同的方法画，不写画法，但要在画出的每一个图中标出方法所用到的数据．
作业设计
板书设计
教学反思(共24张PPT)
尺规作图
（3）在射线AC
上截取AB
＝a
，则线段
AB
就是所要画的线段.
（1）先画射线AC；
（2）用圆规量出线段a的长；
作法：
A
C
B
已知：线段a，求作一条线段等于a.
a
a
已知：∠AOB
，求作∠AOB
的平分线.
O
B
A
P
C
D
（1）以O
为圆心，以适当长为半径画弧，交OA
于C
点，交OB
于D
点；
（3）过O、P
作射线OP
，
则OP即为所求作的角平分线.
（2）分别以C、D
两点圆心，以大于
CD
长为半
径画弧，两弧相交于P
点；
作法：
在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
思考：
怎么做一个角等于已知角？
如图，已知∠AOB
，求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
O
A
B
2.作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC
长为半径画弧l，交O′
A′于C′.
（图2）
1.以点O
为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA
于C
，交OB
于D
；（图1）
作法：
3.以点C′为圆心，以CD
长为半径画弧，交弧l于D′.
4.经过点O′,D’画射线O′
B′，则∠A′
O′
B′就是所求作的角.
B
′
D′
C
D
O
A
B
图1
O
′
A
′
图2
C
′
l
你能证明上题作图的正确性吗?
C
D
O
A
B
图1
O
′
A
′
B
′
C
′
D′
图2
如图1和图2，连结CD，C’D’
在△OCD与△O’C’D’中，
∵
OC=O’C’（作法）
OD=O’D’（作法）
CD=C’D’
（作法）
∴△OCD≌△O’C’D’（SSS）
∴∠A’O’B’=∠AOB
要求：用直尺和圆规作一个30°的角。（只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）
方法一：先作等边三角形得到60°，再作60°角的平分线，得到30°角；
方法二：6等份圆，作60°圆心角的平分线，得到30°角；（或作30°的圆周角）
方法三：作含有30°角的直角三角形．
已知：线段AB
，用直尺和圆规画出线段AB的垂直平分线.
（1）
分别以A、B
两点为圆心，以大于AB
线段一
半的长为半径画弧，两弧交于C、D
两点；
（2）过点C、D
作直线CD，直线CD即为所求作线段
AB
的垂直平分线.
A
B
C
D
分析
要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出。
作法：
你能根据作法证明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？
已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD．?
求证：CD⊥AB，CD平分AB．
A
B
C
D
1
2
证明：设CD与AB交于点E．
∵在△ACD和△BCD中，
AC＝BC
AD＝BD
CD＝CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．?
∴∠1=∠2．??
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即?CD⊥AB，CD平分AB．
如图所示的尺规作图是作（ ）
A．一条线段的垂直平分线
B．一个角的平分线
C．一条直线的平行线
D．一个角等于已知角
A
?【解析】如图所示的尺规作图是作一条线段的垂直平分线,故选:A.
已知:∠α,∠β,线段a，用直尺和圆规作△ABC,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，AB=a.
2.分别以A,B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB交于点C。△ABC就是所求作的三角形
作法：
1.作一条线段AB=a
β
a
α
A
B
D
E
C
已知:三角形的两角及它们的夹边,求作三角形
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
已知：线段a，
b，
∠α
，求作：△ABC，使BC＝
a，AB＝
b，
∠ABC
＝∠α
a
b
a
D
E
1.作∠MBN＝
∠α
2.在射线BM上截取BC＝
a,在射线B
N上截取BA＝
b，
3.连接AC
则△ABC为所求作的三角形
作法：
B
M
D′
E′
N
C
A
已知:线段a
,
b
,
c，求作:△ABC,使BC＝a,
AC＝b
,
AB＝c
a
b
c
(1)做线段BC＝a,
(2)以C为圆心,
b为半径画弧
(3)以B为圆心,
C为半径画弧，两弧相交于点A
(4)连接AB,AC
则△ABC为所求作的三角形
作法：
B
M
A
C
已知三角形的三条边，求作三角形
画三角形的方法：
◆已知两角夹边，先画边,再画两角;
◆已知两边夹角，先画角,再在角的两边分别截取两边。
◆已知三条边，分别画三条边
给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（?
）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【解析】①是边边边（SSS）；
②是两边夹一角（SAS）；
③两角夹一边（ASA）都成立．
根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；
而④则不能．
故选A．
A
常用的作图语言
（1）过点×、×作线段或射线、直线；
（2）连结两点×、×；
（3）在线段或射线×上截取××=××；
（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；
（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）延长××到点×，使××=××．
注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。
1.下列关于几何画图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到点C，使BC=2AB
B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上
C．将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角
D．已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b
C
【解析】
A、延长射线AB到点C，使BC=2AB，说法错误，不能延长射线；
B、点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不能说延长直线；
C、将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角，说法正确；
D、已知线段a，b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a，BC=b，那么线段AC=2a-b，说法错误，AC也可能为2a+b；
故选：C．
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=______．
【解析】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=AE=4，
∴AE=8．
故答案为：8．
8
3.如图有A、B两村合伙在河边MN建一座扬水站，要使所用管道最少，请你帮助确定扬水站的位置（画出图形不写作法，保留作图痕迹）
4.尺规作图：黎明花园O处有两条交叉公路OA、OB，∠AOB内有两栋居民楼C、D，小李准备开一家超市P，超市P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两栋居民楼C、D的距离相等；
?求作：超市P的位置，（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．
解：如图所示，点P即为所要找的超市的位置．
5.利用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：?
已知：如图，∠1，∠2和线段a．?
求作：△ABC，使AB=a，∠CAB=∠1+∠2，∠ABC=∠2．
如图，△ABC中，AB=3.5cm，AC=2.4cm，BC=4.7cm，∠B=30°，∠C=45°．请你从中选择适当的数据，画与△ABC全等的三角形，要求至少用三种不同的方法画，不写画法，但要在画出的每一个图中标出方法所用到的数据．
这节课我们学习了：
1.了解尺规作图的含义
2.画一个角等于已知角；
3.作已知线段的垂直平分线；
4.给定边角条件下，求作三角形
