集体备课教案
时
间
月
日
执教人
集体研讨
二次备课
辅备人
八年级
备课组全体老师
课
题
3.3垂径定理（2）
教学目标
1.理解和掌握垂径定理的两个逆定理．2.会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．3.通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生探究能力和应用能力．4.经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．
学情分析
教学重点
垂径定理的逆定理的探索及其应用．
教学难点
利用垂径定理的逆定理解决有关实际问题．
教学方法
讲授法
教学准备
教学过程
一、创设情境，引入新课
⌒
⌒
已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。求证：
AC=BD1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？
定理
：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两
条弧.二、合作交流，探究新知2．探索一、AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.过点M作直径CD.1、所得到的图是轴对称图形吗?如果是,其对称
轴是什么?2、你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.定理一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧.探索二、点C是弧AB的中点,且弦CD过圆心O.1、所得到的图是轴对称图形吗?如果是,其对称
轴是什么?2、你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.定理二：平分弧的直径垂直品分弧所对的弦.
三、试一试
1.已知：如图,⊙O
中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有
:
.
图中相等的劣弧有:
.
2.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
四、讲一讲
1．定理1中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件，你能举反例说明吗？
2．概括成图式：
直径平分弦（不是直径）
直径平分弧
3．表述：
垂径定理及其逆定理可以概括为：直径垂直于弦；直径平分弦；直径平分弦所对的弧，这三个元素中由一推二．五、例题解析，当堂练习例3
（课本例3）节前语所示的赵州桥的跨径（弧所对的弦的长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥的桥拱半径（精确到0.01m）．
作业设计
省编
板书设计
教学反思
A
B
O
C
D
E
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H(共26张PPT)
3.3垂径定理(2)
课前练习
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD.
E
知识回顾
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理:
AM=BM,
探索规律：
结论还成立吗？
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
条件
CD为直径
CD⊥AB
AM=BM,
探索规律：
垂径定理的逆定理1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
探索规律：
结论还成立吗？
条件
CD为直径
CD⊥AB
AM=BM,
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
垂径定理的逆定理2
你可以写出相应的命题吗?
如图,根据垂径定理与逆定理可知,如果在下列五个条件中:
知二推三.
①
CD是直径,
③
AM=BM,
②
CD⊥AB,
探索规律：
1、已知，如图，
⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N,AM=BM,AB//CD
求证：DN=CN
P
Q
N
M
练一练：
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
赵州石拱桥
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得
R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
拱高：弧的中点到弦的距离
2.
如图，在直径130mm为的圆铁片上切下高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。
练一练
32mm
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,并应用勾股定理进行计算或证明.
3.已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm，
求出AB与CD间的距离。
E
F
E
F
练一练
1.如图，⊙O的直径交弦AB于点M，且AF=BF，
若OE=5，AB=8，则MF的长为(
)
⌒
⌒
(A)2cm
(B)3cm
(C)4cm
(D)5cm
A
课后检测：
2.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB
=
600mm，求油的最大深度.
课后检测：
3.如图，⊙O的直径CD和弦AB相交于点E，已知CE＝3cm，DE＝7cm，∠DEA=30°，求AB的长？
F
课后检测：
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.
⑴
d
+
h
=
r
课堂小结
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
体会.分享
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
4.
练一练
某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面2m,半径
为1.5m,一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗?
F
1.15
解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆O于点E
连接OE,过O作OF⊥ED于F,
由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15
FD=OC=2由勾股定理得:
≈0.96
∴DF=EF+DF=2.96＜3
∴高3m,宽2.3m的集装箱车
不能通过这个隧道
2
如果要使高度不超过4m,宽为2.3m的货车能通过这个隧道,且不改变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少m?
如图,根据以上三个定理可知对于一个圆和一条直线来说。大前提是CD是直径
如果在下列4个条件中:
只要具备其中有1个条件,就可推出其余三个结论.
①
CD⊥AB
③AD=BD.
②
AM=BM
小结：
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
┗
探索规律1
垂径定理的逆定理2
平分弧的直径垂直平分弧
所对的弦
已知:如图,⊙O的直径平分弧AB
求证:CD⊥AB,
AM=BM
证明:
将⊙O沿着直线CD对折，弧AC与弧BC重合,点A与点B重合
∴∠AMO=∠BMO,AM=BM
∴AB⊥CD
轻松一练
1、如图：M为弦AB的中点，
OE=5，AB=8，则OM的长为_______.
2、如图，⊙O的直径交弦AB于点M，且AF=BF。若OE=5，AB=8，则MF的长为(
)
3
⌒
⌒
(A)2cm
(B)3cm
(C)4cm
(D)5cm
A
定理1
定理2
平分弦
的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理:
（不是直径）
