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3.4.1圆心角导学案
课题
圆心角
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.
理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）.
2.
经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程
重点
难点
圆心角定理
圆心角定理的应用
教学过程
知识链接
问题：
圆是轴对称图形吗？圆旋转一定的角度能和原来重合吗？
合作探究
一、教材82页
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.所以圆是
图形.
圆心就是它的对称中心.
如图中所示，∠NON
'就是一个圆心角.
归纳：圆心角：
。
二、教材82页
合作学习
如图
，
在⊙O中，已知圆心角∠AOB
和圆心角
∠COD相等.
探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦之间有什么关系?
归纳：圆心角定理：
。
已知：如图，在⊙O中，
∠AOB
=∠COD.求证：弧AB=弧CD,AB=CD
三、教材第83页
如果以⊙O的圆心O为端点作
360
条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把
1°圆心角所对的弧叫做
的弧.
这样，
n°的圆心角所对的弧就是
的弧
四、教材83页
例题1：用直尺和圆规把⊙O四等分．
五、教材84页
例题2：求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：在
⊙
O
中
，∠
AOB＝∠COD，OE
是弦AB
的弦心距，
OF是弦CD的弦心距，求证：OE=OF
自主尝试
1．下面图形中的角是圆心角的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为(
)
A.
3:2
B.
2
C.
D.
5：4
3.
半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于(
)
A.2∶1
B.3∶2
C.2∶3
D.0
【方法宝典】
利用圆心角定理解答即可。
当堂检测
1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(
)
A．51°
B．56°
C．68°
D．78°
2．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(
)
①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为(
)
A．100°
B．110°
C．120°
D．135°
4.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为(
)
A．AB>CD
B．AB＝CD
C．ABD．不能确定
5.如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数
．
6.⊙O的半径为5，弦AB与弦CD相等，且AB⊥CD于H，若OH=3，则线段BH长为
．
7.如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN=
cm．
8．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证：
=．
9．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．
10.如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
圆心角定理
参考答案：
当堂检测：
1．A
2.D
3.C
4.B
5．70°
6．7
7.2
8.证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（AAS）．
∴AD=BC，
∴=．
9．解：∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC．
10．解：(1)△AOC是等边三角形．
理由：∵＝，
∴∠AOC＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形．
(2)证明：∵∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.
∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．
∴∠ODB＝60°.
∴∠ODB＝∠COD＝60°.
∴OC∥BD.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九年级上
3.4.1圆心角
创设情境
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
观察
.
O
A
B
180°
1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形能与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.
所以圆是中心对称图形.
圆心就是它的对称中心.
观察
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度?，
由此可以看出，点N'仍落在圆上.
把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
仍与原来的圆重合.
这是圆的旋转不变性
?
观察
·
O
B
A
·
O
B
A
在⊙O
中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
A
B
O
新知讲解
·
O
N
N'
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．
如图中所示，∠NON
'就是一个圆心角.
判一判
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
探究
如图
，
在⊙O
中，已知圆心角∠AOB
和圆心角
∠COD相等.
探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦之间有什么关系.
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB=
∠COD，
那么，，弦AB=弦CD
归纳
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒
⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
例1、用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
作法：１、作⊙Ｏ的一条直径ＡＢ。
２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
点Ｃ和点Ｄ。
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分
A
B
C
D
分析：因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以要把圆四等分，只要把以圆心O为顶点的周角四等分，这只要作两条互相垂直的直径即可。
例题解析
O
例2、求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
证明：∵
OE⊥AB，
OF⊥CD
∵
AB=CD，
∴AE=CF
又∵
OA=OC
∴
Rt
△AOE
≌Rt
△COF
∴OE=OF
∴
AE=AB，
∴
CF=CD
已知：在
⊙
O
中
，∠
AOB＝∠COD，OE
是弦AB
的弦心距，
OF是弦CD的弦心距，求证：OE=OF
例题解析
已知：在
⊙
O
中
，∠
AOB＝∠COD，OE
是弦AB
的弦心距，
OF是弦CD的弦心距，OE=2，求OF
解：
∵
∠
AOB＝∠COD
∴OE=OF
∵OE=2
∴OF=2
小练习
如果以⊙O的圆心O为端点作
360
条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把
1°圆心角所对的弧叫做1°的弧.
这样，
n°的圆心角所对的弧就是n°的弧
性质:
弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
探究
注意：弧既有度数又有长度!
度数相等的弧相等吗?长度相等的弧相等吗?
想一想
课堂练习
1.下列说法中，正确的是(
)
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等
D.弦相等所对的圆心角相等
2.如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(
)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
B
A
课堂练习
3．已知⊙O的半径为5
cm，弦AB的长为5
cm，则弦AB所对的圆心角
∠AOB＝
.
4.如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：
①＝＝；②ME＝NF；③AE＝BF；④ME＝2AE.
正确的有
．
60°
①②③
课堂练习
5.如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE＝CE.
理由如下：∵AB，DE是⊙O的直径，
∴∠AOD＝∠BOE.
∴＝.
∵＝，∴＝.
∴BE＝CE.
课堂小结
圆心角
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
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