浙教版八年级下册 第4章 平行四边形 培优讲义（含解析）

平行四边形
第1讲
命题点一：利用多边形内(外)角和定理求边角问题
【思路点拨】
(1)多边形内角和定理：n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)且n为整数．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n－3)条对角线，将n边形分割为(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之外还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形
(2)多边形的外角和等于360°.
①多边形的外角和指在每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°.
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n－180°(n－2)＝360°.
例1一块正六边形硬纸片(如图①)，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形AGA′H，那么∠GA′H的大小是
60°
.
例2(保送生模拟题)E，F是四边形ABCD边AD，BC上的点，连结EF，将四边形ABFE沿直线EF折叠，使点A，点B落在四边形ABCD的内部，分别为A′，B′，再折叠将点D与点A′重合，折痕为GH，则下列结论一定正确的是(　C　)
A．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2∠C
B．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋∠C
C．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－2∠C
D．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°－2∠C
命题点二：平行四边形的定义与性质
例3(2019·武汉期中改编)(1)在图①，②，③中，给出?ABCD的顶点A，B，D的坐标(如图所示)，写出图①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是
(5,2)
，
(c＋e，d)
，
(c＋e－a，d)
.
　　　　　　
(2)通过对图①，②，③，④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论?ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为
m＋a＝c＋e
；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为
n＋b＝d＋f
.
例4在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)如图①，若点P在BC边上，此时PD＝0，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想．
(2)如图②，若点P在△ABC内，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想．
(3)如图③，若点P在△ABC外，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系(不必证明)．
解：(1)PD＋PE＋PF＝AB．
理由如下：∵AB＝AC，PF∥AB，PE∥AC，∴四边形PFAE是平行四边形．
∴∠B＝∠C，∠EPB＝∠C，∠B＝∠FPC．∴∠B＝∠EPB，即△BPE为等腰三角形．
∴BE＝PE.
又∵四边形PFAE是平行四边形，∴PF＝AE.∴PE＋PF＝BE＋AE＝AB．
又∵PD＝0，∴PD＋PE＋PF＝AB．
(2)PD＋PE＋PF＝AB．
理由如下：
如图，过点P作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.
由题意，得四边形PFAE，四边形PDBM为平行四边形．
∴PF＝AE，PD＝BM.
由题(1)的证明方法可同证△MEP为等腰三角形．
∴PE＝ME.∴PD＋PE＋PF＝BM＋EM＋AE＝AB．
(3)PE＋PF－PD＝AB．
命题点三：利用平行四边形的性质解决边、角问题
【思路点拨】
本题考查的知识比较综合，包括平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质．要解答本题，可以参照下面的思路：在等边三角形中，三条边相等，三个角都是60°，则可由60°角及平行四边形对角相等的性质可得∠DAE＝∠1，即△DAE≌△FCD，得出DF＝DE，同理可得出三条边都相等，进而可得出结论.
例5(浙江省自主招生模拟题)如图所示，在?ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，且四边形ABCD是平行四边形．
∴AE＝AB＝CD，CF＝BC＝AD．
∴∠BAE＝∠BCF＝60°，
即∠DAE＋∠BAD＝∠1＋∠BCD＝60°.
在?ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAE＝∠1.∴△DAE≌△FCD．∴DF＝DE.
∵∠2＝180°－∠ABE－∠CBF－∠BCD＝60°－∠BCD，∠1＝60°－∠BCD，
∴∠1＝∠2＝∠EAD．
∵EA＝EB，AD＝BC＝BF，∴△BEF≌△AED．∴DE＝EF.
∴DE＝DF＝EF，即△DEF为等边三角形．
例6如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，AN＝MC，AM与BN相交于点P，求证：∠BPM＝45°.
解：如图，过点M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，从而得到NE＝AM，ME⊥BC．
∵ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝90°，BM＝AC，
∴△BEM≌△AMC．
∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＋∠4＝90°，且BE＝NE.
∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°.
∵AM∥NE，∴∠BPM＝∠BNE＝45°.
命题点四：中心对称的应用
【思路点拨】
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的作法，在解题过程中，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键.
例7如图，A，B，C是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形(要求新添加的小正方形与原小正方形至少有一边重合)，使所得的新图形分别为下列(1)(2)(3)题要求的图形，请画出示意图．
(1)是中心对称图形，但不是轴对称图形．
(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形．
(3)既是中心对称图形，又是轴对称图形．
解：(1)如图①，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
(2)如图②，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
(3)如图③，在右边一个正方形上侧画一个正方形，则构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
例8图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形(画一个即可)．
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形(画一个即可)．
解：(1)
(2)
课后练习
1．在?ABCD中，∠BAD的平分线AE
交BC于点E，且BE＝3，若?ABCD的周长是16，则EC的长度是(　A　)
A．2
B．3　　　　C．4
D．6
2．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋AD，则(　C　)
A．AD>BC
B．ADC．AD＝BC
D．AD与BC的大小关系不能确定
3．如图，在?ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于点F，AF交BD于点E.若DE＝2AB，则∠AED的大小是(　B　)
A．60°
B．65°　
C．70°
D．75°
4．(武汉市自主招生模拟题)如图，在?ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B等于　
(　D　)
A．54°
B．60°
C．66°
D．72°
5．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙)．若①②③④四个平行四边形面积的和为28
cm2，四边形ABCD的面积是18
cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为(　B　)
A．72
cm
B．64
cm
C．56
cm
D．48
cm
6．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为(　C　)
A．2
B．3
C．4
D．5
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AP＝QP＝QB＝BC，则∠A＝
20°
.
8．如图，?OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O为坐标原点，则对角线OB长的最小值为
5
.
9．在面积为15的?ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为　11＋或1＋　.
10．如图，在?ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥AD交BD于点E，若DE＝2DC，则∠DBC的大小是
20°
.
11．(2019·吉林省“城市杯”初中数学应用能力展示真题)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为16，则BC＋CD＝
8
.
12．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝2，求?ABCD的周长．
解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝135°.
∴∠B＝∠D＝180°－∠C＝45°.
∴AE＝BE，AF＝DF.
设AE＝x，则AF＝2－x.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB＝＝x.
同理可得AD＝(2－x)＝4－x.
∴?ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2(x＋4－x)＝8.
13．如图，一个凸六边形的六个内角都是120°，六条边长分别为a，b，c，d，e，f，则下列等式中成立的是(　C　)
A．a＋b＋c＝d＋e＋f
B．a＋c＋e＝b＋d＋f
C．a＋b＝d＋e
D．a＋c＝b＋d
14．如图，在?ABCD中，AB＝BC＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为是
7
.
15．在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.
(1)在图①中，证明CE＝CF.
(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数．
(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．
　　　　
解：(1)∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.
∴∠CEF＝∠F.
∴CE＝CF.
(2)∠BDG＝45°.
(3)如图，延长AB至点H，使AH＝AD，连结DH，则△AHD是等边三角形．
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°.∴AD＝DF.
∵AH＝AD＝DF，
∴BH＝CF＝CE＝GF.
又∵FG∥CE，∠BCD＝60°，
∴∠GFC＝60°.
又∵∠BHD＝∠GFD＝60°，DH＝DF，
∴△DBH≌△DGF，∠BDH＝∠GDF.
∴∠BDG＝∠ADC－∠ADB－∠GDF＝∠ADC－
(∠ADB＋∠BDH)＝120°－60°＝60°.