反比例函数
第2讲（反比例函数的应用）
命题点一：利用反比例函数的中心对称性解题
【思路点拨】
反比例函数图象具有中心对称的性质，矩形、平行四边形等图形也具有中心对称的特性，两者结合起来考查，难度会更大，更具有挑战性.
例1如图，反比例函数y＝(k>0)的图象与对角线交点在原点的矩形ABCD相交于点E，F，G，H，且E(1,3)，AB∶BC＝，图中涂色部分的面积为
15
.
例2如图，反比例函数y＝(x>0)的图象与矩形OABC的边BC交于点D，过点A，D作DE∥AF，交直线y＝kx(k<0)于点E，F.若OE＝OF，BD＝CD，则四边形ADEF的面积为 5＋5 .
命题点二：利用反比例函数的几何意义解题
例3如图，直线l和双曲线y＝(k>0)交于A，B两点，P是线段AB上的点(不与A，B重合)，过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别是C，D，E，连结OA，OB，OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则( D )
A．S1＜S2＜S3
B．S1＞S2＞S3
C．S1＝S2＞S3
D．S1＝S2＜S3
例4(2018·内江)已知A，B，C，D是反比例函数y＝(x＞0)图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(涂色部分)，则这四个橄榄形的面积总和是
5π－10
(用含π的代数式表示)．
命题点三：利用反比例函数解方程、不等式问题
例5(2018·铜仁)如图，一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的图象相交于A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则不等式ax＋b＜的解为
－2＜x＜0或x＞1
.
【方法归纳】
解决不等式问题：看一次函数与反比例函数互相分为几段，从哪段图象或哪几段图象可以得出不等式kx＋b>的解．
解决方程问题：直接把两个函数联立成方程组，转化为一元二次方程，根据情况求解.
例6如图，一次函数y＝kx＋5(k为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y＝－的图象交于A(－2，b)，B两点．若将直线AB向下平移m(m>0)个单位后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，则m的值为
1或9
.
命题点四：反比例函数在几何中的运用(包括最值)
例7(1)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(－3，m＋8)，B(n，－6)两点，则△AOB的面积为
8
.
例8(1)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(－1,1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连结BE，则△BCE的面积为( C )
A．5
B．6
C．7
D．8
(2)如图，点A(a,1)，B(－1，b)都在双曲线y＝－(x＜0)上，P，Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，求PQ所在直线的表达式．
解：分别把点A(a,1)，B(－1，b)代入双曲线y＝－，
得a＝－3，b＝3.则点A的坐标为(－3,1)，点B的坐标为(－1,3)．作A点关于x轴的对称点C，点B关于y轴的对称点D，∴点C的坐标为(－3，－1)，点D坐标为(1,3)．连结CD分别交x轴、y轴于P，Q点，此时四边形PABQ的周长最小．设直线CD的表达式为y＝kx＋b.
把C(－3，－1)，D(1,3)分别代入，得解得
∴直线CD的表达式为y＝x＋2，即PQ所在直线的表达式为y＝x＋2.
命题点五：反比例函数在压强等问题上的运用
例9已知压强的计算公式是p＝，我们知道，刀具在使用一段时间后，就容易变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是( D )
A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大
B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小
C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小
D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大
例10(2018·淮安模拟)甲、乙、丙三人直立在相同大小的平板上，平板对水平地面的压强y(Pa)与平板面积的x(m2)的关系分别如图中y＝，y＝，y＝，则当平板面积增加量相同时，甲、乙、丙三人所站的平板对水平地面的压强变化的关系是( D )
A．甲压强增加量>丙压强增加量>乙压强增加量
B．甲压强减少量>乙压强减少量>丙压强减少量
C．乙压强减少量>甲压强减少量>丙压强减少量
D．丙压强减少量>乙压强减少量>甲压强减少量
命题点六：反比例函数在实际生活问题上的运用
例11在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18
℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培．如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭后大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中BC段是函数y＝(k>0)图象的一部分，若该蘑菇适宜生长的温度不低于12
℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为( B )
A．18小时
B．17.5小时
C．12小时
D．10小时
例12教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10
℃，加热到100
℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系．直至水温降至30
℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30
℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图，为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50
℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( A )
A．7：20
B．7：30
C．7：45
D．7：50
命题点七：利用反比例函数一个重要结论解题
例13如图，A(2,2)是双曲线y＝上一点，B是双曲线上位于点A右下方的另一点，C是x轴上的点，且△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形．
(1)求点B的坐标．
(2)若直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，求AN∶BM的值．
解：(1)根据题意，易得k＝4.
分别作AK∥y轴，BK∥x轴，作BL⊥x轴于点L.
∵AB＝BC，∠ABK＝∠CBL，
∴Rt△ABK≌Rt△CBL.
∴KB＝BL.
设B，则x－2＝，得x＝＋1(负值已舍去)．
∴B(＋1，－1)．
(2)1∶1.
【方法归纳】
变化是永恒的，不变是相对的，在纷繁复杂的变化过程中，寻找不变量和不变性，是以不变应万变的智慧，当一次函数图象和反比例函数图象相交时，就存在不变量和不变性.
例14如图，直线y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，其中A(1,3)，C是反比例函数在第一象限的图象上不同于A的一点，直线AC交y轴于点E，直线BC交y轴于点F，则线段EF的长是( C )
A．4
B．5
C．6
D．变量
课后练习
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝(m≠0)的图象相交于点A(2,3)，B(－6，－1)，则不等式kx＋b>的解为( B )
A．x<－6
B．－62
C．x>2
D．x<－6或02．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，＝，∠AOB的平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是( D )
A．2
B．3
C．5
D．7
3．(2018·聊城)春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒的预防措施．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5
min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10
min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下列四个选项中错误的是( C )
A．经过5
min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10
mg/m3
B．室内空气中的含药量不低于8
mg/m3的持续时间达到了11
min
C．当室内空气中的含药量不低于5
mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于2
mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2
mg/m3开始，需经过59
min后，学生才能进入室内
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10，若动点P在于x轴上，则PM＋PN的最小值是( C )
A．6
B．10
C．2
D．2
5．如图，反比例函数y＝(x<0)的图象经过点A(－1,1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是( A )
A．
B．
C．
D．
6．已知点A在函数y1＝－(x>0)的图象上，点B在直线y2＝kx＋1＋k(k为常数，且k≥0)上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”的对数情况为( A )
A．有1对或2对
B．只有1对
C．只有2对
D．有2对或3对
7．如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相交于B(－1,5)，C两点．P(m，n)是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．当－18．函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x<2时，y随x的增大而减小；③当x>0时，函数的图象最低点的坐标是(2,4)．其中正确结论的序号是
①③
.
9．如图，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝3BD，在y轴上确定一点M，当点M到C，D两点距离之和d＝MC＋MD最小时，点M的坐标为 (0,2－2) .
10．正方形A1B1P1P2的顶点P1，P2在反比例函数y＝(x>0)的图象上，顶点A1，B1分别在x轴，y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝(x>0)的图象上，顶点A2在x轴正半轴上，则点P3的坐标为 (＋1，－1) .
11．如图，科技小组准备用材料建一个面积为60
m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12
m，设AD的长为x(m)，DC的长为y(m)．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26
m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
解：(1)由题意，得S矩形ABCD＝AD×CD＝xy，
故y＝(x≥5)．
(2)由y＝且x，y都是正整数，
可得x可取5,6,10,12,15,20,30,60.
∵2x＋y≤26,0∴符合条件的围建方案为AD＝5
m，DC＝12
m或
AD＝6
m，DC＝10
m或AD＝10
m，DC＝6
m．
12．通过市场调查，一段时间内某地区对一种农产品的需求量y(千克)与市场价格x(元/千克)存在下列函数关系：y＝＋6
000(0(1)若市场处于供需平衡状态，则该地区农民销售这种农产品的总收入是多少元？
(2)受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高生产质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格上涨了a(0＜a＜25)元，在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？增加或减少了多少元？
解：(1)先由＋6
000＝400x，求出x＝25，
总收入为xz＝25×25×400＝250
000(元)．
(2)当市场再次处于平衡时，农产品总量：
y1＝＋6
000.
y1(x＋a)－yx
＝(x＋a)－x
＝6
000a.
答：该地区农民的总销售收入是增加了，增加了6
000a元．
13．(2018·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x>0)的图象G经过点A(4,1)，直线l：y＝x＋b与图象G交于点B，与y轴交于点C.
(1)求k的值．
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W.
①当b＝－1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．
解：(1)4.
(2)①点(1,0)，(2,0)(3,0)共3个；
②直线l在OA的下方时，
当直线l过点(1，－1)时，×1＋b＝－1，解得b＝－，且经过(5,0)．
∴区域W内恰有4个整点．∴－≤b＜－1.
直线l在OA的上方时，
∵点(2,2)在函数y2＝(x＞0)的图象上，当直线l过点(1,2)时，×1＋b＝2，解得b＝；
当直线l过点(1,3)时，×1＋b＝3，解得b＝.
∴区域W内恰有4个整点，
∴＜b≤.
综上所述，－≤b<－1或14．(1)(自主招生真题)函数y＝－图象的大致形状是( D )
(2)(自主招生真题)如图，A是函数y＝的图象上的点，点B，C的坐标分别为B(－，－)，C(，)．试利用性质：“函数y＝的图象上任意一点A都满足＝2.”求解下面的问题：作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在函数y＝的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为( C )
A．直线
B．抛物线
C．圆
D．反比例函数所在的曲线
15．如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA＝1，OC＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n(n＞1)次平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 或 (用含n的代数式表示)．
16．(自主招生模拟题)如图①，双曲线y＝(x＞0)，直线l1：y－＝k(x－)(k＜0)过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，直线l2：y＝－x＋.
(1)若k＝－1，求△OAB的面积S.
(2)若AB＝，求k的值．
(3)如图②，设N(0,2)，点P在双曲线上，点M在直线l2上且PM∥x轴，求PM＋PN的最小值，并求PM＋PN取得最小值时P的坐标．[参考公式：在平面直角坐标系中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离为AB＝.]
解：(1)当k＝－1时，l1：y＝－x＋2，
联立化简，得x2－2x＋1＝0，
解得x1＝－1，x2＝＋1.
设直线l1与y轴交于点C，则C(0,2)．
S△OAB＝S△BOC－S△AOC＝×2·(x2－x1)＝2.
(2)根据题意，得
整理，得kx2＋(1－k)x－1＝0(k＜0)．
∵Δ＝[(1－k)]2－4×k×(－1)＝2(1＋k2)＞0，
∴x1，x2是方程的两根．∴①
∴AB＝
＝
＝
＝.
将①代入，得AB＝＝(k＜0)，
∴＝.整理，得2k2＋5k＋2＝0，
解得k＝－2或k＝－.
(3)由题意，可知F(，)
设P，则M，
则PM＝x＋－＝
＝.
∵PF＝
＝，
∴PM＝PF.∴PM＋PN＝PF＋PN≥NF＝2.
当点P在NF上时，等号成立，此时NF所在直线的表达式为y＝－x＋2.由题(1)知P(－1，＋1)，
∴当P点坐标为(－1，＋1)时，PM＋PN取得最小值2.反比例函数
第1讲（反比例函数的图象与性质）反比例函数的图象与性质
命题点一：根据反比例函数的定义求函数表达式
【方法归纳】
确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k的值，常用的方法：①根据反比例函数的定义或性质列方程求解；②根据图象中点的坐标求解；③利用待定系数法求解；④利用好比例系数k的几何意义求解.
例1如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，D在y轴上，B，C在反比例函数的图象上，对角线AC，BD交于点E，且BD∥x轴，若AE＝1，∠ADE＝30°，则反比例函数的表达式为( D )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
例2已知反比例函数y＝(m－1)xm2－m－3，当x<0时，y随x的增大而减小，求反比例函数的表达式．
解：由反比例函数y＝(m－1)xm2－m－3，得解得m＝2或m＝－1.
由当x<0时，y随x的增大而减小，得m－1＞0，m＞1，
∴m＝2.
故反比例函数的表达式为y＝.
命题点二：利用反比例函数的增减性解题
【方法归纳】
比较函数值大小的方法一般有三种：①性质法，即利用反比例函数的额增减性进行比较；②求值法(或特殊值法)，即代入自变量的值，求出函数值进行比较；③图象法，即画出函数的图象，在图象上画出点的相应位置，由点的位置直接比较函数值大小.例3已知反比例函数y＝的图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2),
当x1<0A．m<0
B．m>0 C．m<
D．m>
例4若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝(m<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( B )
A．y1B．y2C．y3D．y2命题点三：根据反比例函数的定义求比例系数k的值或范围
例5(1)如图，过点C(1,2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反比例函数y＝(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( A )
A．2≤k≤9
B．2≤k≤8
C．2≤k≤5
D．5≤k≤8
【方法归纳】
当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加难度，从代数式的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长度的转化是数形结合的桥梁．
(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C(0,3)，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝的图象上，则k的值为( A )
A．3
B．4
C．6
D．12
例6如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD.反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )
A．
B．
C．
D．
命题点四：利用反比例函数代数式求值
【方法归纳】
如图，反比例函数的几何意义：
①S△AOB＝S△AOC＝|k|；②S矩形OBAC＝|k|.
下面两个结论是上述结论的
拓展：
①如图①，S△OPA＝S△OCD，
S△OPC＝S梯形PADC；
②如图②，
S梯形OAPB＝S梯形OBCA，
S△BPE＝S△ACE.
例7(1)如图，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝交于A(x1，y1),
B(x2，y2)
两点，则2x1y2－7x2y1的值等于
20
.
(2)如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则OA2－AB2的为
18
.
例8(1)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为
24
.
(2)如图，A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝(x>0)于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2－OD2的值为
6
.
命题点五：利用函数的系数，判断函数图象的可能性
例9反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( C )
例10如图，在同一直角坐标系中，函数y＝与y＝kx＋k2的大致图象是( C )
命题点六：利用反比例函数k的几何意义解题
例11(1)下列选项中，涂色部分面积最小的是( C )
(2)如图，在平面直角坐标系中，A(－6,0)，曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为－6，－4，－2的三点B，C，D分别向x轴，y轴作垂线，图中的涂色部分是由这些垂线围成的，且面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为
27
.
例12如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点C(3,4)，边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA，交平行四边形各边如图．若反比例函数y＝的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为( B )
A．16
B．20
C．24
D．26
命题点七：关于叠加曲线的问题
例13(2018·宁波)如图，平行于x轴的直线与函数y＝(k1>0，x>0)，y＝(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为( A )
A．8
B．－8
C．4
D．－4
例14(1)如图，A为函数y＝(x>0)图象上一点，连结OA，交函数y＝(x>0)的图象于点B，C是x轴上的一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为
6
.
命题点八：关于反比例函数的规律性问题
例15如图，在反比例函数y＝(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3,
P4，…，它们的横坐标依次为2,4,6,8，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ 10－ (用含n的代数式表示)．
例16如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P100A99A100是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…
，P100在反比例函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A99A100都在x轴上，则点A100的坐标是
(40,0)
.
课后练习
1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4,0)，点B在y轴上．若反比例函数y＝(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为( A )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝上的三点，x1A．x1·x2<0
B．x1·x3<0
C．x2·x3<0
D．x1＋x2<0
3．(2018·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx
与y＝－的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连结BC，则△ABC的面积为( C )
A．2 B．4
C．6
D．8
4．如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC交x轴于点E，BD交x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝，则k2－k1等于( A )
A．4
B．
C．
D．6
5．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数y＝(k>0)的图象交BC于点M，交CD于点N.若A点坐标为(－2，－2)，SOMN＝，则k的值为( B )
A．
B．2
C．
D．1
6．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,5)，C(6,1)．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围为 2≤k≤ .
7．(2018·德州)如图，反比例函数y＝与一次函数y＝x－2的图象在第三象限相交于点A，点B的坐标为(－3,0)，P是y轴左侧的一点．若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为
(－4，－3)，(－2,3)
.
8．如图，点A，B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝(k>0)的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为
3
.
9．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是 ≤a≤＋1 .
10．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝(x>0,0(1)当m＝4，n＝20时，
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；
②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
(2)四边形ABCD能否成为正方形？
若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
解：(1)①∵m＝4，
∴反比例函数y＝为y＝.当x＝4时，y＝1，
∴点B的坐标为(4,1)．
当y＝2时，2＝，x＝2，
∴点A的坐标为(2,2)．
设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
∴解得
∴直线AB的表达式为y＝－x＋3.
②四边形ABCD是菱形．理由如下：
由题①，知点B的坐标为(4,1)．
∵BD∥y轴，∴点D的坐标为(4,5)．
∵点P是线段BD的中点，
∴点P的坐标为(4,3)．
当y＝3时，由y＝，得x＝；
由y＝，得x＝.
∴PA＝4－＝，PC＝－4＝.∴PA＝PC.
∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形．
∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．
(2)能．理由如下：当四边形ABCD是正方形时，记AC，BD的交点为P，
∴BD＝AC.当x＝4时，y＝＝，y＝＝，
∴点B的坐标为，点D的坐标为.
∴点P的坐标为.
∴点A的坐标为，点C的坐标为.
∵AC＝BD，∴－＝－.
∴m＋n＝32.
11．(2018·泰州)在平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝(x>0)的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx＋n的图象经过点A′.
(1)设a＝2，点B(4,2)在函数y1，y2的图象上，
①分别求函数y1，y2的表达式；
②直接写出使y1>y2>0成立的x的范围．
(2)如图①，设函数y1，y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为16，求k的值．
(3)设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
解：(1)①∵点B在y1的图象上，∴k＝2×4＝8.
∴y1＝.∵a＝2，点A在y1的图象上，∴点A的坐标为(2,4)，点A′的坐标为(－2，－4)．
将点A′和B的坐标代入y2，得
解得∴y2＝x－2.②2(2)分别过点A，B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OB.
∵O为AA′的中点，∴S△AOB＝S△AA′B＝8.
∵点A，B在双曲线上，∴S△AOC＝S△BOD.
∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8.
根据已知，点A，B坐标可设为，，
∴××2a＝8，解得k＝6.
(3)设A，则A′.
把A′代入y＝x＋n，得－＝－a＋n，∴n＝a－.
∴A′D的表达式为y2＝x＋a－.
当x＝a时，点D的纵坐标为a－，
∴AD＝－a.∵在正方形ADEF中，AD＝AF，
∴点F和点P的横坐标为a＋－a＝.
∴点P的纵坐标为×＋a－＝a，即点P的坐标为.把点P的横坐标代入y1＝(x>0)，得y1＝a.∴点P在y1＝(x>0)的图象上．
12．(自主招生模拟题)如图，反比例函数y＝位于第一象限的图象上有A，B两点，从点A作AD⊥y轴于点D，从点B作BC⊥x轴于点C，若△OAB的面积为，△OCD的面积为，则k的值为( B )
A．
B．2
C．
D．3
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝
－x－1，双曲线y＝.在l上取点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2.请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…，记点An的横坐标为an.若a1＝2,
则a2＝ － ，a2013＝ － ；
若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取的值是
0，－1
.
14．(自主招生模拟题)已知点O是坐标系的原点，直线y＝－x＋m＋n与双曲线y＝交于两个不同点A(m，n)(m≥2)和B(p，q)，直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围．
解：∵直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C，
∴C(0，m＋n)．
∵点B(p，q)在直线y＝－x＋m＋n上，
∴q＝－p＋m＋n.
又∵点A，B在双曲线y＝上，
∴＝－p＋m＋，即p－m＝.
∵点A，B是不同的点，
∴p－m≠0.
∴pm＝1.
∵mn＝1，
∴p＝n，q＝m.
∵1＞0，
∴在每一个象限内，反比例函数y＝的函数值y随自变量x的增大而减小．
∴当m≥2时，0∵S＝(p＋q)p＝p2＋pq＝n2＋，
∴当0∴
