特殊平行四边形
第1讲（矩形与菱形）
命题点一：利用性质解决相关问题
例1如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(2,3)，则BD＝ .
例2如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为( C )
A．6.5
B．6
C．5.5
D．5
命题点二：根据相应的判定方法解题
例3下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
B．∠A＝∠B＝∠D＝90°
C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90°
D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
例4四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B )
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
例5如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD的中点，M是边AB上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．
(2)填空：
①当AM的值为
1
时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为
2
时，四边形AMDN是菱形.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM.∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.
∵E是AD的中点，∴DE＝AE.
在△NDE和△MAE中，∵
∴△NDE≌△MAE(AAS)．∴ND＝MA．
∴四边形AMDN是平行四边形．
命题点三：利用图形的轴对称性解题
例6如图，四边形ABCD是菱形，△AEF是正三角形，点E，F分别在BC，CD边上，且AB＝AE，则∠B的大小为( B )
A．60°
B．80°
C．100°
D．120°
例7如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则＝ .
命题点四：利用图形的中心对称性解题
例8如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的大小为( D )
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
例9如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1
cm/s，运动时间为t(s)．当AC＝16
cm，BD＝12
cm，且以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形时，t＝
2或14
.
命题点五：用旋转的方法解决问题
例10如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6,0)，C(0,2)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 (－2，6) .
例11如图，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝2，则线段EF的长的取值范围是 ≤EF≤2 .
命题点六：巧用公式解决面积有关的问题
例12如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120
cm2，对角线AC＝24
cm，则四边形ABCD的周长为( A )
A．52
cm
B．40
cm
C．39
cm
D．26
cm
例13如图，在矩形ABCD中，M为边BC上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 .
命题点七：在矩形、菱形中的拼接问题
例14如图，四张大小不一样的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在矩形的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得涂色部分的周长( B )
A．①
B．②
C．③
D．④
例15如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中两张等腰三角形纸片的面积都为S1，且AE＝AH，CF＝CG，另外两张三角形纸片的面积都为S2，中间一张菱形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )
A．4S1
B．4S2
C．4S2＋S3
D．3S1＋4S3
课后练习
1．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△EFC是等腰直角三角形，∠FEC＝90°，则AE的长是( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连结BM，DN.若四边形MBND是菱形，则等于( C )
A．
B．
C．
D．
3．如图，在菱形ABCD中，边BC的长为5，高DE的长为3(垂足E落在BC边上)，则AC的长为( A )
A．3
B．4
C．8
D．10
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，DF＝1，∠DAB＝60°，∠EFG＝15°，FG⊥BC，则AE等于( D )
A．1＋
B．
C．2－1
D．1＋
5．如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积( A )
A．①或③
B．②
C．④
D．以上选项都可以
6．如图，在矩形中ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE
于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有( C )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7．如图，在长方形ABCD中，M是AD边的中点，N是DC边的中点，AN与MC交于点P.若∠MCB＝∠NBC
＋33°，则∠MPA的度数为
33°
.
8．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，P为BC上一点，PF⊥AC，PE⊥BD，则PF＋PE的值为
4.8
.
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒
(t>0)，过点D作DF⊥BC于点F，连结EF，当四边形AEFD为菱形时，t的值为 .
10．如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG.若菱形ABCD的边长为7，菱形DEFG的边长为13，菱形FMHN的边长为6，BH＝40，DF＝24，则四边形CEMG的面积为
160
.
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为 .
12．将矩形ABCD绕点A按顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD．
(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
13．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE.点E的位置随着点P位置的变化而变化．
(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，BP与CE的数量关系是
BP＝CE
，CE与AD的位置关系是
CE⊥AD
.
(2)当点E在菱形ABCD外部时，题(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由
(选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)．
(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连结BE，若AB＝2，BE＝2.求四边形ADPE的面积．
解：(2)仍然成立．
选图②，证明如下：连结AC交BD于点O.
设CE交AD于点H.
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∵BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴BA＝CA．
∵△APE为等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°.
∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS)．
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.
∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°.
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．
选图③，证明如下：连结AC交BD于点O.
设CE交AD于点H.
同理可得△BAP≌△CAE(SAS)，
BP＝CE，CE⊥AD．
(3)连结AC交BD于点O，连结CE交AD于点H.
由题(2)可知，BP＝CE，CE⊥AD．
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴EC⊥BC．∵BC＝AB＝2，BE＝2，
∴在Rt△BCE中，CE＝＝8.
∴BP＝CE＝8.
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，
BD＝2BO＝2AB·＝6.
∴OA＝AB＝，DP＝BP－BD＝2.
∴OP＝5，AP＝＝2.
S四边形ADPE＝S△ADP＋S△AEP＝×2×＋×2×
2×＝＋7＝8.
14．(自主招生模拟题)如图，AB＝CD，BC＝2AD，∠ABC＝90°，∠BCD＝
30°.则∠BAD的大小为( B )
A．25°
B．30°
C．35°
D．45°
15．(自主招生模拟题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，O，B，C的对应点分别为D，E，F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为 .
16．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图①，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
(1)判断与操作
如图②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
(2)探究与计算
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
(3)归纳与拓展
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c(b解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下．
(2)裁剪线的示意图如下．
(3)b∶c的值为，，，，，，，.特殊平行四边形
第2讲（正
方
形）
命题点一：根据相应的判定方法解题
例1下列判断错误的是( D )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )
A．BC＝AC
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．AC＝BF
命题点二：利用性质解决相关问题
例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
例4如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为
105°
.
命题点三：利用图形的对称性解题
例5如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC．其中正确结论的序号是( A )
A．①②④⑤
B．①②③④⑤
C．①②④
D．①④
例6(宁波一中预录题)如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2,3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则额MF的长为( A )
A．
B．1
C．
D．
命题点四：用旋转的方法解决问题
例7如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是( B )
A．
B．
C．2
D．
例8(江西省南昌市竞赛题)如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB的度数为( B )
A．120° B．135°
C．150° D．以上都不对
命题点五：利用面积法解有关的问题
例9有3个正方形如图所示放置，涂色部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于( D )
A．1∶
B．1∶2
C．2∶3
D．4∶9
例10将五个边长都为3
cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块涂色面积的和为( C )
A．3
cm2
B．6
cm2
C．9
cm2
D．18
cm2
命题点六：利用正方形半角模型解题
例11(2018·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE
的长是( C )
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
例12如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，GF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正确结论的个数是( B )
A．4 B．3
C．2 D．1
命题点七：利用弦图模型解题
例13如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )
A．7
B．8
C．7
D．7
例14按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(涂色部分)的周长为 20 .
命题点八：正方形内部“线段”垂直必相等；相等不一定垂直
例15如图，将边长为12
cm的正方形ABCD折叠，使得A落在边CD上的E点，折痕为FG，连结AE，若FG的长为13
cm，则线段CE
的长为
7_cm
.
例16如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q
.若PQ＝AE，则AP长为( C )
A．0.5
B．1
C．1或2
D．0.5或2.5
课后练习
1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为( A )
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
2．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( B )
A．70
B．74
C．144
D．148
3．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是( D )
A．∠EAF＝∠FAB
B．FC＝BC
C．AF＝AE＋FC
D．AF＝BC＋FC
4．如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( D )
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6
5．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用涂色部分表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( D )
A．
B．
C．
D．
6．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为 .
7．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则＝ .
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连结OC，若AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC
的长为
7
.
9．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝
45°
.
10．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是
15°或165°
.
11．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋，若AC＝CD，则边AD的长为 .
12．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.
(1)求证：HF＝AP.
(2)若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段EQ的长．
解：(1)∵EF⊥BP，EH⊥AB，
∴∠FEH＋∠EMQ＝90°＝∠PBA＋∠BMH.
又∵∠QME＝∠BMH，
∴∠FEH＝∠PBA．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD．
∵EH⊥AB，
∴∠EHA＝90°＝∠A＝∠D．
∴四边形ADEH是矩形．
∴AD＝EH.
又∵AB＝AD，
∴AB＝EH.
在△ABP与△HEF中，∵
∴△ABP≌△HEF(ASA)．
∴AP＝FH.
(2)如图，连结PF，PE.
∵EF垂直平分BP，
∴PF＝BF.
设AF＝x，则PF＝BF＝12－x.
∴在△APF中，42＋x2＝(12－x)2，解得x＝.
∴AF＝.
∴BF＝AB－AF＝，BH＝BF－FH＝，
DE＝AB－BH＝.
∴PE＝＝.
∵BP＝＝4，
∴PQ＝BP＝2.
∴EQ＝＝.
13．(2018·北京)
如图，在正方形ABCD中，E是AB上的一动点(不与A，B重合)，连结DE，点A关于直线DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连结DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连结BH.
(1)求证：GF＝GC．
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
证明：(1)如图，连结DF.
∵点A，F关于DE对称，
∴AD＝FD，AE＝FE.
在△ADE和△FDE中，
∵
∴△ADE≌△FDE(SSS)．
∴∠DAE＝∠DFE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AD＝CD．
∴∠DFE＝∠A＝90°.
∴∠DFG＝180°－∠DFE＝90°.
∴∠DFG＝∠C．
∵AD＝DF，AD＝CD，∴DF＝CD．
在Rt△DCG和Rt△DFG中，∵
∴Rt△DCG≌Rt△DFG(HL)．
∴GF＝GC．
(2)BH＝AE.
如图，在AD上取点M使得AM＝AE，连结ME.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠ADC＝90°.
∵△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠FDE.
同理，∠CDG＝∠FDG.
∴∠EDG＝∠EDF＋∠GDF＝∠ADF＋∠CDF＝∠ADC＝45°.
∵DE⊥EH，∴∠DEH＝90°.
∴∠EHD＝180°－∠DEH－∠EDH＝45°.
∴∠EHD＝∠EDH.∴DE＝EH.
∵∠A＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.
∵∠DEH＝90°，∴∠AED＋∠BEH＝90°.
∴∠ADE＝∠BEH.
∵AD＝AB，AM＝AE，∴DM＝EB．
在△DME和△EBH中，∵
∴△DME≌△EBH(SAS)．
∴ME＝BH.
在Rt△AME中，∠A＝90°，AE＝AM，
∴ME＝＝AE.
∴BH＝AE.
14．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连结BF.
(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长．
(2)如图②，点E在线段AD上，AE＝1.
①求点F到AD的距离；
②求BF的长．
(3)若BF＝3，请直接写出此时AE的长．
解：(1)BF＝4.
(2)如图，①过点F作FH⊥AD交AD
的延长线于点H，
∵四边形CEFG是正方形，
∴EC＝EF，∠FEC＝90°.
∴∠DEC＋∠FEH＝90°.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°.∴∠DEC＋∠ECD＝90°.
∴∠ECD＝∠FEH.
又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，∴△ECD≌△FEH.
∴FH＝ED．
∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3.
∴FH＝3，
即点F到AD的距离为3.
②延长FH交BC的延长线于点K，
∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°.
∴四边形CDHK为矩形．∴HK＝CD＝4.
∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.
∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4.
∴AE＝DH＝CK＝1.∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.
在Rt△BFK中，BF＝＝＝.
(3)AE＝2＋或AE＝1.
15．(自主招生模拟题)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次回到点E时，小球P所经过的路程为 6 .
16．(自主招生模拟题)图①中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17,10,13；图②中，四边形DPQR为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH的面积应为
62
.
17．(自主招生模拟题)如图所示，四边形ABCD是正方形，且∠1＝∠2＝∠3.
(1)若∠1＝30°，DG＝，求正方形ABCD的边长．
(2)求证：AG－GF＝GE.
解：(1)∵∠1＝30°，DG＝，
∴正方形ABCD的边长为DG＝3.
(2)如图，在AG上截取GH＝GF，过点H作HP⊥AD，垂足为P.
∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，
∴∠4＝90°－2∠1.
在等腰三角形GFH中，
∠GHF＝(180°－∠4)＝45°＋∠1.
又∵∠GHF＝∠1＋∠AFH，
∴∠AFH＝45°.
∴△PFH为等腰直角三角形，PH＝PF.
由GH＝GF且PH＝PF，得GP⊥FH.
∴∠FPG＝45°.
∴DP＝DG，AP＝CG.
∴△APH≌△GCE，AH＝GE.
∴AG＝AH＋HG＝GE＋GF.
∴AG－GF＝GE.
