4.1 比例线段 黄金分割+4.2 平行线分线段成比例配套练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.1 比例线段 黄金分割+4.2 平行线分线段成比例配套练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-15 15:26:40 | ||
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文档简介
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4.1比例线段黄金分割+4.2平行线分线段成比例练习（含解析）
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?越秀区期末）已知a＝2b，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A．a+b＝3b B．a﹣c＝2b﹣c C．a＝b D．＝2
2．（2020春?万州区期末）若＝＝，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣16 D．﹣
3．（2020春?芝罘区期中）在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．8km B．5km C．80km D．0.5km
4．（2020?临潭县校级模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
5．（2020春?常熟市期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
6．（2019秋?沙坪坝区校级期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算2（﹣1）的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
7．（2020?金昌）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
8．（2019秋?杨浦区校级月考）直线DE交△ABC中的AB于D点，交AC于E点，那么能推出DE∥BC的条件是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020?雨花区校级一模）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020春?芝罘区期中）已知a，b，c是非零实数，且，求k的值为（ ）
A． B． C．﹣1或 D．﹣1或
11．（2019秋?抚州期末）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020?余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
14．（2019春?朝阳区校级月考）如图，直线L1∥L2∥L3，直线L1、L2、L3分别和直线m交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1．若AB＝6，AC＝9，A1B1＝8，则线段B1C1的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
二．填空题（共8小题）
16．（2020?庐阳区校级一模）已知，则的值为 ．
17．（2020?淮安区一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 ．
18．（2020春?吴中区期末）如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ ．
19．（2019秋?海陵区期末）如图，E是?ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
20．（2020?无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
21．（2018秋?灌云县期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．
22．（2018秋?姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．
23．（2019?诸暨市模拟）如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若AB＝，则MN＝ ．
三．解答题（共9小题）
24．（2018秋?霍邱县期末）已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a，b，c的值．
25．（2019秋?昭平县期中）已知：线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．
26．（2019?思明区校级模拟）如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC?AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
27．（2017秋?霍邱县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系；
（2）求证：△ABC∽△BDC．
28．（2019?下城区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
29．（2019秋?长安区校级月考）如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6厘米，CD＝9厘米．求EF．
30．（2018秋?虹口区期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝12，求BE的长．
31．（2018秋?长春期中）探究：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB上，且＝．过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，求的值．
应用：如图②，在△ABC中，点D是BC上的点＝，点E在AB上，且＝，过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，则＝ ．
4.14.2参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?越秀区期末）已知a＝2b，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A．a+b＝3b B．a﹣c＝2b﹣c C．a＝b D．＝2
【解答】解：A、∵a＝2b，∴a+b＝3b，成立，不合题意；
B、∵a＝2b，∴a﹣c＝2b﹣c，成立，不合题意；
C、∵a＝2b，∴a＝b，成立，不合题意；
D、∵a＝2b，∴＝2（b≠0），原式不一定成立，符合题意．
故选：D．
2．（2020春?万州区期末）若＝＝，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣16 D．﹣
【解答】解：∵＝＝，
∴设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，
故原式＝
＝
＝﹣．
故选：B．
3．（2020春?芝罘区期中）在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．8km B．5km C．80km D．0.5km
【解答】解：设A、B两地的实际距离为xcm，
∵比例尺为1：200000，
∴4：x＝1：200000，
∴x＝800000，
800000cm＝8km．
故选：A．
4．（2020?临潭县校级模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
【解答】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
5．（2020春?常熟市期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC＝AC，
∵AC＝2，
∴BC＝﹣1．
故选：D．
6．（2019秋?沙坪坝区校级期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算2（﹣1）的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【解答】解：∵＜，
又∵2（﹣1）＝2﹣2，
∴4＜2＜5，
∴2＜2﹣2＜3，
∴2（﹣1）的值在2和3之间；
故选：B．
7．（2020?金昌）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
8．（2019秋?杨浦区校级月考）直线DE交△ABC中的AB于D点，交AC于E点，那么能推出DE∥BC的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．由不能得到对应线段成比例，即不能推出DE∥BC，不合题意；
B．由可得到对应线段成比例，即可推出DE∥BC，符合题意；
C．由不能得到对应线段成比例，即不能推出DE∥BC，不合题意；
D．由不能得到对应线段成比例，即不能推出DE∥BC，不合题意；
故选：B．
9．（2020?雨花区校级一模）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵a∥b∥c，
∴＝，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，
∴＝，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，
∴＝，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，
∴△ABH∽△ACF，
∴＝≠，本选项结论不正确，符合题意；
故选：D．
10．（2020春?芝罘区期中）已知a，b，c是非零实数，且，求k的值为（ ）
A． B． C．﹣1或 D．﹣1或
【解答】解：∵，
∴a＝（b+c）k，b＝（a+c）k，c＝（a+b）k，
∴a+b+c＝2（a+b+c）k，
∴①当a+b+c≠0时，k＝，
②当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），
k＝＝﹣1，
综上所述：k＝﹣1或．
故选：D．
11．（2019秋?抚州期末）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米
【解答】解：∵节目主持人应站在舞台的黄金分割处，
∴距前沿较近的距离 6×＝9﹣3≈2.3（米），
故选：D．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴＝＝，
∴的值为，
故选：A．
13．（2020?余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：∵ME∥CD，
∴＝，
∴＝．
故选：D．
14．（2019春?朝阳区校级月考）如图，直线L1∥L2∥L3，直线L1、L2、L3分别和直线m交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1．若AB＝6，AC＝9，A1B1＝8，则线段B1C1的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵直线L1∥L2∥L3，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝9，
∴BC＝3，
∴＝，
∴B1C1＝4，
故选：C．
15．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【解答】解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，
法一：∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又AD：DC＝1：2，
∴AD＝DG＝GC，
∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，
∴S△AOB：S△BOE＝2
设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，
∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，
∵AD：DC＝1：2，
∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四边形CDOE＝7S，
∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，
∴
法二：∵OG∥BC，O为BD中点，
∴DG＝CG，，
又∵AD：DC＝1：2，
∴，
∴BE：EC＝1：3．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
16．（2020?庐阳区校级一模）已知，则的值为 ．
【解答】解：∵，
∴7a﹣7b＝3b，
则7a＝10b，
则＝．
故答案为：．
17．（2020?淮安区一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 3.6 ．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
即＝，
∴DE＝3.6，
故答案为：3.6．
18．（2020春?吴中区期末）如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ 6 ．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝2，CB＝4，DE＝3，
∴＝，
解得：EF＝6，
故答案为：6．
19．（2019秋?海陵区期末）如图，E是?ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵E是?ABCD的BC边的中点，
∴＝＝＝＝，
∵△ABE和△ABF同高，
∴＝＝，
∴S△ABE＝S△ABF，
设?ABCD中，BC边上的高为h，
∵S△ABE＝×BE×h，S?ABCD＝BC×h＝2×BE×h，
∴S?ABCD＝4S△ABE＝4×S△ABF＝6S△ABF，
∵△ABF与△ADF等高，
∴＝＝2，
∴S△ADF＝2S△ABF，
∴S四边形ECDF＝S?ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF＝S△ABF，
∴＝，
故答案为：．
20．（2020?无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
21．（2018秋?灌云县期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） 7.6米 ．
【解答】解：根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，
∵黄金分割点有2个，
∴20﹣7.6＝12.4，
由于7.6＜12.4米
∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．
故答案为：7.6米．
22．（2018秋?姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 6 cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．
【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，
由题意得，＝0.618，
解得x＝6，
故答案为：6．
23．（2019?诸暨市模拟）如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若AB＝，则MN＝ ﹣2 ．
【解答】解：设MN＝x．由题意可知DE＝AB＝，
∵∠EDM＝∠ECD＝36°，∠END＝∠EDN＝72°，
∴DE＝EN，同理CD＝CM，
∴EM＝﹣x，EC＝EN+CM﹣MN＝﹣1﹣x，
∵∠DEM＝∠DEC，
∴△DEM∽△CED，
∴DE2＝EM?EC，
∴（）2＝（﹣x）（﹣1﹣x），
整理得x2﹣（﹣1）x+＝0，
∴[x﹣（﹣1）]2＝（﹣1）2，
∴x＝﹣2或（﹣1）不合题意舍弃，
∴MN＝﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共9小题）
24．（2018秋?霍邱县期末）已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a，b，c的值．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵2a+3b﹣2c＝15，
∴4k+9k﹣8k＝15，
解得k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12．
25．（2019秋?昭平县期中）已知：线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝，
∴＝；
（2）设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12，
∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9．
26．（2019?思明区校级模拟）如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC?AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac
∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），
∴c＝8．
∴a＝，b＝﹣2．
∴y＝x2﹣2x+8
＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴y有最小值为6．
答：y的最小值为6．
（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1﹣．
∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．
OA2＝（3+）2＝14+6．
OB?AB＝（1+ ）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB?AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．
27．（2017秋?霍邱县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系；
（2）求证：△ABC∽△BDC．
【解答】（1）解：AD2＝AC?CD，理由如下：
∵AB＝AC＝1，AD＝BC＝，
∴CD＝AC﹣AD
＝1﹣
＝，
∵AD2＝（）2＝，AC?CD＝，
∴AD2＝AC?CD；
（2）由（1）知AD2＝AC?CD，
∵AD＝BC，
∴BC2＝AC?CD，
∴＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
28．（2019?下城区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，AC＝12，
∴BC＝8，
∴OB＝2，
∴．
29．（2019秋?长安区校级月考）如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6厘米，CD＝9厘米．求EF．
【解答】解：在△ABC中，因为EF∥AB，
所以EF：AB＝CF：CB①，
同样，在△DBC中有EF：CD＝BF：CB②，
①+②得EF：AB+EF：CD＝CF：CB+BF：CB＝1③．
设EF＝x厘米，又已知AB＝6厘米，CD＝9厘米，代入③得
x：6+x：9＝1，
解得x＝．
故EF＝厘米．
30．（2018秋?虹口区期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝12，求BE的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴＝＝，
∴＝，
∵AC＝10，
∴AB＝4，
∴BC＝10﹣4＝6；
（2）如图所示：过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，
又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，
∴AD＝HE＝GF＝7，
∵CF＝12，
∴CG＝12﹣7＝5，
∵BE∥CF，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BE＝2+7＝9．
31．（2018秋?长春期中）探究：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB上，且＝．过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，求的值．
应用：如图②，在△ABC中，点D是BC上的点＝，点E在AB上，且＝，过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，则＝ ．
【解答】探究：解：∵DG∥BF，BD＝CD，
∴CG＝FG，
∴DG＝BF，
∵BF∥AG，
∴＝＝2，
∴AG＝2BF，
∴＝＝．
应用：解：∵DG∥BF，
∴＝＝，
∴DG＝
∵BF∥AG，
∴＝＝2，
∴AG＝2BF，
∴＝＝，
故答案为．
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4.1比例线段黄金分割+4.2平行线分线段成比例练习（含解析）
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?越秀区期末）已知a＝2b，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A．a+b＝3b B．a﹣c＝2b﹣c C．a＝b D．＝2
2．（2020春?万州区期末）若＝＝，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣16 D．﹣
3．（2020春?芝罘区期中）在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．8km B．5km C．80km D．0.5km
4．（2020?临潭县校级模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
5．（2020春?常熟市期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
6．（2019秋?沙坪坝区校级期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算2（﹣1）的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
7．（2020?金昌）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
8．（2019秋?杨浦区校级月考）直线DE交△ABC中的AB于D点，交AC于E点，那么能推出DE∥BC的条件是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020?雨花区校级一模）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020春?芝罘区期中）已知a，b，c是非零实数，且，求k的值为（ ）
A． B． C．﹣1或 D．﹣1或
11．（2019秋?抚州期末）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020?余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
14．（2019春?朝阳区校级月考）如图，直线L1∥L2∥L3，直线L1、L2、L3分别和直线m交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1．若AB＝6，AC＝9，A1B1＝8，则线段B1C1的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
二．填空题（共8小题）
16．（2020?庐阳区校级一模）已知，则的值为 ．
17．（2020?淮安区一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 ．
18．（2020春?吴中区期末）如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ ．
19．（2019秋?海陵区期末）如图，E是?ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
20．（2020?无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
21．（2018秋?灌云县期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．
22．（2018秋?姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．
23．（2019?诸暨市模拟）如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若AB＝，则MN＝ ．
三．解答题（共9小题）
24．（2018秋?霍邱县期末）已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a，b，c的值．
25．（2019秋?昭平县期中）已知：线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．
26．（2019?思明区校级模拟）如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC?AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
27．（2017秋?霍邱县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系；
（2）求证：△ABC∽△BDC．
28．（2019?下城区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
29．（2019秋?长安区校级月考）如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6厘米，CD＝9厘米．求EF．
30．（2018秋?虹口区期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝12，求BE的长．
31．（2018秋?长春期中）探究：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB上，且＝．过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，求的值．
应用：如图②，在△ABC中，点D是BC上的点＝，点E在AB上，且＝，过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，则＝ ．
4.14.2参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?越秀区期末）已知a＝2b，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A．a+b＝3b B．a﹣c＝2b﹣c C．a＝b D．＝2
【解答】解：A、∵a＝2b，∴a+b＝3b，成立，不合题意；
B、∵a＝2b，∴a﹣c＝2b﹣c，成立，不合题意；
C、∵a＝2b，∴a＝b，成立，不合题意；
D、∵a＝2b，∴＝2（b≠0），原式不一定成立，符合题意．
故选：D．
2．（2020春?万州区期末）若＝＝，则的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣16 D．﹣
【解答】解：∵＝＝，
∴设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，
故原式＝
＝
＝﹣．
故选：B．
3．（2020春?芝罘区期中）在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．8km B．5km C．80km D．0.5km
【解答】解：设A、B两地的实际距离为xcm，
∵比例尺为1：200000，
∴4：x＝1：200000，
∴x＝800000，
800000cm＝8km．
故选：A．
4．（2020?临潭县校级模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
【解答】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
5．（2020春?常熟市期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C．+1 D．﹣1
【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC＝AC，
∵AC＝2，
∴BC＝﹣1．
故选：D．
6．（2019秋?沙坪坝区校级期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算2（﹣1）的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【解答】解：∵＜，
又∵2（﹣1）＝2﹣2，
∴4＜2＜5，
∴2＜2﹣2＜3，
∴2（﹣1）的值在2和3之间；
故选：B．
7．（2020?金昌）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
8．（2019秋?杨浦区校级月考）直线DE交△ABC中的AB于D点，交AC于E点，那么能推出DE∥BC的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．由不能得到对应线段成比例，即不能推出DE∥BC，不合题意；
B．由可得到对应线段成比例，即可推出DE∥BC，符合题意；
C．由不能得到对应线段成比例，即不能推出DE∥BC，不合题意；
D．由不能得到对应线段成比例，即不能推出DE∥BC，不合题意；
故选：B．
9．（2020?雨花区校级一模）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵a∥b∥c，
∴＝，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，
∴＝，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，
∴＝，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，
∴△ABH∽△ACF，
∴＝≠，本选项结论不正确，符合题意；
故选：D．
10．（2020春?芝罘区期中）已知a，b，c是非零实数，且，求k的值为（ ）
A． B． C．﹣1或 D．﹣1或
【解答】解：∵，
∴a＝（b+c）k，b＝（a+c）k，c＝（a+b）k，
∴a+b+c＝2（a+b+c）k，
∴①当a+b+c≠0时，k＝，
②当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），
k＝＝﹣1，
综上所述：k＝﹣1或．
故选：D．
11．（2019秋?抚州期末）如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米
【解答】解：∵节目主持人应站在舞台的黄金分割处，
∴距前沿较近的距离 6×＝9﹣3≈2.3（米），
故选：D．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴＝＝，
∴的值为，
故选：A．
13．（2020?余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：∵ME∥CD，
∴＝，
∴＝．
故选：D．
14．（2019春?朝阳区校级月考）如图，直线L1∥L2∥L3，直线L1、L2、L3分别和直线m交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1．若AB＝6，AC＝9，A1B1＝8，则线段B1C1的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵直线L1∥L2∥L3，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝9，
∴BC＝3，
∴＝，
∴B1C1＝4，
故选：C．
15．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【解答】解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，
法一：∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又AD：DC＝1：2，
∴AD＝DG＝GC，
∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，
∴S△AOB：S△BOE＝2
设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，
∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，
∵AD：DC＝1：2，
∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四边形CDOE＝7S，
∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，
∴
法二：∵OG∥BC，O为BD中点，
∴DG＝CG，，
又∵AD：DC＝1：2，
∴，
∴BE：EC＝1：3．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
16．（2020?庐阳区校级一模）已知，则的值为 ．
【解答】解：∵，
∴7a﹣7b＝3b，
则7a＝10b，
则＝．
故答案为：．
17．（2020?淮安区一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 3.6 ．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
即＝，
∴DE＝3.6，
故答案为：3.6．
18．（2020春?吴中区期末）如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ 6 ．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝2，CB＝4，DE＝3，
∴＝，
解得：EF＝6，
故答案为：6．
19．（2019秋?海陵区期末）如图，E是?ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵E是?ABCD的BC边的中点，
∴＝＝＝＝，
∵△ABE和△ABF同高，
∴＝＝，
∴S△ABE＝S△ABF，
设?ABCD中，BC边上的高为h，
∵S△ABE＝×BE×h，S?ABCD＝BC×h＝2×BE×h，
∴S?ABCD＝4S△ABE＝4×S△ABF＝6S△ABF，
∵△ABF与△ADF等高，
∴＝＝2，
∴S△ADF＝2S△ABF，
∴S四边形ECDF＝S?ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF＝S△ABF，
∴＝，
故答案为：．
20．（2020?无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
21．（2018秋?灌云县期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） 7.6米 ．
【解答】解：根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，
∵黄金分割点有2个，
∴20﹣7.6＝12.4，
由于7.6＜12.4米
∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．
故答案为：7.6米．
22．（2018秋?姜堰区校级月考）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约 6 cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．
【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，
由题意得，＝0.618，
解得x＝6，
故答案为：6．
23．（2019?诸暨市模拟）如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若AB＝，则MN＝ ﹣2 ．
【解答】解：设MN＝x．由题意可知DE＝AB＝，
∵∠EDM＝∠ECD＝36°，∠END＝∠EDN＝72°，
∴DE＝EN，同理CD＝CM，
∴EM＝﹣x，EC＝EN+CM﹣MN＝﹣1﹣x，
∵∠DEM＝∠DEC，
∴△DEM∽△CED，
∴DE2＝EM?EC，
∴（）2＝（﹣x）（﹣1﹣x），
整理得x2﹣（﹣1）x+＝0，
∴[x﹣（﹣1）]2＝（﹣1）2，
∴x＝﹣2或（﹣1）不合题意舍弃，
∴MN＝﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共9小题）
24．（2018秋?霍邱县期末）已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a，b，c的值．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵2a+3b﹣2c＝15，
∴4k+9k﹣8k＝15，
解得k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12．
25．（2019秋?昭平县期中）已知：线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝，
∴＝；
（2）设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12，
∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9．
26．（2019?思明区校级模拟）如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC?AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac
∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），
∴c＝8．
∴a＝，b＝﹣2．
∴y＝x2﹣2x+8
＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴y有最小值为6．
答：y的最小值为6．
（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1﹣．
∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．
OA2＝（3+）2＝14+6．
OB?AB＝（1+ ）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB?AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．
27．（2017秋?霍邱县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系；
（2）求证：△ABC∽△BDC．
【解答】（1）解：AD2＝AC?CD，理由如下：
∵AB＝AC＝1，AD＝BC＝，
∴CD＝AC﹣AD
＝1﹣
＝，
∵AD2＝（）2＝，AC?CD＝，
∴AD2＝AC?CD；
（2）由（1）知AD2＝AC?CD，
∵AD＝BC，
∴BC2＝AC?CD，
∴＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
28．（2019?下城区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，AC＝12，
∴BC＝8，
∴OB＝2，
∴．
29．（2019秋?长安区校级月考）如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6厘米，CD＝9厘米．求EF．
【解答】解：在△ABC中，因为EF∥AB，
所以EF：AB＝CF：CB①，
同样，在△DBC中有EF：CD＝BF：CB②，
①+②得EF：AB+EF：CD＝CF：CB+BF：CB＝1③．
设EF＝x厘米，又已知AB＝6厘米，CD＝9厘米，代入③得
x：6+x：9＝1，
解得x＝．
故EF＝厘米．
30．（2018秋?虹口区期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝12，求BE的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴＝＝，
∴＝，
∵AC＝10，
∴AB＝4，
∴BC＝10﹣4＝6；
（2）如图所示：过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，
又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，
∴AD＝HE＝GF＝7，
∵CF＝12，
∴CG＝12﹣7＝5，
∵BE∥CF，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BE＝2+7＝9．
31．（2018秋?长春期中）探究：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB上，且＝．过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，求的值．
应用：如图②，在△ABC中，点D是BC上的点＝，点E在AB上，且＝，过点B作AD的平行线与CE的延长线交于点F，CF与AD交于点G，则＝ ．
【解答】探究：解：∵DG∥BF，BD＝CD，
∴CG＝FG，
∴DG＝BF，
∵BF∥AG，
∴＝＝2，
∴AG＝2BF，
∴＝＝．
应用：解：∵DG∥BF，
∴＝＝，
∴DG＝
∵BF∥AG，
∴＝＝2，
∴AG＝2BF，
∴＝＝，
故答案为．
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