4.3-4.4 两个三角形相似的判定培优精选试题（含解析）

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4.3—4.4相似的性质与判定
一．选择题（共16小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
2．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3
3．两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
4．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（　　）
A． B．2 C．4 D．16
5．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．12厘米
6．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（　　）
A．3 B． C．3或 D．4或
8．如图所示，△ABC∽△DEF，其相似比为k，则一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是（　　）
A．0.5 B．4 C．2 D．1
9．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B．若AD＝2，BD＝3，则AC等于
（　　）
A．5 B．6 C． D．
10．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC．若△ADC的面积为a，则△ABC的面积为（　　）
A．4a B．a C．a D．2a
11．如图，⊙O的半径为R，弦AB、CD相交于点H，若AH＝BH＝R，∠CHB＝45°，则CD与AB的数量关系为（　　）
A．CD：AB＝： B．CD：AB＝3：2 C．CD：AB＝：1 D．CD：AB＝：1
12．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG＝∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
14．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E使得CE＝BC，延长BC交以DE为直径的半圆O于点F，连结OF．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了一个重要的结论．现延长FO交AB于G，若AG＝BG，OF＝4，则CF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）
A．14 B．15 C．8 D．6
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则BF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
二．填空题（共10小题）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝　 　度．
18．两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是　 　．
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方，过点D作DF⊥AC于点F，连结CD，若△CFD与△AOC相似，则点D的坐标是　 　．
20．如图，已知面积为4的△ABC的边长分别为BC＝a，CA＝b，AB＝c，c＞b，AD是∠A的平分线，点C'是点C关于直线AD的对称点，若△C'BD与△ABC相似，则△ABC的周长的最小值为　 　．
21．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1；点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A2B2，四边形A2B2B1C1的面积记作S2…，按此规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2020＝　 　．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　 　．
23．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　 　．
24．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别相交于点G，H，则的值为　 　．
25．如图，等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AB中点，E、F分别是BC、AC上的点（且E不与B、C重合），且EF⊥CD．若CE＝nBE，则的值是　 　（用含n的式子表示）
26．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝　 　cm．
三．解答题（共13小题）
27．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．
（1）求证：AB＝GF；
（2）若GD═10，AD＝3，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，S△DCF＝7，求△ABC的面积．
28．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
29．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
30．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE＝CE＝，CD＝1，求DF的长．
31．如图，△ABC的面积为36cm2，边BC＝12cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．
32．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（2）若AB＝8，AD＝，AF＝，求AE的长．
33．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G是弧AD上一点，AG、CD的延长线交于点F，连接CG．
（1）求证：∠ACG＝∠F．
（2）如图2，AB与CG交于点P，若∠F＝45°，CP＝4，GP＝5，求⊙O的半径．
34．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，正方形DEFG的顶点D、G分别在边AC、BC上，EF在边AB上．
（1）点C到AB的距离为　 　．
（2）求DE的长．
35．锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，
（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；
（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．
36．如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．
37．如图1，△ABC内接于⊙O，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△CDA．
（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4，CE＝2，求AD和CD的长．
38．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
4.3--4.4相似的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：EC＝3；1，
∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝，
∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．
故选：B．
2．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3
【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；
当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，
故m+n＝5+2；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，
故m+n＝10+；
故选：A．
3．两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．
∴AH＝y+2a，BE＝x+a，
∵△ADH∽△BAE，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝a，y＝a，
∵∠AHD＝90°，
∴AD＝＝＝a，CD＝AD＝a，
∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比＝2a2：×a＝，
故选：D．
4．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（　　）
A． B．2 C．4 D．16
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即＝，
∵BC＝1，
∴EF＝2，
故选：B．
5．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．12厘米
【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得：＝，
解得：x＝8，
即另一个三角形的最短边的长为8cm．
故选：C．
6．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝6：5，
∴＝，α＝β，＝（）2＝，＝，
故选：D．
7．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（　　）
A．3 B． C．3或 D．4或
【解答】解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2，
∴∠A＝∠DCE，
∴＝或＝，
即＝或＝
解得，CE＝3或CE＝
故选：C．
8．如图所示，△ABC∽△DEF，其相似比为k，则一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是（　　）
A．0.5 B．4 C．2 D．1
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为k，
∴k＝＝＝＝＝，
∵一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，﹣2k），
∴一次函数y＝kx﹣2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：×2×2k＝2k＝1．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B．若AD＝2，BD＝3，则AC等于
（　　）
A．5 B．6 C． D．
【解答】解：在△ADC和△ACB中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB?AD，
∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5，
∴AC2＝5×2＝10，
∴AC＝，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC．若△ADC的面积为a，则△ABC的面积为（　　）
A．4a B．a C．a D．2a
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCA，∠BAC＝∠ADC．
∴△CAD∽△CBA，
∴CA：CD＝CB：CA，即3：CD＝6：3，
∴CD＝，
∵＝＝＝4，
∴S△ABC＝4a．
故选：A．
11．如图，⊙O的半径为R，弦AB、CD相交于点H，若AH＝BH＝R，∠CHB＝45°，则CD与AB的数量关系为（　　）
A．CD：AB＝： B．CD：AB＝3：2 C．CD：AB＝：1 D．CD：AB＝：1
【解答】解：连接OA、OB、OD，OA交CD于E，如图，
∵AH＝BH＝R，
∴AB＝R，
∵OA＝OB＝R，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，∠B＝45°，
∵∠CHB＝45°，
∴CD∥OB，
∴∠AEH＝∠AOB＝90°，
∴OA⊥CD，
∴DE＝CE，
∵EH∥OB，
∴＝＝1，
∴OE＝R，
在Rt△ODE中，DE＝＝R，
∴CD＝2DE＝R，
∴CD：AB＝R：R＝：．
故选：A．
12．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG＝∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠EAG＝∠CAB，∠AEG＝∠C，
∴△AEG∽△ACB，
∴＝＝＝，
∵AD平分∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠AEG＝∠C，
∴△AEF∽△ACD，
∴＝＝．
故选：B．
13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E使得CE＝BC，延长BC交以DE为直径的半圆O于点F，连结OF．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了一个重要的结论．现延长FO交AB于G，若AG＝BG，OF＝4，则CF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，
∵CE＝BC，
∴DE＝AB+BC，
∵OF＝4，
∴DE＝AB+BC＝2×4＝8，OE＝OF＝4，
设BC＝CE＝x，
∴AB＝8﹣x，
∵AG＝BG，
∴BG＝AB＝4﹣x，
∵OC∥BG，
∴△CFO∽△BFG，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝8﹣2x，
∵∠OCF＝90°，
∴OC2+CF2＝OF2，
∴（4﹣x）2+（8﹣2x）2＝42，
解得：x＝（不合题意舍去）或x＝，
∴CF＝，
故选：C．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）
A．14 B．15 C．8 D．6
【解答】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝90°
∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴＝＝＝，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴5a2＝100，
∴a＝2（负根已经舍弃），
∴AC＝2，BC＝4，
∵?AC?BC＝?AB?CJ，
∴CJ＝＝4，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ+JR＝14，
故选：A．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则BF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【解答】解：∵点E是BC中点，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，BO＝OD，
∴AD＝2BE，
设BF＝a，
∵OF＝1，
∴BO＝DO＝a+1，
则DF＝a+2，
由BC∥AD知△BEF∽△DAF，
∴＝＝，即＝，
解得a＝2，即BF＝2，
故选：A．
二．填空题（共10小题）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝　30　度．
【解答】解：由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
故答案为30．
18．两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是　16或1　．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的面积面积比为：1：4，
∵其中一个三角形的面积为4，
∴若小三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为16；
若大三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为1．
∴另一个三角形的面积为16或1．
故答案为：16或1．
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方，过点D作DF⊥AC于点F，连结CD，若△CFD与△AOC相似，则点D的坐标是　（﹣，）或（﹣3，2）　．
【解答】解：∠AOC＝∠DFC＝90°，
若∠DCF＝∠ACO时，△DCF∽△ACO，
如图1，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，
∵∠DCQ＝∠AOC，
∴∠DCF+∠ACQ＝90°，即∠ACO+∠ACQ＝90°，
而∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ACQ＝∠CAO，
∴QA＝QC，
设Q（m，0），则m+4＝，解得m＝﹣，
∴Q（﹣，0），
∵∠QCO+∠DCG＝90°，∠QCO+∠CQO＝90°，
∴∠DCG＝∠CQO，
∴Rt△DCG∽Rt△CQO，
∴＝，即＝＝＝，
设DG＝4t，CG＝3t，则D（﹣4t，3t+2），
把D（﹣4t，3t+2）代入y＝﹣x2﹣x+2得﹣8t2+6t+2＝3t+2，
整理得8t2﹣3t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴D（﹣，）；
当∠DCF＝∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，
∴点D的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝﹣x2﹣x+2得﹣x2﹣x+2＝2，解得x1＝﹣3，x2＝0（舍去），
∴D（﹣3，2），
综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．
故答案为：（﹣，）或（﹣3，2）．
20．如图，已知面积为4的△ABC的边长分别为BC＝a，CA＝b，AB＝c，c＞b，AD是∠A的平分线，点C'是点C关于直线AD的对称点，若△C'BD与△ABC相似，则△ABC的周长的最小值为　4+4　．
【解答】解：△BDC′与△BCA相似有两种情况，
当△BDC′∽△BCA时，DC′∥AC，
设∠DAC＝α，则∠BAC＝∠BC′D＝2α，
∴∠C′DA＝α，
∴C′D＝C′A，
由轴对称的性质可知，AC′＝AC，
∴C′D＝AC，不成立，
当△BDC′∽△BAC时，∠BC′D＝∠C，又∠DC′A＝∠C
∴∠BC′D＝∠C＝90°，
在面积为4的直角三角形ABC中，ab＝4，即ab＝8，
当等腰直角三角形周长最小，
证法如下：a+b+c＝a+b+＝a+b+＝a+b+，
∵a+b≥2，即a+b≥4，
当a＝b＝2时，a+b取最小值，
∴a+b+c≥4+4
则△ABC的周长的最小值为4+4，
故答案为：4+4．
21．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1；点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A2B2，四边形A2B2B1C1的面积记作S2…，按此规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2020＝　　．
【解答】解：∵A1C1，A1B1是△ABC的中位线，
∴A1C1＝BC，A1C1∥BC．
∴△A1C1B1∽△ABC，
∴S＝S△ABC＝a．
同理S＝S△ABC＝a．
∴S1＝a﹣a﹣a＝a；
同理可得，S2＝；
…
∴Sn＝；
∴S2020＝．
故答案是：．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　　．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
故答案为．
23．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　18　．
【解答】解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案为18．
24．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别相交于点G，H，则的值为　　．
【解答】解：如图，延长DE交CB的延长线于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CT，
∴∠ADE＝∠T，
∵∠AED＝∠BET，AE＝EB，
∴△AED≌△BET（AAS），
∴AD＝BT＝BC，设CF＝m，则BF＝2m，AD＝BT＝BC＝3m，TF＝5m，
∵AD∥TF，
∴＝＝＝，
∴AG＝AF，
∵AD∥BF，
∴＝＝，
∴FH＝AF，设AF＝a，则AG＝a，FH＝a，
∴GH＝a﹣a﹣a＝a，
∴＝，
故答案为．
25．如图，等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AB中点，E、F分别是BC、AC上的点（且E不与B、C重合），且EF⊥CD．若CE＝nBE，则的值是　　（用含n的式子表示）
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H
∵CE＝nBE
∴设BE＝1，则CE＝n
∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AB中点，
∴AB＝BC＝n+1，BD＝AD＝，AC＝（n+1）
∵EF⊥CD，∠B＝90°
∴tan∠DCB＝＝＝
∴EG＝，GC＝，CD＝
∵DH⊥AC，∠A＝45°
∴DH＝AH＝＝
∴CH＝（n+1）﹣
∵∠CHD＝∠CGF＝90°，∠DCH＝∠FCG
∴△CHD∽△CGF
∴＝
∴＝
解得：CF＝
∴AF＝（n+1）﹣
∴＝＝
故答案为：．
26．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝　2或3　cm．
【解答】解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm
以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当AD：PB＝PA：BC时，
＝，
解得x＝2或3．
②当AD：BC＝PA：PB时，＝，解得x＝3，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．
故答案为2或3．
三．解答题（共13小题）
27．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．
（1）求证：AB＝GF；
（2）若GD═10，AD＝3，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，S△DCF＝7，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵GD∥BA，
∴∠BAE＝∠G，
在△ABE和△GFE中，
∵，
∴△ABE≌△GFE（AAS），
∴AB＝GF；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵GD∥BA，
∴∠B＝∠DFC，
∴∠C＝∠DFC，
∴DF＝DC，
设DC＝x，则AB＝AC＝3+x，
∵DG＝10，
∴FG+DF＝AB+DC＝10，即3+x+x＝10，
∴x＝，
∴DC＝；
（3）解：连接AF，
∵S△ADF：S△CDF＝AD：DC，
∵S△DCF＝7，AD＝3，CD＝，
∴S△ADF：7＝3：，
∴S△ADF＝6，
同理得：S△ADF：S△AFG＝DF：FG，
即6：S△AFG＝：，
∴S△AFG＝，
由（1）知：△ABE≌△GFE，
∴S△ABF＝S△AFG＝，
∴S△ABC＝+6+7＝．
28．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE＝＝＝3，
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，
∴DF＝．
29．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【解答】解：（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的，
＝，
解得：x1＝x2＝4，
答：经过4秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，
因为∠C＝∠C，
所以分为两种情况：①＝，
＝，
解得：t＝；
②＝，
＝，
解得：t＝；
答：经过秒或秒时，△PCQ与△ABC相似．
30．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE＝CE＝，CD＝1，求DF的长．
【解答】（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC．
（2）证明：∵△ADB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（3）解：过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE＝EC＝，∠BEC＝90°，
∴BC＝BE＝，
∵∠BDC＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
∵∠EFD＝∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF＝∠BCF＝45°，
∵∠NED＝90°，
∴∠END＝∠EDN＝45°，
∴EN＝ED，
∵∠BEC＝∠NED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
∵BE＝CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，
∵EN＝ED，EM⊥DN，
∴MN＝DM＝1，
∴EM＝MN＝MD＝1，
∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF＝DF，
∴DF＝．
31．如图，△ABC的面积为36cm2，边BC＝12cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．
【解答】解：作AH⊥BC于H，交DG于Q，如图，
易得四边形DEHQ为矩形，
∴QH＝DE，
∵△ABC的面积为36cm2，
∴AH?BC＝36，
∴AH＝＝6，
设DE＝x，则QH＝x，DG＝EF＝2x，AQ＝AH﹣QH＝6﹣x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝3，
∴DG＝2x＝6，
即DG的长为6cm．
32．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（2）若AB＝8，AD＝，AF＝，求AE的长．
【解答】解：（1）△ADF∽△DEC，
理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∵∠ADF＝∠DEC，∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
由（1）可知△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
解得，DE＝12，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝6．
33．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G是弧AD上一点，AG、CD的延长线交于点F，连接CG．
（1）求证：∠ACG＝∠F．
（2）如图2，AB与CG交于点P，若∠F＝45°，CP＝4，GP＝5，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接BG，如图1，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴∠AGB＝∠AEF＝90°，
∴∠BAG+∠B＝∠EAF+∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
∵∠ACG＝∠B，
∴∠ACG＝∠F；
（2）解：连接OG、OC，如图2，
∵∠F＝45°，
∴∠ACG＝∠F＝45°，
∴∠AOG＝2∠ACG＝90°，
∴OG∥CF，
∴△OPG∽△EPC，
∴＝＝＝，
∴设CE＝4m，则OG＝5m，
∵OC＝OG＝5m，
∴OE＝＝＝3m，
∴PE＝OE＝m，
在Rt△PCE中，CP2＝PE2+CE2，
∴16＝m2+16m2，
解得m＝，
∴OG＝5m＝，
∴⊙O的半径为．
34．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，正方形DEFG的顶点D、G分别在边AC、BC上，EF在边AB上．
（1）点C到AB的距离为　　．
（2）求DE的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝8，
由三角形面积相等，
可得点C到AB的距离为＝，
故答案为；
（2）如图，过点C作CM⊥AB于点M，交DG于点N，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG∥AB，
∴MN＝DE，CN⊥DG，
∴△CDG∽△CAB，
∴＝，
设DE＝DG＝x，则＝，
解得x＝，
∴DE的长．
35．锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，
（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；
（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．
【解答】解：（1）∵BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，
∴，
∴AD＝4，
设AD交MN于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，解得x＝，
∴当PQ恰好落在边BC上时，x＝．
（2）①当PQ在△ABC的内部时，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积即为正方形MPQN的面积，
∴，
解得，
②当PQ在△ABC的外部时，如图3，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，
设HD＝a，则AH＝4﹣a，
由得，解得a＝，
∴矩形MEFN的面积为MN＝﹣（2.4＜x≤6）．
即，
解得x1＝4，x2＝2（舍去），
综上：正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，x为或4．
36．如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．
【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ，
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP，
∴
设CQ＝y，BP＝x（0＜x＜12），则CP＝12﹣x，
∵AE＝AB，
∴BE＝9
∴，
化简得y＝﹣（x2﹣12x）＝﹣（x﹣6）2+4，
∴当x＝6时，y有最大值为4．即当BP＝6时，CQ的最大值．
37．如图1，△ABC内接于⊙O，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△CDA．
（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4，CE＝2，求AD和CD的长．
【解答】解：（1）∵点D是的中点，
∴
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠CDA
∴△ADE∽△CDA
（2）连结BD，
∵点D时的中点，
∴AD＝BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
由（1）得△ADE∽△CDA，
∴，即AD2＝CD?ED，
∴，
∴CD2﹣2CD﹣48＝0，解得CD＝8或﹣6．
∴CD＝8．
38．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：；
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