3.7 正多边形同步练习(含解析）
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初中数学浙教版九年级上册3.7正多边形 同步练习
一、单选题
1.若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（??? ）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?6
2.⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?2
3.如图，四边形 是⊙ 的内接正方形，点 是劣弧 上任意一点（与点 不重合），则 的度数为（?? ）
A.?30°????????????????????????????????????B.?45°????????????????????????????????????C.?60°????????????????????????????????????D.?无法确定
4.将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n ， 则下列结论中一定正确的是（? ???）
A.?∠1=∠2+36°???????????????????B.?∠1=∠2+72°???????????????????C.?∠1+∠2=90°???????????????????D.?2∠1+∠2=180°
5.如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
6.一个圆的内接正六边形的边长为 2，则该圆的内接正方形的边长为（ ）
A.???????????????????????????????????????B.?2 ??????????????????????????????????????C.?2 ??????????????????????????????????????D.?4
7.如图，已知直线 是正五边形 的对称轴，且直线 过点 则 的度数为(?????? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?不确定
8.如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG＝46°，则∠FAE的度数是（ ）
A.?26°．???????????????????????????????????B.?44°．???????????????????????????????????C.?46°．???????????????????????????????????D.?72°
9.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?50°
10.用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 的值为（? ?）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=________．
12.边长为4的正六边形内接于 ，则 的半径是________．
13.正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n=________．
14.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=________°.
15.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________.
16.如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是________.
三、解答题
17.一个正多边形的一个外角的度数等于它的一个内角度数的 ，求这个正多边形的边数
18.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ；
（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 .
19.如图，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题：
……
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 ……
的度数 ________ ________ ________ ________ …… ________
（2）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
（3）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
20.如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是________，图10－3中∠BPN的度数是________。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：正多边形和圆
解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数= =8，
∴这个正多边形的边数是8．
故答案为：C．
分析：根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
2. A
考点：正多边形和圆
解：如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长，
∵∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=2，
故答案为：A.
分析：如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题.
3. B
考点：圆周角定理，正多边形和圆
解：连接OB,OC，
∵ 四边形 是⊙ 的内接正方形 ，
∴∠BOC==90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°；
故答案为:? B.
分析：根据正多边形的性质得出正方形ABCD的中心角∠BOC==90°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BPC的度数。
4. A
考点：平行线的性质，正多边形和圆
解：∵∠1+180°-∠3+108°+108°=360°，∠4+∠5=108°，∴∠3=∠1+36°，
过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，
∴∠2=∠5，∠3+∠4=180°，
∴∠3-∠2=72°，
∴∠1=∠2+36°.
故答案为：A.
分析：利用四边形内角和及正五边形的性质，可得∠4+∠5=108°，∠3=∠1+36°，过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，可得∠2=∠5，∠3+∠4=180°，据此可得∠1=∠2+36°.
5. C
考点：正多边形和圆
解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB?OG＝ ×2× ＝ cm2 ，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
分析：根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
6. B
考点：正多边形和圆
解：∵圆内接正六边形的边长是2，
∴圆的半径为2.
那么直径为4.
圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于4.
∴圆的内接正方形的边长是2 .
故答案为：B.
分析：圆内接正六边形的边长是2，即圆的半径是2，则圆的内接正方形的对角线长是4，进而就可求解.
7. C
考点：正多边形和圆，轴对称的性质
解：
∵正五边形ABCDE的每个内角为108°，
∴∠BCD=108°，
∵CB=CD，
∴∠BDC=36°，
∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴，
∴∠FCD=36°，
∴∠1=36°+36°=72°，
故答案为：C.
分析：先根据∠BCD=108°，CB=CD，得出∠BDC=36°，再根据直线m是正五边形ABCDE的对称轴，可得∠FCD=36°，进而得到∠1的度数．
8. A
考点：平行线的性质，正多边形和圆
解：∵图中是正五边形．
∴∠EAB＝108°．
∵太阳光线互相平行，∠ABG＝46°，
∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°．
故答案为：A．
分析：先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
9. C
考点：正多边形和圆
解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故答案为：C
分析：根据正八边形的性质可求出各内角以及判断出各边相等，从而可判断出四边形ACEG为正方形，故可求出∠EAG。
10. C
考点：多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺）
解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + + =360，两边都除以180得：1﹣ +1﹣ +1﹣ =2，两边都除以2得： + + = .
故答案为：C.
分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
二、填空题
11. 12
考点：多边形内角与外角
解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
分析：先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
12. 4
考点：正多边形和圆
解：∵正六边形的中心角为：360°÷6=60 °，
∴ 正六边形的外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，
∵边长为4的正六边形内接于⊙M
∴ ⊙M 半径为4.
故答案为：4.
分析：根据正六边形外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，由此即可求得答案.
13. 12
考点：正多边形和圆
解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12．
故答案为：12．
分析：根据正多边形的性质，由已知正n边形的边长与半径的夹角为75°， 就可求出这个多边形的一个内角的度数为150°，再根据=150°，解方程求出n的值。
14. 36
考点：正多边形和圆
解：如图连接OC、OD，
根据正五边形的性质可得∠COD=360÷5=72°，则∠CAD= ∠COD=36°.
故填36.
分析：连接OC、OD，根据正多边形的性质和圆周角定理即可求解.
15. 48°
考点：正多边形和圆
解：连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB= =72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM= =120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
分析：连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
16. 6 ﹣π
考点：正多边形和圆
解：如图
连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，
∵正六边形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=2，AC=BC=1
∴
∴6个月牙形的面积之和=3π-（22π-6× ×2× ）=6 -π，
故答案为：6 -π.
分析：连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，利用正六边形的性质，易证△AOB是等边三角形，就可求出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理求出OC的长；然后根据6个月牙形的面积=半径为1的三个圆的面积-（半径为2的圆的面积-正六边形的面积），列式计算可求解。
三、解答题
17. 根据题意可知，三角形外角的度数的和为360°，
∴正多边形的内角和=360°×3=1080°
∴由正多边形的内角和公式，180°（n-2）=1080°
∴n=8
考点：多边形内角与外角
分析：根据多边形外角的性质计算得到多边形的内角和，根据多边形的内角和的计算公式计算得到正多边形的边即可。
18. （1）解：设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 即为所求．
（2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形 即为所求．
考点：正方形的性质，正多边形和圆，正多边形的性质
分析：（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
19. （1）；；；；
（2）存在一个正 边形，使其中的
理由是：根据题意得： ，解得： ，
即当多边形是正九边形，能使其中的 ；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 边形使得 ，得 ，
解得： ，与 是正整数矛盾，
所以不存在正 边形使得 .
考点：多边形内角与外角，正多边形和圆
解：(1)填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
的度数
……
， ， ， ， ；(可以观察归纳出来，也可以计算出来).
分析：（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°= ，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°= ，求出n的值是否为正整数即可.
20. （1）图1:∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°
；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
考点：正多边形和圆
解析：（2）在图②中，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴弧BM=弧CN，
∴∠BAM=∠CBN.
又∵∠APN=∠ABN+∠BAM，
∴∠APN=∠ABN+∠CBN，即∠APN=∠ABC。
∵ABCD是正四边形，
∴∠ABC=90°，
∴∠APN=90°.
同理可得：在图③中，∠BPN=108°；
故答案为：90°，108°
分析：（1）根据△ABC为等边三角形，可知∠ABC=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAM=∠CBN；再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数。
（2）根据（1）的方法可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠BPN的度数和∠ABC的度数相等。
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论。
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初中数学浙教版九年级上册3.7正多边形 同步练习
一、单选题
1.若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（??? ）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?6
2.⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?2
3.如图，四边形 是⊙ 的内接正方形，点 是劣弧 上任意一点（与点 不重合），则 的度数为（?? ）
A.?30°????????????????????????????????????B.?45°????????????????????????????????????C.?60°????????????????????????????????????D.?无法确定
4.将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n ， 则下列结论中一定正确的是（? ???）
A.?∠1=∠2+36°???????????????????B.?∠1=∠2+72°???????????????????C.?∠1+∠2=90°???????????????????D.?2∠1+∠2=180°
5.如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
6.一个圆的内接正六边形的边长为 2，则该圆的内接正方形的边长为（ ）
A.???????????????????????????????????????B.?2 ??????????????????????????????????????C.?2 ??????????????????????????????????????D.?4
7.如图，已知直线 是正五边形 的对称轴，且直线 过点 则 的度数为(?????? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?不确定
8.如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG＝46°，则∠FAE的度数是（ ）
A.?26°．???????????????????????????????????B.?44°．???????????????????????????????????C.?46°．???????????????????????????????????D.?72°
9.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（?? ）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?50°
10.用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 的值为（? ?）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
11.正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=________．
12.边长为4的正六边形内接于 ，则 的半径是________．
13.正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n=________．
14.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=________°.
15.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________.
16.如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是________.
三、解答题
17.一个正多边形的一个外角的度数等于它的一个内角度数的 ，求这个正多边形的边数
18.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ；
（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 .
19.如图，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题：
……
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 ……
的度数 ________ ________ ________ ________ …… ________
（2）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
（3）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
20.如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是________，图10－3中∠BPN的度数是________。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：正多边形和圆
解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数= =8，
∴这个正多边形的边数是8．
故答案为：C．
分析：根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
2. A
考点：正多边形和圆
解：如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长，
∵∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=2，
故答案为：A.
分析：如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题.
3. B
考点：圆周角定理，正多边形和圆
解：连接OB,OC，
∵ 四边形 是⊙ 的内接正方形 ，
∴∠BOC==90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°；
故答案为:? B.
分析：根据正多边形的性质得出正方形ABCD的中心角∠BOC==90°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BPC的度数。
4. A
考点：平行线的性质，正多边形和圆
解：∵∠1+180°-∠3+108°+108°=360°，∠4+∠5=108°，∴∠3=∠1+36°，
过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，
∴∠2=∠5，∠3+∠4=180°，
∴∠3-∠2=72°，
∴∠1=∠2+36°.
故答案为：A.
分析：利用四边形内角和及正五边形的性质，可得∠4+∠5=108°，∠3=∠1+36°，过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，可得∠2=∠5，∠3+∠4=180°，据此可得∠1=∠2+36°.
5. C
考点：正多边形和圆
解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB?OG＝ ×2× ＝ cm2 ，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
分析：根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
6. B
考点：正多边形和圆
解：∵圆内接正六边形的边长是2，
∴圆的半径为2.
那么直径为4.
圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于4.
∴圆的内接正方形的边长是2 .
故答案为：B.
分析：圆内接正六边形的边长是2，即圆的半径是2，则圆的内接正方形的对角线长是4，进而就可求解.
7. C
考点：正多边形和圆，轴对称的性质
解：
∵正五边形ABCDE的每个内角为108°，
∴∠BCD=108°，
∵CB=CD，
∴∠BDC=36°，
∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴，
∴∠FCD=36°，
∴∠1=36°+36°=72°，
故答案为：C.
分析：先根据∠BCD=108°，CB=CD，得出∠BDC=36°，再根据直线m是正五边形ABCDE的对称轴，可得∠FCD=36°，进而得到∠1的度数．
8. A
考点：平行线的性质，正多边形和圆
解：∵图中是正五边形．
∴∠EAB＝108°．
∵太阳光线互相平行，∠ABG＝46°，
∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°．
故答案为：A．
分析：先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
9. C
考点：正多边形和圆
解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故答案为：C
分析：根据正八边形的性质可求出各内角以及判断出各边相等，从而可判断出四边形ACEG为正方形，故可求出∠EAG。
10. C
考点：多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺）
解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + + =360，两边都除以180得：1﹣ +1﹣ +1﹣ =2，两边都除以2得： + + = .
故答案为：C.
分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
二、填空题
11. 12
考点：多边形内角与外角
解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
分析：先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
12. 4
考点：正多边形和圆
解：∵正六边形的中心角为：360°÷6=60 °，
∴ 正六边形的外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，
∵边长为4的正六边形内接于⊙M
∴ ⊙M 半径为4.
故答案为：4.
分析：根据正六边形外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，由此即可求得答案.
13. 12
考点：正多边形和圆
解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12．
故答案为：12．
分析：根据正多边形的性质，由已知正n边形的边长与半径的夹角为75°， 就可求出这个多边形的一个内角的度数为150°，再根据=150°，解方程求出n的值。
14. 36
考点：正多边形和圆
解：如图连接OC、OD，
根据正五边形的性质可得∠COD=360÷5=72°，则∠CAD= ∠COD=36°.
故填36.
分析：连接OC、OD，根据正多边形的性质和圆周角定理即可求解.
15. 48°
考点：正多边形和圆
解：连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB= =72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM= =120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
分析：连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
16. 6 ﹣π
考点：正多边形和圆
解：如图
连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，
∵正六边形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=2，AC=BC=1
∴
∴6个月牙形的面积之和=3π-（22π-6× ×2× ）=6 -π，
故答案为：6 -π.
分析：连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，利用正六边形的性质，易证△AOB是等边三角形，就可求出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理求出OC的长；然后根据6个月牙形的面积=半径为1的三个圆的面积-（半径为2的圆的面积-正六边形的面积），列式计算可求解。
三、解答题
17. 根据题意可知，三角形外角的度数的和为360°，
∴正多边形的内角和=360°×3=1080°
∴由正多边形的内角和公式，180°（n-2）=1080°
∴n=8
考点：多边形内角与外角
分析：根据多边形外角的性质计算得到多边形的内角和，根据多边形的内角和的计算公式计算得到正多边形的边即可。
18. （1）解：设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 即为所求．
（2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形 即为所求．
考点：正方形的性质，正多边形和圆，正多边形的性质
分析：（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
19. （1）；；；；
（2）存在一个正 边形，使其中的
理由是：根据题意得： ，解得： ，
即当多边形是正九边形，能使其中的 ；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 边形使得 ，得 ，
解得： ，与 是正整数矛盾，
所以不存在正 边形使得 .
考点：多边形内角与外角，正多边形和圆
解：(1)填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
的度数
……
， ， ， ， ；(可以观察归纳出来，也可以计算出来).
分析：（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°= ，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°= ，求出n的值是否为正整数即可.
20. （1）图1:∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°
；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
考点：正多边形和圆
解析：（2）在图②中，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴弧BM=弧CN，
∴∠BAM=∠CBN.
又∵∠APN=∠ABN+∠BAM，
∴∠APN=∠ABN+∠CBN，即∠APN=∠ABC。
∵ABCD是正四边形，
∴∠ABC=90°，
∴∠APN=90°.
同理可得：在图③中，∠BPN=108°；
故答案为：90°，108°
分析：（1）根据△ABC为等边三角形，可知∠ABC=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAM=∠CBN；再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数。
（2）根据（1）的方法可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠BPN的度数和∠ABC的度数相等。
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论。
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