第3章 圆的基本性质单元检测（基础篇含解析）

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初中数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测（基础篇）
一、单选题
1.下列说法错误的是（　　）
A.?等弧所对的圆心角相等???????????????????????????????????????B.?弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C.?经过三点可以作一个圆???????????????????????????????????????D.?三角形的外心到三角形各顶点距离相等
2.过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（?? ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A.?①②????????????????????????????????????B.?①②③????????????????????????????????????C.?②③????????????????????????????????????D.?①③
3.如图，在新型俄罗斯方块游戏中(出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转;向左、向右平移),已拼好的图案如图3所示，现又出现-一个形如“”的方块正向下运动,你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形(?? ).
A.?顺时针旋转90°,向右平移?????????????????????????????????????B.?逆时针旋转90°,向右平移
C.?顺时针旋转90°,向左平移?????????????????????????????????????D.?逆时针旋转90°,向左平移
4.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和?? 的长分别为（?? ）
A.?2， ??????????????????????????B.?2 ?，π??????????????????????????C.?， ??????????????????????????D.?2 ，
5.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=10寸，求直径CD的长。”则CD为(??? )

A.?10寸?????????????????????????????????????B.?3寸?????????????????????????????????????C.?20寸?????????????????????????????????????D.?26寸
6.如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB、CD、EF，则以下结论正确的是（?? ）
A.?2∠AOB＝∠AEB??????????????????????????????????????????????????B.?＝ ＝
C.?＝ ＝ ??????????????????????????????????????????????D.?点O是三角形三条中线的交点
7.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径， ，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（?? ）度.
A.?74???????????????????????????????????????B.?106???????????????????????????????????????C.?117???????????????????????????????????????D.?127
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=140°，则∠BCD等于（??? ）

A.?140°?????????????????????????????????????B.?110°?????????????????????????????????????C.?70°?????????????????????????????????????D.?20°
9.如图， 中， ， ， ， 分别为边 的中点，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，则整个旋转过程中线段 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（??? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
10.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连结BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ??）

A.??cm????????????????????????????????B.?cm????????????????????????????????C.?2．5cm????????????????????????????????D.?3cm
二、填空题
11.在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AC＝2 ， BC＝4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与⊙C的位置关系为________．
12.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM=3，则弦AB的长是??? ________

13.如图，四边形 为 的内接四边形，若四边形 为平行四边形，则 ________．
14.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．

15.某扇形的面积为 ，圆心角为120°，则该扇形的半径是________ ．
16.如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是________cm.
三、综合题
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）以AB边上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A，C；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断点B与⊙O的位置关系是________.（直接写出答案）
18.如图,在⊙O中, ,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD＝BE.
19.正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：

（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
20.如图，已知正△ABC，

（1）请用直尺与圆规作正△ABC的外接圆 ，并保留作图痕迹；
（2）若点P是正△ABC的外接圆上的一点(不与点B，C重合)，求∠BPC的度数．
21.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出相应的△AB1C1；
（2）将△AB1C1沿射线AA1平移到△A1B2C2处，画出△A1B2C2；
（3）点C在两次变换过程中所经过的路径长为________.
22.如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC于点H，点D在优弧BC上

（1）若∠AOB=50°，求∠ADC的度数；
（2）若BC=8，AH=2，求⊙O的半径.
23.如图，已知A、B、C是⊙O上三点，其中 ，过点B画BD⊥OC于点D.
（1）求证:AB＝2BD；
（2）若AB＝ ，CD＝1，求图中阴影部分的面积.
24.如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面积之和.(保留 与根号) .
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：圆心角、弧、弦的关系，确定圆的条件，三角形的外接圆与外心
解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；
B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；
C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；
D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；
故答案为：C.
分析：根据同弧或等弧所对的圆心角相等，弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数；经过不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形三边垂直平分线的交点就是该三角形外接圆的圆心，该点到三角形三个顶点的距离相等，从而即可一一判断得出答案.
2. C
考点：确定圆的条件
解：经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故答案为：C.
分析：根据经过不在同一直线上的三点可以确定圆可求解。
3. A
考点：生活中的平移现象，生活中的旋转现象
解：由图可知，将又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案空格处.
故选:A.
分析：如图，在俄罗斯方块中，要使自动消失，要把每行排满，需要利用旋转和平移，通过观察图形即可解答.
4. D
考点：正多边形和圆，弧长的计算
解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2 ， ，
故答案为：D.
分析：连接OB，根据正多边形与圆的关系得出BC的长，再根据垂径定理得出BM的长，进而根据勾股定理算出OM的长，最后再根据弧长的计算公式算出弧BC的长.
5. D
考点：垂径定理的应用
解：连接OA，

∵CD为⊙O的直径，AB⊥DC，
∴AE=AB=5，
设圆的半径为r，则OE=r-1
∴OE2+AE2=OA2
∴（r-1）2+52=r2
解之：r=13.
∴圆的直径为13×2=26.
故答案为：D.
分析：连接OA，利用垂径定理求出AE的长，设圆的半径为r，用含r的代数式表示出OE的长，然后利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后求出圆的半径。
6. B
考点：圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形的外接圆与外心
解：∵∠AOB与∠AEB是 所对的圆心角和圆周角，
∴ ，故A错误；
∵在同圆中，弦AB=CD=EF，则 ＝ ＝ ，故B正确；
无法证明 ＝ ＝ ，故C错误；
∵三角形不是圆的内接三角形，则点O不是三角形中线的交点，故D错误；
故答案为：B.
分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及在同圆中，相等的弦所对的弧相等即可一一判断得出答案.
7. D
考点：等腰三角形的性质，圆周角定理
解：连接OB，
∵OA=OB，∠BAO=37°，
∴∠AOB=180°-2×37°=106°，
∵ ，
∴∠AOC=∠BOC= ＝127°，
故答案为：D.
分析：连接OB，进而得出∠AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AOC的度数.
8. B
考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质
解：∠BOD=140° ，
∴；
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：B.
分析：利用圆周角定理求出∠A的度数，再利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠BCD的度数。
9. C
考点：勾股定理，扇形面积的计算，旋转的性质
解：连接BH，BH1 ，
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1 ，
利用勾股定理可求得BH= ，
所以利用扇形面积公式可得 . ．
故答案为：C．
分析：连接BH，BH1 ， 根据旋转的性质可得△OBH≌△O1BH1 ， 利用勾股定理求出BH的长，根据扇形的面积公式即可求出结论.
10. A
考点：勾股定理，垂径定理
解：如图，

∵BD⊥AO
∴BE=BD=4，AB=，
∵OF⊥BC，∴F为BC的中点，
∵O为AC的中点，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF=AB==.
故答案为：A.
分析：连接AB，由垂径定理得BE的长，利用勾股定理求出AB的长，现知O、F分别为AC和BC的中点，则OF是△ABC的中位线，从而得出OF的长.
二、填空题
11. 点E在⊙C外
考点：点与圆的位置关系
解：由勾股定理可得斜边AB是 2 ，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，CE= ，因为AC=2， >2，所以点E在⊙C外．
分析：由勾股定理可得斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE的值，与半径AC 的长比较大小，根据点与圆的位置关系即可判断 中点E与⊙C的位置关系为点E在⊙C外。
12. 8
考点：垂径定理
解：如图，连接OA，


∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
∴AB=2AM，
在Rt△AMO中，AM，
∴AB=8.
故答案为：8.
分析：根据垂径定理得出AB=2AM，再根据勾股定理算出AM的长度即可解决问题.
13. 30°
考点：平行四边形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
由圆周角定理得，∠ADC= ∠AOC，
∴∠ADC+2∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∵OA=OC，
∴平行四边形ABCO为菱形，
∴BA=BC，
∴ ，
∴∠ADB= ∠ADC=30°，
故答案是：30°．
分析：根据圆内接三角形的性质得到∠ADC+∠ABC=180°，根据平行四边形的性质的∠AOC=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC= ∠AOC，计算即可．
14.
考点：正多边形和圆
解：连接OC、OD、OE、OG，作OI⊥EG，
∵正方形ABCD，∴∠COD=90°，
∴OC2+OD2=CD2 ，
∴2OC2=42 ， OC= ，
又等边△EFG，∴∠EOG=120°，
∵OI⊥EG，∴∠OIG=90°，∠IOG=60°，
∴OGI=30°，OI= OG= ，
∴IG= = ，
∴EG=2IG= 。

故答案为： 。
分析：由正方形的中心角是90°结合勾股定理可求出⊙O的半径，再根据正三角形的中心角，利用垂径定理结合勾股定理即可求出EG长，即正三角形的边长。
15.
考点：扇形面积的计算
解：设该扇形的半径是rcm ，
则 ，
解得： ，
故答案为： ．
分析：设该扇形的半径是rcm ， 再根据扇形的面积公式即可得出结论．
16. 5
考点：勾股定理，垂径定理
解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD=4cm．
设半径为Rcm，则R2=42+（R-2）2 ，
解得R=5，
∴该光盘的半径是5cm．
故答案为5
分析：本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
三、综合题
17. （1）解：如图，⊙O即为所求.
（2）点B在⊙O上
考点：点与圆的位置关系，作图—复杂作图
解：（2）点B在⊙O上.
理由：∵EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠B＝90°，∠OCA+∠BCO＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∴点B在⊙O上.
故答案为点B在⊙O上.
分析：（1）作线段AC的垂直平分线EF交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求.（2）根据OA＝OC＝OB即可判断.
18. 解：连接OC，
∵ ，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵ ，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE
考点：全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系
分析： 连接OC， 根据弧、弦、圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，利用垂直的定义可得∠CDO=∠CEO=90°，根据“AAS”可证△COD≌△COE，可得OD=OE，由AO=BO，利用等式的性质可得结论.
19. （1）解：∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°， ∴四边形EBFD是矩形
（2）解：∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴ 的度数是90°， ∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF， 又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG．
考点：矩形的判定与性质，圆周角定理
分析：（1）根据正方形的性质及同弧所对的圆周角相等得出 ∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 根据二直线平行同旁内角互补得出 ∠EDF+∠BED=180°， 故 ∠EDF=90°， 根据三个角是直角的四边形是矩形得出：四边形EBFD是矩形 ；
（2）根据正方形的性质得出 的度数是90°， 根据弧所对的圆周角的度数等于弧的度数的一半得出∠AFD=45°， 又根据三角形的内角和得出∠DGF=∠DFC=45°， 根据等角对等边得出DG=DF， 根据矩形的对边相等得出BE=DF， 故BE=DG．
20. （1）解： 作AB，BC的垂直平分线，交于点O
以O为圆心，OA为半径作圆
即圆O就是所求作的图形。
（2）解：①当点P在优弧BAC上时，
∵△ABC是正三角形
∴∠A=60°
∵弧BC=弧BC
∴∠BPC=∠A=60°；
②当点P在劣弧BC上时
∵四边形ABPC内接于圆O
∴∠A+∠BPC=180°
∴∠BPC=180°-60°=120°
∴∠BPC的度数为60°或120°
考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，作图—复杂作图
分析：（1）分别作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可。
（2）分两种情况：当点P在优弧BAC上时；当点P在劣弧BC上时，分别利用圆周角定理及圆内接四边形定理，可求出∠BPC的度数。
21. （1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）
考点：勾股定理，弧长的计算，作图﹣平移，作图﹣旋转
解：（3）∵AC= = ，
C1C2=
∴C在两次变换过程中所经过的路径长＝ + ＝ .
分析：（1）根据旋转三要素找到各点的对应点，顺次连接即可；（2）根据平移前后对应点连线平行且相等，找到B2，C2的位置，顺次连接即可.（3）点C经过的路径是一段弧长和一条线段的长度之和.
22. （1）解：∵半径OA⊥弦BC于点H，
∴ ，
∴∠ADC= ∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°
（2）解：∵半径OA⊥弦BC于点H，
∴BH= BC，
∵BC=8，
∴BH=4，
设HO=x，则AO=BO=x+2，
在Rt△BHO中，BO2=HO2+BH2 ，
∴（x+2）2=x2+42 ，
解得：x=3，
∴AO=5.
答：⊙O的半径为5.
考点：勾股定理，垂径定理，圆周角定理
分析：（1）根据垂径定理可得 ，再根据圆周角定理可得∠ADC= ∠AOB，进而可得答案；（2）根据垂径定理可得BH=4，设HO=x，则AO=BO=x+2，在Rt△BHO中利用勾股定理可得（x+2）2=x2+42 ， 解方程可得x的值，从而可得答案.
23. （1）证明：如图，延长 交 于点 ，
∵ 于 ，
∴ ，弧BE=2弧BC，
∵弧AB=2弧BC，
∴弧AB=弧BE，
∴ ，
∴
（2）解：如图，连接 ，设 的半径为 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，解得 ，
∵ ，∴ ，
∴阴影部分的面积为 .
考点：垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，扇形面积的计算
分析：（1）延长Bd交⊙O于点E，由垂径定理可得BE=2BD，而弧AB=2弧BC，于是可得弧AB=弧BE，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦也相等可得AB=BE，则AB=2BD；
（2）连接OB，设⊙O的半径为r，结合（1）的结论可得BD=AB，在直角三角形OBD中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程可求得r的值；由特殊角的三角函数值可求得∠BOC=60°，则由图形的构成得S阴影=S扇形OBC-S△OBD=-BD.OD可求解。
24. （1）证明：连接CB，AB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB=CA，
又∵CD=CA，
∴AC=CD=BC，
∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，
∵Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=90°，
即弧AE的度数是180°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∵AE=10，AC=4，
∴根据勾股定理得：CE=2 ，
∴S阴影=S半圆-S△ACE=12.5π- ×4×2
= ．
考点：等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，几何图形的面积计算-割补法
分析：（1）连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB=CA，再根据CD=CA，得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90度的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积．
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