1.5 三角形全等的判定培优精选试题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.5全等三角形的判定
一．选择题（共16小题）
1．（2019秋?平山县期末）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
2．（2020春?揭西县期末）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，由此可得下列哪组三角形全等（　　）
A．△ABC≌△BAD B．△AOC≌△AOB
C．△BOD≌△AOB D．没有三角形全等
3．（2020春?文圣区期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D．下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020春?碑林区校级期末）如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（　　）对全等三角形．
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2020春?吴中区期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（　　）
A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b
6．（2020?毕节市）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（　　）
A．a B．b C． D．c
7．（2020春?太仓市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2020?鄂州）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2020?潍坊一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．若AC＝4，AB＝6，则四边形ADCF的面积为（　　）
A．12 B．24 C．6 D．12
10．（2019秋?江夏区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+SCDF是多少？（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
11．（2019秋?青龙县期末）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝26°，则∠BOD的度数为（　　）
A．38° B．52° C．28° D．54°
12．（2019秋?孝义市期末）如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，G是AC上一点，DG∥AB，下列一定正确的是（　　）
①△ADE≌△ADF；②BE＝CF；③AG＝DG．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．（2020春?高明区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
14．（2019秋?邢台期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
15．（2019秋?临西县期末）已知△ABC≌△A'B'C，∠A＝40°，∠CBA＝60°，A'C交边AB于P（点P不与A、B重合）．BO、CO分别平分∠CBA，∠BCP，若m°＜∠BOC＜n°，则n﹣m的值为（　　）
A．20 B．40 C．60 D．100
16．（2020?南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
二．解答题（共9小题）
17．（2020春?莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝30cm，测得AM＝10m，边DF离地面的高度DM＝1.5m，求树高AB．
18．（2020春?长沙期末）如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
19．（2020春?青羊区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
20．（2020春?文圣区期末）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
（1）如图1，试说明BE＝CF．
（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，∠BMN＝∠ACB，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．
21．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．
（1）若AE＝3，求DE的长度；
（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．
22．（2020春?南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
23．（2020春?龙岗区期末）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC＝∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB＝AD；
（2）若∠COD＝70°，求∠APB的度数．
24．（2020?五华区二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△DBC；
（2）若∠A＝100°，∠E＝50°，求∠ACB的度数．
25．（2020?扬中市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
三．填空题（共9小题）
26．（2020春?碑林区校级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为　 　m．
27．（2020春?三明期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△DEC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是　 　．
28．（2020春?彭州市期末）两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝　 　cm．
29．（2019秋?松滋市期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm．
30．（2020春?雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　 　．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
31．（2020春?市中区校级期末）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝　 　．
32．（2020春?迁西县期末）如图，在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为4和9，则n的面积为　 　．
33．（2020春?福田区期中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有　 　．（填上所有正确结论的序号）
1.5全等三角形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2019秋?平山县期末）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．为了证明这个结论，我们的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【解答】解：根据伞的结构，AE＝AF，伞骨DE＝DF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE＝∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故选：A．
2．（2020春?揭西县期末）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，由此可得下列哪组三角形全等（　　）
A．△ABC≌△BAD B．△AOC≌△AOB
C．△BOD≌△AOB D．没有三角形全等
【解答】解：∵在△DAB和△CBA中
，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
故选：A．
3．（2020春?文圣区期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D．下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，
∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，
∴∠EFA＝∠AFC，
即FA平分∠EFC．
又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC．
故①②③④正确．
故选：D．
4．（2020春?碑林区校级期末）如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（　　）对全等三角形．
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，
在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
同理：△ABC≌△CDA（ASA）；
∴AB＝CD，BC＝DA，
在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD（AAS），
同理：△AOD≌△COB（AAS）；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
同理：△AOE≌△COF（AAS），△ADE≌△CBF（AAS）；
图中共有7对全等三角形；
故选：C．
5．（2020春?吴中区期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（　　）
A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，
∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，
∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，
故选：B．
6．（2020?毕节市）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（　　）
A．a B．b C． D．c
【解答】解：过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
则四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE，∠CED＝∠DAP＝90°，
∵∠BPC＝45°，∠APD＝75°，
∴∠CPD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵CP＝DP＝a，
∴△CPD是等边三角形，
∴CD＝DP，∠PDC＝60°，
∵∠ADP＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EDC＝15°+60°＝75°，
∴∠EDC＝∠APD，
在△EDC和△APD中，
，
∴△EDC≌△APD（AAS），
∴CE＝AD，
∴AB＝AD＝c，
故选：D．
7．（2020春?太仓市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图所示可作3个全等的三角形．
故选：C．
8．（2020?鄂州）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
9．（2020?潍坊一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．若AC＝4，AB＝6，则四边形ADCF的面积为（　　）
A．12 B．24 C．6 D．12
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFB＝∠DBF，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∵AF∥BC，
∴△AFC的面积＝△ABD的面积，
∴四边形ADCF的面积＝△ADC的面积+△AFC的面积
＝△ADC的面积+△ABD的面积
＝△ABC的面积
＝×4×6
＝12，
故选：D．
10．（2019秋?江夏区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE+SCDF是多少？（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【解答】解：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠CFD＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S△ABE+SCDF＝S△ACD
∵S△ABC＝20，＝，
∴S△ACD＝15，
故选：C．
11．（2019秋?青龙县期末）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝26°，则∠BOD的度数为（　　）
A．38° B．52° C．28° D．54°
【解答】解：由作图可知，OD＝OE＝OF，EF＝DE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠EOD＝∠EOF＝26°，
∴∠BOD＝2∠AOB＝52°，
故选：B．
12．（2019秋?孝义市期末）如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，G是AC上一点，DG∥AB，下列一定正确的是（　　）
①△ADE≌△ADF；②BE＝CF；③AG＝DG．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），故①正确；
∴∠DAE＝∠DAF，
∵DG∥AB，
∴∠DAE＝∠ADG，
∴∠DAF＝∠ADG，
∴AG＝DG，故③正确，
由条件无法证明BE＝CF，故②错误，
故选：B．
13．（2020春?高明区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD，故②正确，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，故③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确，
∵AE＝2BF，
∴AE＝2CE，
∴AC＝AE+CE＝3CE＝3BF，故④正确；
故选：D．
14．（2019秋?邢台期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
15．（2019秋?临西县期末）已知△ABC≌△A'B'C，∠A＝40°，∠CBA＝60°，A'C交边AB于P（点P不与A、B重合）．BO、CO分别平分∠CBA，∠BCP，若m°＜∠BOC＜n°，则n﹣m的值为（　　）
A．20 B．40 C．60 D．100
【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠PCB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠PCB，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠PCB），
＝180°﹣（180°﹣∠BPC），
＝90°+∠BPC＝90°+（∠A+∠ACP），
＝110°+∠ACP，
∵∠A＝40°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠CBA＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵P点在AB边上且不与A、B重合，
∴0°＜∠ACP＜80°，
∴0°＜2∠BOC﹣220°＜80°，
∴110°＜∠BOC＜150°，
∴m＝110，n＝150．
∴n﹣m＝40．
故选：B．
16．（2020?南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
二．解答题（共9小题）
17．（2020春?莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝30cm，测得AM＝10m，边DF离地面的高度DM＝1.5m，求树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米，
∴树高为9米．
18．（2020春?长沙期末）如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D，
∵F为AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFE中，
，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
（2）∵△AFB≌△DFE，
∴AB＝DE＝6，
∵DC＝4CE，
∴CE+6＝4CE，
∴CE＝2．
∴CD＝CE+DE＝2+6＝8．
19．（2020春?青羊区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
【解答】证明：（1）如图，在EF上截取EH＝BE，连接AH，
∵EB＝EH，AE⊥BF，
∴AB＝AH，
∵AB＝AH，AE⊥BH，
∴∠BAE＝∠EAH，
∵AB＝AD，
∴AC＝AH，
∵∠EAF═∠BAC
∴∠BAE+∠CAF＝∠EAF，
∴∠BAE+∠CAF＝∠EAH+∠FAH，
∴∠CAF＝∠HAF，
在△ACF和△AHF中，
，
∴△ACF≌△AHF（SAS），
∴CF＝HF，
∴EF＝EH+HF＝BE+CF；
（2）如图，在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，
∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，
∴AN＝AB＝AC，
∵AN＝AB，AE⊥BN，
∴∠BAE＝∠NAE，
∵∠EAF═∠BAC
∴∠EAF+∠NAE＝（∠BAC+2∠NAE）
∴∠FAN＝∠CAN，
∴∠FAN＝∠CAF，
在△ACF和△ANF中，
，
∴△ACF≌△ANF（SAS），
∴CF＝NF，
∴CF＝BF+2BE．
20．（2020春?文圣区期末）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
（1）如图1，试说明BE＝CF．
（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，∠BMN＝∠ACB，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴AB＝CF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
在△ACE和△BCE中，
，
∴△ACE≌△BCE（ASA），
∴AE＝BE，
∴BE＝AB＝CF；
（2）BN＝MG，
理由如下：如图，过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，
∵BD＝CD，BD⊥CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵MH∥AC，
∴∠PMB＝∠DCB＝∠PBM＝45°，∠BPM＝∠BDC＝90°，
∴BP＝PM，
∵∠BHP+∠HBP＝90°，∠BHP+∠HMN＝90°，
∴∠HBP＝∠HMN，
在△BHP和△MGP中，
，
∴△BPH≌△MPG（ASA），
∴GM＝BH，
∵∠BMN＝∠ACB＝22.5°，
∴∠BMN＝∠HMN＝22.5°，
在△BMN和△HMN中，
，
∴△BMN≌△HMN（ASA）
∴BN＝NH，
∴BN＝BH＝MG．
21．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．
（1）若AE＝3，求DE的长度；
（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．
【解答】解：（1）∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
∵AE是中线，
∴CE＝BE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴AE＝DE＝3，
∴DE的长为3；
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∵AF平分∠DAC，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵AC＝DE，AE＝DE，
∴AC＝AE，
在△CAF和△EAF中，
，
∴△CAF≌△EAF（SAS），
∴CF＝EF，
∴AB＝CD＝CF+DF＝EF+AF．
22．（2020春?南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
23．（2020春?龙岗区期末）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC＝∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB＝AD；
（2）若∠COD＝70°，求∠APB的度数．
【解答】证明：（1）∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC，
又∵OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴CB＝AD；
（2）∵∠COD＝70°，
∴∠AOC＝∠BOD＝55°，
∴∠AOD＝∠COD+∠BOD＝125°＝∠BOC，
∵△AOD≌△COB，
∴∠BCO＝∠DAO，
∴∠DAO+∠CBO＝∠BCO+∠CBO，
∴180°﹣∠APB＝180°﹣∠BOC，
∴∠APB＝125°
24．（2020?五华区二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△DBC；
（2）若∠A＝100°，∠E＝50°，求∠ACB的度数．
【解答】解：（1）如图所示，连接MN，NF，
由题可得，BM＝BF，MN＝FN，BN＝BN，
∴△BMN≌△BFN（SSS），
∴∠ABC＝∠DBC，
又∵AB＝DB，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（2）∵∠A＝100°，∠E＝50°，
∴∠ABE＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣15°＝65°．
25．（2020?扬中市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
三．填空题（共9小题）
26．（2020春?碑林区校级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为　4　m．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
即BF＝CE＝5m，
∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；
故答案为：4．
27．（2020春?三明期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△DEC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是　ASA　．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故答案为：ASA．
28．（2020春?彭州市期末）两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝　4　cm．
【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∵∠AOB＝60°，
∴∠MOP＝∠NOP＝30°，
∵∠OMP＝90°，
∴OP＝2MP，OM＝MP＝6cm，
∴MP＝2cm，
∴OP＝4cm，
故答案为：4．
29．（2019秋?松滋市期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　20　cm．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
30．（2020春?雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　③⑤⑥　．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
【解答】解：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D＝∠ABG＝90°，
在△ADF和△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，
∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，
∴∠FAE＝∠EAG＝70°，
在△FAE和△GAE中
，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，
∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，
∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；
故答案为：③⑤⑥．
31．（2020春?市中区校级期末）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝　40°　．
【解答】解：连接BD、AE，
∵DA⊥AB，FC⊥AB，
∴∠DAB＝∠BCF＝90°，
在△DAB和△BCF中，
，
∴△DAB≌△BCF（SAS），
∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF，
∴∠BDF＝∠BFD，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADB+∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
同理∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝45°+45°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
32．（2020春?迁西县期末）如图，在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为4和9，则n的面积为　13　．
【解答】解：由于m、q、n都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；
∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，且AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝90°
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sn＝Sm+Sq＝4+9＝13，
∴正方形n的面积为13，
故答案为：13．
33．（2020春?福田区期中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有　①②③④　．（填上所有正确结论的序号）
【解答】解：连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
又∵OP＝OC，
∴OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
又∵在等腰△ABC中∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠OBC+∠OBP＝∠OCB+∠ACO，
∴∠OBP＝∠ACO，
∴∠APO＝∠ACO，故①正确；
又∵∠ABC＝∠PBO+∠CBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°，
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP＝180°，∠PBC＝30°，
∴∠BPC+∠BCP＝150°，
又∵∠BPC＝∠APO+∠CPO，
∠BCP＝∠BCO+∠PCO，
∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
又∵∠POC+∠OPC+∠OCP＝180°，
∴∠POC＝60°，
又∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴PC＝PO，∠PCO＝60°，故③正确；
∴∠APO+∠DCO+∠PCO＝30°+60°，
即：∠APO+∠PCB＝90°，故②正确；
在线段AC上截取AE＝AP，连接PE，如图2所示：
∵∠BAC+∠CAP＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠CAP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP＝CP，
又∵∠APE＝∠APO+∠OPE＝60°，
∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝60°，
∴∠APO＝∠EPC，
在△APO和△EPC中，，
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO＝EC，
又∵AC＝AE+EC，AE＝AP，
∴AO+AP＝AC，故④正确；
故答案为：①②③④．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_