第1章 三角形的初步知识培优习题精选（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
八下第一章三角形的初步知识培优习题精选
一．选择题（共19小题）
1．（2020春?雨花区期末）如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（　　）
A．60° B．100° C．120° D．150°
2．（2020?雁塔区校级模拟）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
3．（2020春?义乌市期末）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（　　）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
4．（2020春?岱岳区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　）
A．45° B．60° C．50° D．55°
5．（2020?苏家屯区一模）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝55°，45°的直三角板DEF的锐角顶点D在斜边AC上，直角边DE∥BC，则∠FDC的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．（2020春?徐州期中）如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（　　）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
7．（2020春?江阴市期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；
②∠ADC＝∠GCD；
③CA平分∠BCG；
④∠DFB＝∠CGE．
其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2020春?江阴市校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，若∠BEG＝29°，则∠BDE的度数为（　　）
A．61° B．58° C．65.5° D．59.5°
9．（2020春?天心区期末）如图，一副直角三角板图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，则∠CAF＝（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
10．（2020?浙江自主招生）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成7个区域的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，那么恒成立的关系式是（　　）
A．S2+S6＝S4 B．S1+S7＝S4 C．S2+S3＝S4 D．S1+S6＝S4
11．（2019秋?市中区校级期末）如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中∠A＝52°，则∠ABX+∠ACX＝（　　）
A．38° B．48° C．28° D．58°
12．（2019秋?义安区期末）如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（　　）
A．49° B．50° C．51° D．52°
13．（2019秋?呼和浩特期末）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的（　　）
A．点D B．点C C．点B D．点A
14．（2019秋?桥西区校级期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝40°，则∠BFC的大小是（　　）
A．105° B．100° C．110° D．115°
15．（2019秋?邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF
16．（2020?平湖市二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：
步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；
步骤3：连接DE，DF．
若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（　　）
A． B． C． D．
17．（2020?开平区一模）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
18．（2020?中原区校级模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC、AB于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；
③作射线OA，交BC于点E，若CE＝6，BE＝10．
则AB的长为（　　）
A．11 B．12 C．18 D．20
19．（2020?朝阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．
根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：
①CE＝CD；
②BC＝BE＝BF；
③S四边形CDFB＝CF?BD；
④∠BCF＝∠BCE．
所有正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
二．填空题（共10小题）
20．（2019秋?包河区期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为　 　．
21．（2019秋?滑县期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是　 　．
22．（2019秋?镇原县期末）如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝　 　．
23．（2019春?滨湖区期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为　 　
24．（2019秋?海州区期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠EAB＝　 　°．
25．（2018秋?阜南县期末）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为　 　．
26．（2019秋?江都区期末）如图，在△PAB中，PA＝PB，D、E、F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝40°，则∠P＝　 　°．
27．（2020春?武侯区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则△ABD的面积为　 　．
28．（2019秋?和平区期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数　 　．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为　 　．
29．（2020春?雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　 　．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
三．解答题（共10小题）
30．（2020春?浦东新区期末）已知线段a、b，作出条一线段，使它等于2a﹣b．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
31．（2020春?南岸区期末）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
32．（2020春?南岗区校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．
（1）如图1，求证：AG＝AF；
（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．
33．（2019秋?鲤城区校级期末）已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；
（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．
34．（2018秋?寿县期末）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
35．（2020春?裕华区校级期末）（1）已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D“，试用x、y表示∠DFE＝　 　：
（3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上“改为点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝　 　；
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝　 　．
36．（2020春?雨花区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足为D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．
（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；
（2）若∠A＝n°（0＜n＜90），请直接写出∠DCE和∠F的度数（用含n的代数式表示）；
（3）若△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数（用含n的代数式表示）．
37．（2020春?新都区期末）如图1，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图2，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝　 　；∠E＝　 　．
38．（2020春?清江浦区期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　 　°；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
八下第一章三角形的初步知识培优习题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．（2020春?雨花区期末）如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（　　）
A．60° B．100° C．120° D．150°
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CD和BE是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故选：C．
2．（2020?雁塔区校级模拟）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，∠BFA＝∠BFE＝90°，
∴△BFA≌△BFE（ASA），
∴BA＝BE，
∵BD＝BD，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED＝∠BAD＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
3．（2020春?义乌市期末）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（　　）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180° ①，
∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
4．（2020春?岱岳区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　）
A．45° B．60° C．50° D．55°
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
5．（2020?苏家屯区一模）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝55°，45°的直三角板DEF的锐角顶点D在斜边AC上，直角边DE∥BC，则∠FDC的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝55°，
∴∠C＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠EDC＝35°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠CDF＝∠EDF﹣∠EDC＝45°﹣35°＝10°，
故选：A．
6．（2020春?徐州期中）如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（　　）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，
∴S△BEC＝S△ABC＝6cm2．
∵EF＝2FC，
∴S△BEF＝S△BCE，
∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2．
故选：C．
7．（2020春?江阴市期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；
②∠ADC＝∠GCD；
③CA平分∠BCG；
④∠DFB＝∠CGE．
其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠BCA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCA＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，
假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，
∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC＝（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，
∴∠DFB＝∠CGE，故④正确，
故选：B．
8．（2020春?江阴市校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，若∠BEG＝29°，则∠BDE的度数为（　　）
A．61° B．58° C．65.5° D．59.5°
【解答】解：设∠DEF＝x，∠EDF＝y，则∠DFB＝∠B＝x+y，∠BDF＝180°﹣2x﹣2y，∠G＝∠DEG＝x+29°，
∵∠G+∠FEG＝∠B+∠BDF，
∴x+29°+29°＝x+y+180°﹣2x﹣2y，
∴2x+y＝122°，
∴∠BDE＝∠BDF+∠EDF＝180°﹣2x﹣2y+y＝180°﹣2x﹣y＝58°，
故选：B．
9．（2020春?天心区期末）如图，一副直角三角板图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，则∠CAF＝（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AFD＝∠CAF+∠ACF＝45°，
∴∠CAF＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
10．（2020?浙江自主招生）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成7个区域的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，那么恒成立的关系式是（　　）
A．S2+S6＝S4 B．S1+S7＝S4 C．S2+S3＝S4 D．S1+S6＝S4
【解答】解：过A作AE⊥DC于E，过M作MH⊥DC于H，过B作BQ⊥DC于Q，
则AE∥MH∥BQ，
∵M为AB中点，
∴H为EQ中点，
即MH是梯形AEQB的中位线，
∴2MH＝AE+BQ，
∵S3+S4+S6＝S△MDC＝×DC×MH，
S7+S6＝S△BNC＝×NC×BQ，
S1+S3＝S△ADN＝×DN×AE，
∵N为DC中点，
∴DN＝CN，
∴S7+S6+S1+S3，
＝×NC×BQ+×DN×AE，
＝DN×（AE+BQ），
＝DN×2MH，
＝DN×MH，
＝CD×MH，
∴S7+S6+S1+S3＝S3+S4+S6，
∴S4＝S1+S7；
故选：B．
11．（2019秋?市中区校级期末）如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中∠A＝52°，则∠ABX+∠ACX＝（　　）
A．38° B．48° C．28° D．58°
【解答】解：连接AX，
∵∠BXC＝90°，
∴∠AXB+∠AXC＝360°﹣∠BXC＝270°，
∵∠A＝52°，
∴∠BAX+∠CAX＝52°，
∵∠ABX+∠BAX+∠AXB＝180°，∠ACX+∠CAX+∠AXC＝180°，
∴∠ABX+∠ACX＝360°﹣270°﹣52°＝38°，
故选：A．
12．（2019秋?义安区期末）如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（　　）
A．49° B．50° C．51° D．52°
【解答】解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝131°，
∴∠2＝180°﹣131°＝49°，
故选：A．
13．（2019秋?呼和浩特期末）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的（　　）
A．点D B．点C C．点B D．点A
【解答】解：观察图象可知△MNP≌△MFD．
故选：A．
14．（2019秋?桥西区校级期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝40°，则∠BFC的大小是（　　）
A．105° B．100° C．110° D．115°
【解答】解：延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF+∠BDF，∠BDF＝∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′+∠C′+∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′+∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°+40°＝100°，
故选：B．
15．（2019秋?邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF
【解答】解：∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
∴∠F+∠FCE＝∠FCE+∠BCF＝90°，
∴∠F＝∠BCF；故A选项正确；
在Rt△ACB与Rt△FEC中，，
∴Rt△ACB≌Rt△FEC（HL），
∴AC＝EF＝12，CE＝BC＝5cm，
∴AE＝AC﹣CE＝7cm，故B选项正确；
∵Rt△ACB≌Rt△FEC，
∴∠A＝∠F，
∵∠ADE＝∠EDF，
∴∠FED＝∠AEF＝90°，
∴AB⊥CF，故D选项正确；
∵∠AED＝∠ACB，
∴DE∥BC，
∴＝＝，
∴AD≠DB，
∴EF不平分AB，故C选项错误，
故选：C．
16．（2020?平湖市二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：
步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；
步骤3：连接DE，DF．
若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由作图可知，四边形ECFD是正方形，
∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵S△ACB＝S△ADC+S△CDB，
∴×AC×BC＝×AC×DE+×BC×DF，
∴DE＝＝，
故选：C．
17．（2020?开平区一模）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【解答】解：（1）根据垂径定理作图的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（2）根据直径所对圆周角是直角的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（3）根据相交两圆的公共弦的性质可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（4）无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法不正确；
综上所述：正确的作法有3种．
故选：C．
18．（2020?中原区校级模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC、AB于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；
③作射线OA，交BC于点E，若CE＝6，BE＝10．
则AB的长为（　　）
A．11 B．12 C．18 D．20
【解答】解：过点E作DE⊥AB于点D，
由作图知AP平分∠BAC，
∵∠C＝∠ADE＝90°，
∴CE＝DE＝6，
∵BE＝10，
∴BD＝8，
∵AD＝AD，CE＝DE，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AD，
设AC＝AD＝x，
由AC2+BC2＝AB2得x2+162＝（x+8）2，
解得：x＝6，即AC＝12，
∵AB＝20，
故选：D．
19．（2020?朝阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．
根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：
①CE＝CD；
②BC＝BE＝BF；
③S四边形CDFB＝CF?BD；
④∠BCF＝∠BCE．
所有正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：如图，连接CF，交BD于点H，
由作图过程可知：
CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，
设CE与AB交于点Q，
∴∠CQA＝∠DFA＝90°，
∴CQ∥DF，
∴∠CED＝∠FDE，
∵BD是∠CBF的平分线，
∴∠CBD＝∠FBD，
∵∠BCD＝∠BFD＝90°，
BD＝BD，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴∠CDB＝∠FDB，
∴∠CDB＝∠CED，
∴CE＝CD，
所以①正确；
∵△BCD≌△BFD（AAS），
∴BC＝BF，
但是BC≠BE，
∴②不正确；
∵S四边形CDFB＝S△BCD+S△BFD
＝BD?CH+BD?FH
＝CF?BD．
∴③正确；
∵△BCE与△BCF不全等，
∴∠BCE≠∠BCF，
∴④不正确．
所以正确结论的序号为①③．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
20．（2019秋?包河区期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为　70°　．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
21．（2019秋?滑县期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是　180°　．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°
22．（2019秋?镇原县期末）如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝　40°　．
【解答】解：∵AA′∥BC，
∴∠A′AB＝∠ABC＝70°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA＝BA′，∠A′BC＝∠ABC＝70°，
∴∠A′AB＝∠AA′B＝70°，
∴∠A′BA＝40°，
∴∠ABC′＝30°，
∴∠CBC′＝40°，
故答案为：40°．
23．（2019春?滨湖区期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为　48　
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）?BE＝（10+6）×6＝48．
故答案为48．
24．（2019秋?海州区期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠EAB＝　60　°．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝50°，
∴∠D＝∠B＝50°，∠EAD＝∠CAB，
∵∠AED＝105°，
∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠AED＝25°，
∴∠CAB＝25°，
∵∠CAD＝10°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠DAC+∠CAB＝25°+10°+25°＝60°
25．（2018秋?阜南县期末）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为　135°　．
【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AE＝DE，∠AED＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故答案为：135°
26．（2019秋?江都区期末）如图，在△PAB中，PA＝PB，D、E、F分别是边PA，PB，AB上的点，且AD＝BF，BE＝AF，若∠DFE＝40°，则∠P＝　100　°．
【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△ADF和△BFE中，
，
∴△ADF≌△BFE（SAS），
∴∠ADF＝∠BFE，
∵∠DFB＝∠DFE+∠EFB＝∠A+∠ADF，
∴∠A＝∠DFE＝40°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
故答案为：100．
27．（2020春?武侯区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则△ABD的面积为　　．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵DC⊥BC，DH⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DH＝CD＝1，
∴S△ABD＝?AB?DH＝×2×1＝，
故答案为．
28．（2019秋?和平区期末）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数　90°、135°、45°　．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为　20°或40°　．
【解答】解：
（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．
每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．
故答案为：90°、135°、45°．
（3）如下图作△ABC，
①如图1：当AD＝AE时，
∵2x+x＝30+30，
∴x＝20．
②如图2：当AD＝DE时，
∵2x+x+30+30＝180．
∴x＝40．
所以x的所有可能的值为20°或40°．
故答案为20°或40°．
29．（2020春?雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　③⑤⑥　．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．
【解答】解：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D＝∠ABG＝90°，
在△ADF和△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，
∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，
∴∠FAE＝∠EAG＝70°，
在△FAE和△GAE中
，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，
∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，
∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；
故答案为：③⑤⑥．
三．解答题（共10小题）
30．（2020春?浦东新区期末）已知线段a、b，作出条一线段，使它等于2a﹣b．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：如图，线段OF即为所求．
31．（2020春?南岸区期末）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°；
（2）AD平分∠BDE，
理由是：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
即AD平分∠BDE．
32．（2020春?南岗区校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．
（1）如图1，求证：AG＝AF；
（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．
【解答】证明：（1）∵BD、CE分别是AC、AB两条边上的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△AGC与△FAB中，，
∴△AGC≌△FAB（SAS），
∴AG＝AF；
（2）图中全等三角形有△AGC≌△FAB，由得出△CGH≌△BAD，
由得出Rt△AGH≌Rt△AFD，△ABD≌△CBD；△CBD≌△GCH．
33．（2019秋?鲤城区校级期末）已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；
（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．
【解答】（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，
∵AM∥BN，
∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADC和△FEC中，，
∴△ADC≌△FEC（AAS），
∴AC＝FC，
∵AC＝BC，
∴BC＝AC＝FC＝AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABE＝90°；
（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠DEB＝60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC+∠DCA＝60°，
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，
∴∠DCA+∠BCH＝60°，
∴∠DAC＝∠BCH，
在△DAC与△HCB中，，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH，DC＝BH，
又∵CH＝CE＝HE，
∴BE＝BH+HE＝DC+AD，
即AD+DC＝BE．
34．（2018秋?寿县期末）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝．
∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°
∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．
35．（2020春?裕华区校级期末）（1）已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D“，试用x、y表示∠DFE＝　（x﹣y）　：
（3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上“改为点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝　（x﹣y）　；
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝　（3x﹣y）　．
【解答】（1）解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝∠BAC＝×70°＝35°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝35°﹣20°＝15°，
（2）∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，
∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．
故答案为（x﹣y）．
（3）∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，
∴∠DEF＝∠AEB＝90°﹣x+y，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．
故答案为（x﹣y）．
（4）∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），
∴∠PAF＝（180°﹣x﹣y），
∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°﹣（180°﹣x﹣y）﹣x]＝（3x﹣y）．
故答案为（3x﹣y）．
36．（2020春?雨花区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足为D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．
（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；
（2）若∠A＝n°（0＜n＜90），请直接写出∠DCE和∠F的度数（用含n的代数式表示）；
（3）若△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数（用含n的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，
∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，
∵BF平分∠ABG，
∴∠FBG＝∠ABG＝75°，
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
∴∠F＝75°﹣45°＝30°．
（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，
∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，
∵BF平分∠ABG，
∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
∴∠F＝n°．
（3）如图，∵FH⊥CG，
∴∠FHC＝90°，
∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°
∴∠A＝∠DCB＝n°，
∵CQ平分∠DCB，
∴∠QCH＝n°，
∴∠CQH＝90°﹣n°．
37．（2020春?新都区期末）如图1，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图2，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝　90°+?n　；∠E＝　?n　．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AC平分∠OABMCB平分∠OBA，
∴∠CAB＝∠OAB，∠CBA＝∠OBA，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（180°﹣∠O）＝90°+∠O，
∵∠O＝80°，
∴∠ACB＝90°+40°＝130°．
（2）如图2中，由题意可以假设∠MAD＝∠DAB＝y，∠ABE＝∠EBO＝x．
则有，可得∠O，
∵∠O＝80°，
∴∠E＝40°．
（3）由（1）（2）可知，∠ACB＝90°+?n，∠E＝?n．
故答案为：90°+?n，?n
38．（2020春?清江浦区期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　110　°；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【解答】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_