2.6 直角三角形-2.7 探索勾股定理培优习题精选（含解析）

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浙教版八年级下2.6-2.7小节直角三角形与勾股定理
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?鞍山期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（　　）
A．90° B．20° C．45° D．70°
2．（2019秋?开州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（　　）
A．40° B．50° C．65° D．75°
3．（2017秋?洪雅县期末）直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（　　）
A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°
4．（2019?朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（　　）
A．83° B．57° C．54° D．33°
5．（2020?赤峰）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
6．（2020?陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020春?市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，交BC于点E．D为AE上一点，且∠ACD＝∠CAD，DE＝3cm，连接CD．过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则下列结论正确的有（　　）
①CD＝5cm；②AC＝10cm；③DF＝3cm；④△ACD的面积为10cm2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2020?文成县二模）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．
9．（2020春?沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
10．（2020春?新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（　　）
A．13 B． C．47 D．
11．（2019秋?崇川区期末）如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（2019秋?余杭区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△CBF．设△AEH的面积为S1，△ABC的面积为S2，△BFG的面积为S3，四边形DHCG的面积为S4，则下列结论正确的是（　　）
A．S2＝S1+S3+S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3 D．S1+S3＝S2+S4
13．（2019秋?偃师市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A．4.8 B．6 C．3.8 D．5
14．（2019秋?凤翔县期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，…按此规律继续下去，则S5的值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2019秋?仁寿县期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．13 B．26 C．34 D．47
二．填空题（共10小题）
16．（2020春?济阳区期末）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为　 　．
17．（2020?哈尔滨模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB边上一点，若△ACD是等腰三角形，则∠BCD的度数为　 　．
18．（2019秋?北流市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB的度数为　 　．
19．（2019秋?潮阳区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝　 　°．
20．（2020春?历下区期末）有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是　 　．
21．（2020春?历下区期末）等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为　 　．
22．（2019秋?滦州市期末）如图所示，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝13，BC＝5，AD＝16，则BD的长为　 　．
23．（2020春?齐齐哈尔期末）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2019＝　 　．
24．（2020?成都模拟）如图所示，已知线段AC＝1，经过点A作AB⊥AC，使AB＝AC，连接BC，在BC上截取BE＝AB，在CA上截取CD＝CE，则的值是　 　．
25．（2019秋?青羊区期末）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝5，则S1+S5＝　 　．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）
三．解答题（共11小题）
26．（2019秋?南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
27．（2019秋?雅安期末）如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．
求∠2的度数．
28．（2019秋?辛集市期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB．
（1）求∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．
29．（2020春?莱州市期末）如图，△ABC≌△DBE，∠CBE＝60°，∠DCB＝30°．求证：DC2+BE2＝AC2．
30．（2019秋?大连期末）如图，在△ABC中，∠B＝90，∠C＝30°，AB＝6cm，BC＝6cm，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以3cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以cm/s的速度移动，动点P、Q同时出发，到点C运动结束．设运动过程中△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为t（s）．
（1）点P运动到点A，t＝　 　（s）；
（2）请你用含t的式子表示y．
31．（2019秋?北碚区期末）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
32．（2020春?越城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD＝S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
33．（2019春?行唐县期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下
如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣a
S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+ab
S四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明
如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
34．（2019春?沙坪坝区校级月考）如图①，在Rt△ABC中∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．
（1）根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系；
（2）若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．
35．（2019秋?陇西县期中）分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA22＝（）2+1＝2 S1＝；
OA32＝（）2+1＝3 S2＝；
OA42＝（）2+1＝4 S3＝…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示Sn＝　 　；
（2）推算出OA10＝　 　．
（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．
2.6-2.7直角三角形与勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2019秋?鞍山期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（　　）
A．90° B．20° C．45° D．70°
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠BAD+∠B＝90°，
∴∠DAC＝∠B＝20°，
故选：B．
2．（2019秋?开州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（　　）
A．40° B．50° C．65° D．75°
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
根据折叠可得∠CED＝65°，
∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
3．（2017秋?洪雅县期末）直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（　　）
A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°
【解答】解：
设∠B＝x°，则∠A＝3x°，
由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，
∴x+3x＝90，解得x＝22.5，
∴∠B＝22.5°，
故选：A．
4．（2019?朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（　　）
A．83° B．57° C．54° D．33°
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B＝25°．
又AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠FCE＝∠E＝90°﹣∠D＝90°﹣58°＝32°．
∴∠BCE＝∠BCF+∠FCE＝25°+32°＝57°．
故选：B．
5．（2020?赤峰）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
【解答】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴A′B′＝AB＝5，A′C′＝AC＝3，∠A′C′B′＝∠ACB＝90°，A′A＝CC′＝3，
∴B′C′＝＝4，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′是矩形，
∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）?AC＝（3+4+3）×3＝15，
故选：A．
6．（2020?陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
7．（2020春?市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，交BC于点E．D为AE上一点，且∠ACD＝∠CAD，DE＝3cm，连接CD．过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则下列结论正确的有（　　）
①CD＝5cm；②AC＝10cm；③DF＝3cm；④△ACD的面积为10cm2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝4cm，
在Rt△DEC中，CD＝＝5cm，故①正确；
②∵∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD＝5cm，
∴AE＝8cm，
在Rt△AEC中，AC＝＝4cm，故②错误；
③∵∠DAF＝∠BAE，∠AFD＝∠AEB，
∴△DAF∽△BAE，
∴DF：AD＝BE：AB，即DF：5＝4：4，
解得DF＝．
故DF＝cm，故③错误；
④△ACD的面积为5×4÷2＝10cm2，故④正确．
故选：B．
8．（2020?文成县二模）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．
【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，
则阴影部分的面积S＝HG?DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴ab＝32﹣，
∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+32﹣＝2，
解得c1＝6，c2＝10（舍去）．
故选：B．
9．（2020春?沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
【解答】解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，
（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
10．（2020春?新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（　　）
A．13 B． C．47 D．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝32+52＝34；
y2＝22+32＝13；
z2＝x2+y2＝47；
即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝．
故选：B．
11．（2019秋?崇川区期末）如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴S3+S2＝S1，
∵S1+S2+S3＝16，
∴2S1＝16，
∴S1＝8，
故选：B．
12．（2019秋?余杭区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△CBF．设△AEH的面积为S1，△ABC的面积为S2，△BFG的面积为S3，四边形DHCG的面积为S4，则下列结论正确的是（　　）
A．S2＝S1+S3+S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3 D．S1+S3＝S2+S4
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
∵△ABD，△ACE，△CBF都是等边三角形，
∴，，．
∵∠ACB＝90°，
∴a2+b2＝c2．
∴，
即S△ACE+S△BCF＝S△ABD．
∴S1+S3＝S2+S4．
故选：D．
13．（2019秋?偃师市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A．4.8 B．6 C．3.8 D．5
【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，如图．
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝FC＝BC＝3，
∴△ABF中，AF＝＝＝4．
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴×6×4＝×5×PD+×5×PE，
∴12＝×5×（PD+PE），
PD+PE＝4.8．
故选：A．
14．（2019秋?凤翔县期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，…按此规律继续下去，则S5的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，
∴Sn＝（）n﹣1．
当n＝5时，S5＝（）5﹣1＝（）4，
故选：A．
15．（2019秋?仁寿县期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．13 B．26 C．34 D．47
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
16．（2020春?济阳区期末）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为　80°或140°或10°　．
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°；
②当CD′＝AD′时，
∵∠CAB＝20°，
∴∠D′CA＝∠CAB＝20°，
∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
③当AC＝AD″时，则∠AD″C＝∠ACD″，
∵∠CAB＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB，
∴∠AD″C＝10°，
故答案为：80°或140°或10°．
17．（2020?哈尔滨模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB边上一点，若△ACD是等腰三角形，则∠BCD的度数为　20°或50°　．
【解答】解：如图，
当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝20°．
当CD′＝AD′时，∠D′CA＝∠A＝40°，
∴∠BCD′＝90°﹣40°＝50°，
故答案为20°或50°．
18．（2019秋?北流市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB的度数为　45°　．
【解答】解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，
∴∠BAF＝140°，
∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故答案为：45°．
19．（2019秋?潮阳区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝　39　°．
【解答】解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，
∴∠ADC＝∠A′DC＝84°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠DCB＝45°，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝84°﹣45°＝39°
故答案为：39．
20．（2020春?历下区期末）有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是　225或63　．
【解答】解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：92+122＝225；
当第三边是直角边时，第三边长的平方是：122﹣92＝63；
故答案是：225或63．
21．（2020春?历下区期末）等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为　15　．
【解答】解：如图：
AB＝AC＝17，BC＝16．
△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC；
则BD＝DC＝BC＝8；
Rt△ABD中，AB＝17，BD＝8；
由勾股定理，得：AD＝．
故答案为：15．
22．（2019秋?滦州市期末）如图所示，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝13，BC＝5，AD＝16，则BD的长为　20　．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝＝12，
又∵∠BAD＝90°，AD＝16，
∴BD＝＝20，
故答案为：20．
23．（2020春?齐齐哈尔期末）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2019＝　2　．
【解答】解：由勾股定理得：OP1＝，OP2＝；OP3＝2；
OP4＝＝；
依此类推可得OPn＝，
∴OP2019＝＝2．
故答案为：2．
24．（2020?成都模拟）如图所示，已知线段AC＝1，经过点A作AB⊥AC，使AB＝AC，连接BC，在BC上截取BE＝AB，在CA上截取CD＝CE，则的值是　　．
【解答】解：设CD＝a，则CE＝a，
∵AC＝1，AB＝AC，
∴AB＝，
∵BE＝AB，
∴BE＝，
∴BC＝a+，
在Rt△ABC中，AC2+BA2＝BC2，
∴，
解得，a＝﹣或a＝﹣（舍去），
∴AD＝1﹣a＝，
∴＝．
故答案为：．
25．（2019秋?青羊区期末）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝5，则S1+S5＝　5　．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）
【解答】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于TMN交EC于Q．
∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，
∴∠ABC＝∠MBQ，
∵BA＝BM，BC＝BQ，
∴△ABC≌△MBQ（SAS），
∴∠ACB＝∠BQM＝90°，
∵∠PQB＝90°，
∴M，P，Q共线，
∵四边形CGMP是矩形，
∴MG＝PC＝BC，
∵∠BCT＝∠MGQ＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，
∴∠MQG＝∠BTC，
∴△MGQ≌△BCT（AAS），
∴MQ＝BT，
∵MN＝BM，
∴NQ＝MT，
∵∠MQG＝∠BTC，
∴∠NQE＝∠MTP，
∵∠E＝∠MPT＝90°，
则△NQE≌MTP（AAS），
∴S1+S5＝S3＝5．
故答案为：5．
三．解答题（共11小题）
26．（2019秋?南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CBD＝126°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．
又∵∠F＝27°，
∴∠F＝∠CEB＝27°，
∴DF∥BE
27．（2019秋?雅安期末）如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．
求∠2的度数．
【解答】解：∵m∥n
∴∠ECB＝∠1＝50°，
又∵∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝40°，
又∵∠ACE+∠2＝180°
∴∠2＝140°．
28．（2019秋?辛集市期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB．
（1）求∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
又∵CF平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°；
（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，
又∵∠CDF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，
∴△CFD是直角三角形．
29．（2020春?莱州市期末）如图，△ABC≌△DBE，∠CBE＝60°，∠DCB＝30°．求证：DC2+BE2＝AC2．
【解答】证明：∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BE2＝AC2．
30．（2019秋?大连期末）如图，在△ABC中，∠B＝90，∠C＝30°，AB＝6cm，BC＝6cm，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以3cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以cm/s的速度移动，动点P、Q同时出发，到点C运动结束．设运动过程中△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为t（s）．
（1）点P运动到点A，t＝　2　（s）；
（2）请你用含t的式子表示y．
【解答】解：（1）点P运动到点A，t＝6÷3＝2（s）；
故答案为：2．
（2）当0＜t＜2时，y＝S△BPQ＝?BQ?BP＝?3t?t＝t2，
即y＝t2；
当t≥2时，作PH⊥BC于H，如图所示：
y＝S△BPQ＝?BQ?HP＝×t×（18﹣3t）＝﹣t2+t，
即y＝﹣t2+t．
31．（2019秋?北碚区期末）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝＝2（cm）；
（2）解：根据题意得：BQ＝BP，
即2t＝8﹣t，
解得：t＝；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
32．（2020春?越城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD＝S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝5cm，且∠ADB＝90°，
∴AD2＝AC2﹣CD2
∴AD＝12cm．
（2）AP＝t，PD＝12﹣t，
又∵由△PDM面积为PD×DC＝15，
解得PD＝6，∴t＝6．
（3）假设存在t，
使得S△PMD＝S△ABC．
①若点M在线段CD上，
即 时，PD＝12﹣t，DM＝5﹣2t，
由S△PMD＝S△ABC，
即 ，
2t2﹣29t+50＝0
解得t1＝12.5（舍去），t2＝2．（2分）
②若点M在射线DB上，即 ．
由S△PMD＝S△ABC
得 ，
2t2﹣29t+70＝0
解得 ，．（2分）
综上，存在t的值为2或 或 ，使得S△PMD＝S△ABC．（1分）
33．（2019春?行唐县期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下
如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣a
S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+ab
S四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明
如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
34．（2019春?沙坪坝区校级月考）如图①，在Rt△ABC中∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．
（1）根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系；
（2）若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．
【解答】解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2；
（2）∵正方形EFMN的面积为64，
∴c2＝64，即c＝8，
∵Rt△ABC的周长为18，
∴a+b+c＝18，
∴a+b＝10，
则Rt△ABC的面积＝ab
＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]
＝9．
35．（2019秋?陇西县期中）分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA22＝（）2+1＝2 S1＝；
OA32＝（）2+1＝3 S2＝；
OA42＝（）2+1＝4 S3＝…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示Sn＝　　；
（2）推算出OA10＝　　．
（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．
【解答】解：（1）+1＝n+1
Sn＝（n是正整数）；
故答案是：；
（2）∵OA12＝1，
OA22＝（）2+1＝2，
OA32＝（）2+1＝3，
OA42＝（）2+1＝4，
∴OA12＝，
OA2＝，
OA3＝，…
∴OA10＝；
故答案是：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
＝（）2+（）2+（）2+…+（）2
＝（1+2+3+…+10）
＝．
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