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浙教版版数学八年级上册2.4
等腰三角形的判定定理导学案
课题
2.4等腰三角形的判定定理
单元
第二单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程.
2.会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图.3.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形．
重点
等腰三角形的判定方法及其运用.
难点
等腰三角形的判定方法证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形的性质与判定的区别.
教学过程
课前预学
说一说等腰三角形的性质:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用等腰三角形的定义，怎样判定一个三角形是等腰三角形？__________________________________________________除此之外，还有其他判定方法吗？
新知讲解
【合作学习】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A.量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗?你发现了什么规律?如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.你能证明这个猜想吗？已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证:△ABC是等腰三角形.等腰三角形的判定方法__________________________________________________________________________________________________________________________应用格式：________________________________________________________________________________________________________________________
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
等角对等边
等角对等边【总结归纳】“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A,B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河的宽度（即点A,B之间的距离）．这个方法正确吗？请说明理由．【总结归纳】说明线段相等的方法:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________想一想：什么样的三角形是等边三角形？在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.思考：一个三角形满足什么条件时会成为等边三角形？
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．一个三角形还满足什么条件时会成为等边三角形？
猜想2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．求证:△ABC是等边三角形．【总结归纳】方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
课堂练习
1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( )A．∠A:∠B:∠C＝1:1:3B．a:b:c＝2:2:3C．∠B＝50°，∠C＝80°D．2∠A＝∠B＋∠C2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )A．2
B．3
C．4
D．53.等腰三角形补充下列条件后，一定成为等边三角形的是( )A．有两个角相等
B．有两个外角相等C．有一个内角是60°
D．有两边相等4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )A．2个
B．3个
C．4个
D．5个5.如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，AD＝BC，那么请你判断阴影部分图形的形状，并说明理由．6.【中考·温州】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．答案：1.D
2.C
3C
.4.C
5.解：等腰三角形．理由如下:
∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°.又∵BC＝AD，AB＝BA，∴△ACB≌△BDA.∴∠CBA＝∠DAB.∴OB＝OA(等角对等边)．∴阴影部分图形是等腰三角形．6.(1)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴∠DEC＝60°，CE＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝90°－∠DEC＝30°，∠F＝90°－∠EDC＝30°.∴∠CEF＝∠F，∴CF＝CE＝2.
∴DF＝4.
课堂小结
本节课你学到了什么?等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形。判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
板书
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精品试卷·第
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浙教版
初中数学
2.4
等腰三角形的判定定理
新知导入
等腰三角形的性质:
2、等腰三角形的两个底角相等.
(在同一个三角形中,等边对等角)
1、等腰三角形的两腰相等.
3、等腰三角形三线合一.
顶角平分线、底边上的中线和底边上的高.
新知导入
除此之外，还有其他判定方法吗？
利用等腰三角形的定义，怎样判定一个三角形是等腰三角形？
如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形
新知讲解
【合作学习】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A.
B
C
A
量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗?你发现了什么规律?
新知讲解
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
你能证明这个猜想吗？
B
C
A
新知讲解
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证:△ABC是等腰三角形.
在△ABD和△ACD中，
∴
△ABD
≌
△ACD（AAS）
∴AB=AC.
∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)，
∠B=∠C（已知），
AD=AD（公共边），
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
△ABC是等腰三角形.
B
C
A
D
∵
∴
△ABC是等腰三角形.
新知讲解
如果一个三角形中有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形。
（简写成“等角对等边”）.
∴
AC=AB.
(
)
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C，
(
)
在△ABC中，
应用格式：
已知
等角对等边
B
C
A
(
(
等腰三角形的判定方法
新知讲解
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2
,
∴
BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2,
∴
DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
新知讲解
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
【总结归纳】
新知讲解
例
一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A,B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河的宽度（即点A,B之间的距离）．
这个方法正确吗？请说明理由．
新知讲解
∵
∠
CAD=
∠
C+
∠
B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴
∠
B=
∠
C，
∴
AB=AC（在同一个三角形中，
等角对等边）.
∴
∠
B=
∠CAD
-∠C=60
°-
30
°
=30°，
解：这一方法正确.理由如下：
新知讲解
证明线段相等的方法:
1、证明线段所在的两个三角形全等。
2、证明同一个三角形中线段所对的两个角相等。
【总结归纳】
新知讲解
想一想：什么样的三角形是等边三角形？
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
新知讲解
思考：一个三角形满足什么条件时会成为等边三角形？
猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
C
B
A
新知讲解
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
C
B
A
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(在同一个三角形中，等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(在同一个三角形中，等角对等边)．
∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．
新知讲解
【思考】一个三角形还满足什么条件时会成为等边三角形？
猜想2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
点拨：
有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：
(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
C
B
A
新知讲解
证明:
∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角).
∴∠A=60°(三角形的内角和定理)，
∴∠A=∠B
=∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第一种情况：有一个底角是60°
A
C
B
60°
新知讲解
证明:
∵AB=AC，∠A=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C
=60°，
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：顶角是60°；
A
C
B
60°
新知讲解
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：
一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
【总结归纳】
课堂练习
1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( )
A．∠A:∠B:∠C＝1:1:3
B．a:b:c＝2:2:3
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．2∠A＝∠B＋∠C
D
课堂练习
2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，
AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C
课堂练习
3.等腰三角形补充下列条件后，一定成为等边三角形的是( )
A．有两个角相等
B．有两个外角相等
C．有一个内角是60°
D．有两边相等
C
课堂练习
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
C
拓展提高
5.如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，AD＝BC，那么请你判断阴影部分图形的形状，并说明理由．
解：等腰三角形．
理由如下:
∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°.
又∵BC＝AD，AB＝BA，
∴△ACB≌△BDA.
∴∠CBA＝∠DAB.
∴OB＝OA(等角对等边)．
∴阴影部分图形是等腰三角形．
中考链接
6.【中考·温州】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
中考链接
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．
∴∠DEC＝60°，CE＝DC＝2.
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝90°－∠DEC＝30°，∠F＝90°－∠EDC＝30°.
∴∠CEF＝∠F，∴CF＝CE＝2.
∴DF＝4.
课堂总结
本节课你学到了什么？
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定方法
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：
一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
板书设计
课题：2.4
等腰三角形的判定定理
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一、等腰三角形的判定
二、线段相等的方法
三、等边三角形的判定
作业布置
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