2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优 测试卷（Word版 含解析）

2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优
测试卷解析版
一、选择题（共10题；共30分）
1.已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（　　）
A.?点在圆内??B.?点在圆上????C.?点在圆外????D.?不能确定
2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（??
）
A.?????B.???????C.???????D.?
3.往直径为
的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽
，则水的最大深度为（???
）
A.??????B.?????C.?????D.?
4.如图，
是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
，则
的大小为（???
）
A.????B.?????C.?????D.?
5.如图，点A,B,C,D在⊙O上，
，点B是
的中点，则
的度数是（???
）
A.??????B.??????C.????D.?
6.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE。若∠D=80°，则∠EAC的度数是(???
)
A.?20°????B.?25°????C.?30°????D.?35°
7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（?
）
A.????????B.???????C.?????????D.?
8.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（????
）
A.?2π+2????B.?3π???C.???????D.?
+2
9.如图，在扇形
中，已知
，
，过
的中点C作
，
，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（??
）
A.???????B.??????C.??????D.?
10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣
x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点
，连接
，则
的最小值为(???
)
A.?????B.???????C.?????????D.?
二、填空题（共6题；共24分）
11.在⊙O中，若弦
垂直平分半径
，则弦
所对的圆周角等于________°.
12.如图，AB为
的直径，弦
于点H
，
若
，
，则OH的长度为
________．
13.小明在手工制作课上，用面积为
，半径为
的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________
．
14.如图，已知锐角三角形
内接于半径为2的
，
于点
，
，则
________．
15.如图，正方形
的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到
位置，使得点B落在对角线
上，则阴影部分的面积是________．
16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为
，则半圆的半径OA的长为________．
三、解答题（共8题；共66分）
17.如图，在
中，
，将
绕点A逆时针旋转
，得到
，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求
的度数.
18.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm
，
∠DAC＝2∠B
，
求AC的长．
19.如图，△ABC中，AB=AC
，
⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D
．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
20.如图，将
绕点B顺时针旋转60度得到
，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.
（1）求证：
；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.
21.如图，在
中，
，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作
，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
22.如图，点M，
分别在正方形
的边
，
上，且
，把
绕点A顺时针旋转
得到
.
（1）求证：
≌
.
（2）若
，
，求正方形
的边长.
23.如图所示，已知A
，
B两点的坐标分别为（2
，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点
D
．
（1）当OP⊥AB时，求OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求AP
．
24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
答案
一、选择题
1.解：∵OA＝
OP＝2.5，⊙O的半径为3，
∴OA＜⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内.故答案为：A.
2.解：ACD、
不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD不符合题意；
B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.
故答案为：B.
3.解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：
，
∵⊙O的直径为
，
∴
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，
∴油的最大深度为
，
故答案为：
．
4.解：∵∠BDC=20°
∴∠BOC=2×20°=40°
∴∠AOC=180°-40°=140°
故答案为：B.
5.连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴∠AOB＝
∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝
∠AOB＝30°，
故答案为：A．
6.∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，∠D=80°，
∴∠AEB=∠D=80°，
∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=30°.
故答案为：C.
7.连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC=
AB=
a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：
，
故答案为：C.
8.解：如图，
?
点O的运动路径的长＝
的长+O1O2+
的长＝
+
+
＝
，
故答案为：C．
9.连接OC
点C为弧AB的中点
在
和
中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故答案为：B.
10.解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(
，
)，则PM=
，QM=
，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=
，Q′N=PM=
，
∴ON=1+PN=
，
∴Q′(
，
)，
∴OQ′2=(
)2+(
)2=
m2﹣5m+10=
(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为
，
故答案为：B.
二、填空题
11.设弦
垂直平分半径
于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF，
∴OB=AB，OC=AC，
∵OB=OC，
∴四边形OBAC是菱形，
∴∠BOC=2∠BOE，
∵OB=OA，OE=
,
∴cos∠BOE=
，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOC=∠BAC=120°，
∴∠BFC=
∠BOC=60°，
∴
弦
所对的圆周角为120°或60°，
故答案为：120或60.
12.连接OC，
Rt△OCH中，OC=
AB=5，CH=
CD=4；
由勾股定理，得：OH=
；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
13.由
得：扇形的弧长=
（厘米），
圆锥的底面半径=
（厘米）．
故答案是：10．
14.解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=
OB=1，
故答案为：1.
15.解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，
∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB=CN=
EC=
，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴△PEC≌△PBC(HL)，
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP=x
，
则EP=BP=
，
∵MP+BP=MB，
∴
，解得
，
∴BP=
，
∴阴影部分的面积=
．
故答案为：
．
16.解：如图，连接
?点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
?
?
为等边三角形，
?
?
?
?
?
解得：
（负根舍去），
故答案为：3
三、解答题
17.
解：∵将
绕点A逆时针旋转150°，得到
，
.
∵点B、C、D恰好在同一条直线上
是顶角为150°的等腰三角形，
，
，
.
18.
解：如图，连接OC
，
∵∠AOC＝2∠B
，
∠DAC＝2∠B
，
∴∠AOC＝∠DAC
，
∴AO＝AC
，
又∵OA＝OC
，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝
AD＝3cm
．
19.
（1）连接OA，如下图1所示：
∵AB=AC，
∴
=
，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
（2）如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67.5°或72°．
（3）如图3中，过A点作AE
BC交BD的延长线于E．
则
=
=
，且BC=2BH，
∴
=
=
，
设OB=OA=4a，OH=3a．
则在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2
，
∴25
-
49a2=16a2﹣9a2
，
∴a2=
，
∴BH=
，
∴BC=2BH=
．
故答案为：
．
20.
（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形
所以
∴
；
（2）解：依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为
.
21.
（1）证明：
，
，
，
，
又
,
?
?
四边形
是平行四边形.
（2）证明：如图，连接
，
四边形
是
的内接四边形
22.
（1）证明：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在
和
中，
；
（2）解：设正方形
的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又
四边形ABCD是正方形
则在
中，
，即
解得
或
（不符题意，舍去）
故正方形
的边长为6.
23.
（1）解：∵A，B两点的坐标分别为（2
，0），（0，10），
∴AO＝2
，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝
＝4
，
∵OP⊥AB，
∴
＝
，CD＝DP，
∴CD＝
，
∴OP＝2CD＝
；
（2）解：连接CP，如图所示：
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP为等边三角形，
∴AP＝AC＝
AB＝2
．
24.
（1）解：如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2
．
理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2
，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）解：如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2
，
∴
EA2+
CF2＝
EF2
，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK
，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH
，
即S△ABC＝S矩形BGKH
，
∴
S△ABC＝
S矩形BGKH
，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO
，
∴S△BGM＝S四边形COMH
，
S△BMH＝S四边形AGMO
，
∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3
，
∴CF＝
（k+3），EF＝
（8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2
，
∴
，
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣
（舍去），k2＝1．
∴AB＝12，
∴AO＝
AB＝6
，
∴⊙O的半径为6
．