第1章 三角形的初步认识单元测试卷（含解析）

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八年级上册数学
三角形的初步认识
单元测试卷
（满分100分）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列命题中，是真命题的是（　　）
A.
若x2-x=0，则x=0
B.
面积相等的两个三角形全等
C.
三角形的三条高线相交于三角形内一点
D.
成轴对称的两个图形是全等图形
如下图，a,b,c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（
）
A.
B.
C.
D.
如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，则下面三个结论:①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE中，正确的是（
）
A.
①②
B.
①③
C.
②③
D.
①②③
下列尺规作图的语句正确的是（
）
A.
延长射线AB到D
B.
延长线段AB至C，使AC=BC
C.
作直线AB=3cm
D.
以点D为圆心，任意长为半径画弧
现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根首尾顺次相接组成一个三角形，那么可以组成的三角形共有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（
）
A.
有一个解
B.
有两个解
C.
至少有三个解
D.
至少有两个解
如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD及AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE，则下列的结论中正确的有（　　）
①△BDF≌△CDE；②CE=BF；③△ABD与△ACD的面积相等；④BF∥CE．
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
点D是AB上一点，AD=3BD，DF交AC于点E，DE=EF，FC∥AB，S△ABC=24，则△CEF的面积是（　　）
A.
6
B.
8
C.
9
D.
12
已知下列命题:若|x|=3,则x=3;当a>b时,若c>0,则ac>bc;若>,则m>n;内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(?
?
?
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
如图，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，点P是AD上异于点A的任意一点，设PBm，PCn，AB，AC，则（???
）
A.
B.
C.
D.
无法判断
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
造房子时屋顶常用三角结构，是应用了______
；而活动挂架则用了四边形的______
．
命题“对顶角相等”是
________命题，用“如果…那么…”的形式改写________
已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简的结果为____
?
?____．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠ADE=
??°；
如图：△ABC中，∠A
=
30°，∠B
=
70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于D，则∠CDF=___________°.
如图,在△ABC中,∠A=
,BD平分∠ABC,且∠C=3∠CBD,则∠CDB=??????????.
如图,在折纸活动中,小明制作了一张纸片,点分别在边上,将沿着折叠压平,点落在处.若
,
则
??????.
在△ACB中，∠C=90°，AC=BC，点O为AB的中点，若点M在边AC上，点N在边BC的延长线上，满足：MN-AM=CN，则∠MON=______．
如图，已知△ABC，现将边BA延长至点D，使AD=AB，延长AC至点E，使CE=2AC．延长CB至点F，使BF=3BC，分别连结DE，DF，EF，得到△DEF，若△ABC的面积为36，则阴影部分的面积为______．
如图，锐角△ABC的高AD，BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，DF＝2，则S△ADC
=_________．
三、解答题（本大题共7小题，共40.0分）
某镇有三个村庄A、B、C如图排列，其中AB、BC、AC是乡道．现需要在△ABC内建立一所幼儿园，按照要求找出幼儿园的位置．请使用尺规作图完成下列练习，不写作法，保留作图痕迹．
（1）要求幼儿园到三个村庄的距离相等（图1）；
（2）要求幼儿园到三条乡道的距离相等（图2）．
如图，A，B，C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭M，使景点A、景点C到凉亭M的距离之和等于A，B之间的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点M．
如图，,，垂足为E。求的度数。
如图，在△ABC中，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，求∠D的度数。
如图,AB⊥AC,AB=AC,BD⊥EC于F，BD=EC。求证:AD⊥AE
如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：△PCQ为等边三角形．
如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝CD＝12cm，BC＝AD＝20cm，点P从点C出发，以4cm／s的速度沿CB由点C向点B运动，设点P的运动时间为ts．
（1）PB＝cm；（用含t的代数式表示）
（2）当△ABP≌△DCP时，t为何值？
（3）如图2，当点P从点C开始运动，同时，点Q从点C出发，以acm／s的速度沿CD向点D运动，当△ABP与△PQC全等时，请直接写出a的值，不用说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】B
【解析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
3.【答案】B
【解析】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.如图作EM⊥BC于M，首先证明△DEG≌△DFC，由此可以判断①③正确.设②错误，可以用反证法证明.
解：如图作EM⊥BC于M．
∵四边形ABCD是矩形，四边形EFDG是由四边形ABEF翻折，
∴∠ADC=∠GDF=∠C=∠G=90°，DC=DG=AB，AD=BC，
∴∠EDG=∠CDF，
在△DEG和△DFC中，
，
∴△DEG≌△DFC，故③正确，
∴DE=DF，故①正确，
②错误.假设DF=EF，∵DE=DF，
∴EF=DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DFE=60°，
∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，
这显然不一定成立，假设不成立，故②错误.
4.【答案】D
【解析】A.延长射线AB到D，错误，射线不能延长；
B.延长线段AB至C，使AC=BC，是辅助线的方法，故错误；
C.作直线AB=3cm，直线没有长度，故错误；
D.以点D为圆心，任意长为半径画弧，正确.
5.【答案】B
6.【答案】C
【解析】本题考查的知识是命题的否定，其中熟练掌握多性问题的否定思路：至多n个的否定为至少n+1个，是解答本题的关键.?
7.【答案】D
8.【答案】C
【解析】连接BE．
∵FC∥AB，
∴∠ADF=∠F．
∵∠AED=∠CEF，DE=EF，
∴△ADE≌△CEF．
∴AE=CE．
即E是AC的中点．
∵S△ABC=24，
∴S△ABE=12，
∵AD=3BD，
∴S△ADE=×12=9，
∴S△EFC=S△ADE=9，
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
若|x|=3,则x=3为假命题,其逆命题为真命题;
当a>b时,若c>0,则ac>bc为真命题,其逆命题为真命题;
若>,则m>n为真命题,其逆命题为假命题;
内错角相等为假命题,其逆命题为假命题.
10.【答案】A
【解析】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c，即大于1．
11.【答案】三角形的稳定性；不稳定性
12.【答案】真；如果两个角是对顶角，那么它们相等．
13.【答案】4
【解析】本题考查了三角形三边关系和绝对值化简，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求a的取值范围；再把绝对值化简.
14.【答案】42
【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先根据三角形内角和定理计算出∠B=66°，再根据折叠的性质得∠DEC=∠B=66°，然后根据三角形外角性质求∠ADE的度数．
15.【答案】70
【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义.根据三角形内角和定理得到∠ACB=80°，再根据角平分线的定义得到∠BCE=40°，根据垂直的定义得到∠BDC=∠DFC=90°，进而得到∠BCD=20°，∠FCD=20°，从而得到答案.
16.【答案】108°
【解析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，首先根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC+∠C=90°，然后根据角平分线定义和三角形内角和定理得出∠CDB的度数即可.
17.【答案】150°
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便.根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解.
18.【答案】45°
【解析】解：∵∠ACB=90°，点O为AB的中点
∴CO=AB=BO；
在线段BC上取点H，使CH=AM，连接OH，如图所示：
∵∠ACB=90°，AO=BO，
∴∠A=∠B=45°，∠ACO=∠BCO=45°，
在△AOM和△COH中，，
∴△AOM≌△COH（SAS）
∴OM=OH，
∵MN-AM=CN，∴NM=NH，
在△MON和△HON中，，
∴△MON≌△HON（SSS），
∴∠MON=∠HON，∴∠MON=∠MOH=∠AOC=45°
本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19.【答案】612
【解析】分别连接AF、DC、EB．
∵△DFA与△BFA等底同高，
∴S△DAF=S△BAF．
∵△ABC与△ACD等底同高，
∴S△ABC=S△ACD=36．
∴S△BDC=72，
∵CE=2AC．BF=3BC
∴S△DEC=2S△ACD=72，S△BAF=3S△ABC=108，S△BEC=2S△ABC=72，S△BEF=3S△BEC=216，S△DAF=108，
∴阴影部分的面积=S△BAF+S△DAF+S△ACD+S△DEC+S△BEC+S△BEF=612．
此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是分别连接AF、DC、EB，求出各三角形的面积．
20.【答案】5
【解析】此题考查三角形全等的判断及性质，考查三角形的面积，关键是利用全等三角形得出边DC与FD.
解：因为锐角△ABC的高AD，BE相交于F，
所以，
则，
又BF=AC，，
所以△FDB≌△CDA，
则CD=DF=2，DA=BD=7-2=5，
所以.
21.【答案】（1）如图1：
（2）如图2：
【解析】（1）幼儿园的位置按照设计要求，在△ABC的内部，且到A、B、C的距离必须相等，因此确定幼儿园的位置在线段AB、AC、BC的垂直平分线上，由此确定幼儿园的位置是三边垂直平分线的交点．
（2）幼儿园的位置按照设计要求，在△ABC的内部，且到AB、AC、BC的距离必须相等，因此确定幼儿园的位置在三角形三角的平分线上，由此确定幼儿园的位置是三角平分线的交点．
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由已知能够确定点P、Q具有的性质是解决问题的关键．
22.【答案】如图所示，点M即为所求：
理由：∵DE垂直平分线段BC，
∴MC=MB，
∴AM+CM=AM+BM=AB，
即景点A、景点C到凉亭M的距离之和等于A，B之间的距离．
【解析】本题考查应用与设计作图、线段的垂直平分线的性质等知识，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．连接BC，作BC中垂线与AB交点即为M．
23.【答案】解：∵∠B=38°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-38°-70°=72°，
∵AD平分∠BAC，∴，
∵CE⊥AD，∴∠AEC=∠DEC=90°，
∴∠ACE=90°-36°=54°，
∴∠DCE=70°-54°=16°.
即∠DCE的度数是16°.
【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，难度适中.
根据三角形的内角和定理可知∠BAC的度数，再根据角平分线以及垂直的性质可求出∠ACE的度数，继而得出∠DCE的度数.
24.【答案】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，∠ACD=∠ECD=∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠ACE＝∠A+∠ABC，即：∠ECD＝∠A+∠CBD，
∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠D＝∠A=×30°=15°．
【解析】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义．先根据角平分线的定义分别求出∠CBD=∠ABC，∠ECD=∠ACE，再根据∠ACE、∠ECD分别是△ABC和△DBC的外角，等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠D＝∠A，从而求出∠D的度数．
25.【答案】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∵∠AGB＝∠CGF，BD⊥EC于F,
∴∠BAC＝∠CFG＝90°
∴∠B=∠C，
在△CAE与△BAD中，
AC=AB,∠C=∠B，CE=BD，
∴△CAE≌△BAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC=90°，
∴AD⊥AE．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，首先由SAS可推△CAE≌△BAD，得到∠CAE＝∠BAD，进而得到∠DAE＝∠BAC，由AB⊥AC可推∠BAC＝90°，从而有∠DAE＝90°，由此即可得证．
26.【答案】证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACP和△BCq中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∴△PCQ为等边三角形．
【解析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
27.【答案】解：（1）（20-4t）；
（2）∵△ABP≌△DCP，
∴BP＝CP，
∴20－4t＝4t，解得t＝2.5
（3）①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB=12cm，∴PC=12cm，∴BP＝20-12＝8cm，
∴4t=12，解得：t=3，
CQ=BP=8cm，cm/s；
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，
∴cm，
4t=10，解得：t=2.5，
CQ=AB=12cm，a=4.8cm/s．
综上所述：当cm/s或4.8cm/s时△ABP与△PQC全等．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．
（1）根据P点的运动速度可得PC的长，再利用BC-PC即可得到PB的长；
（2）因为△ABP≌△DCP，所以当BP=CP时，据此即可解答；
（3）此题主要分两种情况①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，然后分别计算出t的值，进而得到a的值．
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精品试卷·第
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