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浙教版数学八年级上册2.5
逆命题和逆定理导学案
课题
2.5
逆命题和逆定理
单元
第二单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1.经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。2.了解逆命题、逆定理的概念。3.理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明。
重点
会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单的情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立。
难点
能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是通过举反例说明。
教学过程
课前预学
什么叫做命题？__________________________________________________________________命题的结构：命题由__________两部分组成。它的一般形式是“如果…，那么…”。命题有真有假，正确的命题是_________，错误的命题是_________。考虑两个命题：“飞机是会飞的交通工具”“会飞的交通工具是飞机"这两个命题有什么不同?它们都是真命题吗？
新知讲解
仔细阅读下表中的四个命题，填写下表。思考:命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例如，上表中，命题(1)与命题(2)，命题(3)与命题(4)都是_____________________.填表并思考：分别说明下表的原命题，逆命题以及真假。思考：每个命题都有逆命题吗？一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________做一做：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假。(1)长方形有两条对称轴(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具______________________________________________________________________________________________________________________________________________________例1
说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题。________________________________________________________________你能证明这个逆命题是真命题吗？已知:AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.【总结归纳】线段垂直平分线的性质定理：
____________________________________________________________线段垂直平分线性质定理的逆定理：
____________________________________________________________例2
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由。【总结归纳】________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂练习
1．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题为( )A．全等三角形的周长不相等B．周长相等的三角形全等C．周长相等的三角形不一定全等D．周长不相等的三角形不全等2．下列说法正确的是( )A．命题都有逆命题B．定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题3．能证明命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是假命题的反例是( )A．a＝1，b＝1
B．a＝3，b＝4C．a＝－3，b＝4
D．a＝－5，b＝24．锐角三角形ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( ).A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点5.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理(1)相等的角是内错角；(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．6．【
中考·宁波】下列真命题中，它的逆命题也是真命题的有( )①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③若两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a＝b，则a2＝b2；⑤等腰三角形两底角相等．A．①②
B．①⑤
C．③④
D．④⑤7.【
中考·连云港】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD交于点F.求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.答案：1.
B
2.A
3.C
4.D5.（1）解：逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理；（2）解：逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．6.B
7.证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE.又∵∠DBE＝∠ECD，∠BFD＝∠CFE，∴△BFD≌△CFE，∴BF＝CF.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC.
课堂小结
本节课你学到了什么?1.原命题、逆命题、互逆命题的概念.2.原定理、逆定理、互逆定理的概念.3.线段中垂线定理的逆定理.
板书
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精品试卷·第
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浙教版
初中数学
2.5
逆命题和逆定理
新知导入
什么叫做命题？
一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。
命题的结构：命题由条件和结论两部分组成。
它的一般形式是“如果…，那么…”。
命题有真有假，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题。
新知导入
考虑两个命题：“飞机是会飞的交通工具.”“会飞的交通工具是飞机"这两个命题有什么不同?它们都是真命题吗？
新知讲解
仔细阅读下表中的四个命题，填写下表。
命题
条件
结论
(1)两直线平行，同位角相等
(2)同位角相等，两直线平行
(3)如果a＝b，那么a2＝b2
(4)如果a2＝b2，那么a＝b
a＝b
a2＝b2
a2＝b2
a＝b
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
新知讲解
思考:命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
例如，上表中，命题(1)与命题(2)，命题(3)与命题(4)都是互逆命题.
新知讲解
填表并思考：
分别说明下表的原命题，逆命题以及真假。
命题
条件
结论
命题真假
(1)两直线平行，同位角相等
(2)同位角相等，两直线平行
(3)如果a＝b，那么a2＝b2
(4)如果a2＝b2，那么a＝b
a＝b
a2＝b2
a2＝b2
a＝b
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
新知讲解
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题.例如，上表中，命题(3)是真命题，而它的逆命题(4)是假命题.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
思考：每个命题都有逆命题吗？一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
新知讲解
做一做：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假。
(1)长方形有两条对称轴
(2)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具
（2）高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。
假命题
（1）有两条对称轴的图形是长方形。
假命题
新知讲解
例1
说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题。
逆命题是:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
你能证明这个逆命题是真命题吗？
新知讲解
已知:AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
（1）当点P在线段AB上，结论显然成立；
A
B
·
P
新知讲解
已知:AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
作PO⊥AB于点O.
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（等腰三角形三线合一）.
∴PO是AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
（2）当点P不在线段AB上时，
A
B
P
O
新知讲解
(这是一个真命题)
线段垂直平分线的性质定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
【总结归纳】
新知讲解
例2
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由。
解：逆命题是
：
“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”.
新知讲解
如图，在△ABC
和
△ABE
中，CD，EF
分别是△ABC
和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等。所以这个逆命题是假命题.
例2
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由。
新知讲解
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
【总结归纳】
课堂练习
1．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题为( )
A．全等三角形的周长不相等
B．周长相等的三角形全等
C．周长相等的三角形不一定全等
D．周长不相等的三角形不全等
B
课堂练习
2．下列说法正确的是( )
A．命题都有逆命题
B．定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
A
课堂练习
3．能证明命题“若a＞0，b＞0，则a＋b＞0”的逆命题是假命题的反例是( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝3，b＝4
C．a＝－3，b＝4
D．a＝－5，b＝2
C
课堂练习
4．锐角三角形ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( ).
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
D
拓展提高
5.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理
(1)相等的角是内错角；
解：逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理；
(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．
中考链接
6．【
中考·宁波】下列真命题中，它的逆命题也是真命题的有( )
①两直线平行，同旁内角互补；
②等边三角形是锐角三角形；
③若两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；
④若a＝b，则a2＝b2；
⑤等腰三角形两底角相等．
A．①②
B．①⑤
C．③④
D．④⑤
B
中考链接
7.【
中考·连云港】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD交于点F.
求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE.
又∵∠DBE＝∠ECD，∠BFD＝∠CFE，
∴△BFD≌△CFE，∴BF＝CF.
又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.原命题、逆命题、互逆命题的概念.
2.原定理、逆定理、互逆定理的概念.
3.线段中垂线定理的逆定理.
板书设计
课题：2.5
逆命题和逆定理
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教师板演区
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学生展示区
一、逆命题
二、逆定理
三、线段中垂线定理
作业布置
课本
P67
练习题
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