(共18张PPT)
平行四边形有哪些性质？
1.边:
2.角:
3. 对角线:
平行四边形两组对边分别平行.
平行四边形两组对边分别相等.
平行四边形两组对角分别相等.
平行四边形对角线互相平分.
温故知新
A
B
C
D
o
(1)
C
A
B
D
(2)
∥
∥
AB∥CD、AD∥BC
⑵如图（2）,当四边形ABCD满足 时它是一个平行四边形
温故知新
⑴如图（1）,若四边形ABCD是平行四边形,则AB CD，AD BC，你还能得出哪些结论
根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形，还有其它判定方法吗？
两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，使一
组对应边互相重合所得的图形一定是平行四边形吗？
这些四边形有什么共同特点（从边关系角度考虑）
合作学习
证明:如图,连接BD.
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）
又∵AD=BC,BD=BD
∴△ADB≌△CBD (SAS)
∴∠ABD=∠CDB（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
A
B
C
D
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
已知AD=BC，AB=CD，求证:四边形ABCD是平行四边形
（内错角相等，两直线平行）
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
证明：如图，连结AC，
∵ AB=CD，AD=BC （已知）
又∵ AC=AC （公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA
∴ AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
C
B
D
A
（全等三角形的对应角相等）
A
D
B
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理2：
∵ AB∥CD且AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=CD且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
或AB CD
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
平行四边形的三个判定方法
知识整理
从边看:
满足下列条件的四边形ABCD是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“×”。
√
√
√
×
×
√
A
B
C
D
1.AB=CD，AB∥CD （ ）
2.AB=CD，AD=BC （ ）
3.AB=BC，AD=DC （ ）
4.AB ∥ CD，AD ∥ BC （ ）
5.AB ∥ CD，AD=BC （ ）
6.∠A+∠B=180°,AD=BC ( )
A
B
C
D
例1、已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。求证：BE=DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
AD=BC
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴ED=BF,即ED BF.
∥
﹦
∴四边形EBFD是平行四边形
∴BE=DF
(平行四边形的对边平行且相等)
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(平行四边形的对边相等)
例2、已知，如图，在 ABCD中，点E、F
分别是边AB、CD的中点。 求证：EF//AD//BC
A
B
C
D
E
F
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB=CD
∵点E、F分别是边AB、CD的中点
∴AE∥DF 且AE=DF
∴ 四边形AEFD是平行四边形
∴ AD∥EF
∴EF//AD//BC
证明：
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
A
E
B
C
D
F
1、已知，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形
求证：四边形BCFE是平行四边形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且 AD=BC ；
同理AD∥EF且AD=EF
∴ BC∥EF且BC=EF
∴四边形BCFE是平行四边形
练一练
2.已知，如图，AD∥BC，且AB=CD=5，AC=4，BC=3；
求证：AB∥CD.
C
D
A
B
温馨提示：可利用勾股定理及其逆定理解题
证明：∵在△ABC中AB=5，AC=4，BC=3
∴∠ACB=90o
∵ AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=90o
∵CD=5， AC=4，∴AD=3
∴AD∥BC 且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD.
3、在 ABCD中，已知 AE＝CF， BG＝DH．EB与AH、GC分别交于M、N，DF分别与AH、GC交于Q、P。你能在图中找出所有除ABCD外的平行四边形吗？
答: AGCH BFDE MNPQ
D
A
B
C
E
F
例3、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形
∴AD∥ BC且AD =BC
∴△AED ≌ △CFB(SAS)
∴ DE=BF
∴ 四边形BFDE是平行四边形
同理可证：BE=DF
∵四边形ABCD是平行四边形
证明：
∵AE=FC
∴∠EAD=∠FCB
1、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在边AD、BC上，连接AF交BE于G，连接CE交DF于H, 求证：EF和GH互相平分。
做一做
2、如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE=CG，AH=CF，
求证：四边形EFGH是平行四边形。
做一做
1.本节课知识点归纳：判定平行四边形的三种方法：
判定定理1：一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形.
判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
1)解决一个数学问题,常要通过”动手实践”-----”
大胆猜想”-----”验证猜想(证明)”-----”得出结论”
2.本节课所学的解决问题的思路是:(共14张PPT)
5.5 平行四边形的判定（2）
平行四边形有哪些性质？
Ⅰ.边:
Ⅱ.角:
Ⅲ. 对角线:
平行四边形对角线互相平分.
D
A
C
B
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
从边看:
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？
平行四边形对边平行且相等
平行四边形对角相等、邻角互补
A
C
O
B
D
已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，
且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ,
求证：四边形ABCD是平行四边形
平行四边形判定定理4：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：∵OA=OC，OB=OD,∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
从边看:
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从对角线看:
两组对角线互相平分
例2 已知：如图，在 ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ
上的两点，且BＥ＝ＤＦ．
求证：四边形AECF是平行四边
F
E
D
C
B
A
O
讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？
大概的步骤是怎样的？
例1：已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF 求证：四边形AECF是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
O
证明:
连结AC,交BD于点O
∵AB∥CD
在 ABCD中，BO=DO，
AO=CO
∴∠ABE=∠CDF
又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD
∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO
∴四边形AECF是平行四边形
1、已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F是对角线 BD上的两点，且OE=OF 求证：四边形AECF是平行四边形
A
B
C
D
E
F
O
定义: 两组对边分别平行的四边形是 平行四边形
定理1: 一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
D
A
B
C
O
E
G
F
H
2、如图，在 ABCD中，E，F是
对角线AC上的两个点；G，H是
对角线BD上的两个点，已知AE=CF，
DG=BH，求证：四边形EHFG是平行四边形
如图：在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；
G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,
求证：四边形EHFG是平行四边形.
O
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：
在 ＡＢＣＤ中，
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ
∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形
如图
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
A
B
C
D
x
y
o
-1
-1
1
1
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ
连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α
A
B
C
D
O
α
探究活动
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么 再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗 试证明你的发现。
发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。
E
已知：如图，AD是⊿ABC的中线，
求证：2AD
证明：
如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC.
∵BD=CD,
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。
∵AC+CE>AE,
∴AB+AC>2AD,
即2ADD
C
B
A
见中线延长一倍
从边看:
平行四边形的五个判定方法
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从对角线看:
两组对角线互相平分
平行四边形的性质定理和判定定理
条 件 结 论
性质
定理
判定
定理
1
四边形是平行四边形
两组对边平行且相等
四边形是平行四边形
对角线互相平分
2
1
2
3
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
两组对边分别相等
对角线互相平分
一组对边平行并且相等
平行四边形的对角相等、邻角互补
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形