(共16张PPT)
A
D
C
B
∠BAD
=∠CAD
将△ABC的两边AB、AC重合，得到折痕AD，量一量∠BAD
和∠CAD
有什么关系？
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
C
A
D
B
如图，∠BAC的平分线交BC于点D，线段AD就是ΔABC的一条角平分线。
A
B
C
D
几何语言：
（1）三角形的角平分线是一条线段；
（2）三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质。
∵AD是△BAC的角平分线
∴∠BAD＝∠CAD=
∠BAC
任意画一个三角形，
然后利用量角器画
出这个三角形的三
条角平分线，你有
什么发现？
三角形的三条角平分线会交于同一点，称之为三角形的内心．
A
D
C
B
任意画一个三角形，用刻度尺
画BC的中点D，连接AD。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
A
C
D
B
如图，D为BC的中点，
线段AD就是ΔABC的
BC边上的中线。
几何语言：
∵AD是△BAC的中线
∴BD＝CD=
BC
任意画一个三角形，
然后利用刻度尺画
出这个三角形的三
条中线，你有什么
发现？
三角形的三条中线会交于同一点，称之为三角形的重心．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高
∵
AD
⊥
BC
∴
AD是△
ABC的BC边上的高
A
B
C
D
∵
AD是△
ABC
的BC边上的高
∴
AD
⊥
BC
一个三角形
有几条高？
.
.
.
.
.
.
用三角尺分别作如下锐角三角形ABC,直角三
角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
观察你所作的图形,比较三个三角形中三
条高的位置,与三角形之间有什么关系?
A
C
B
E
F
D
R
Q
P
高
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
条数
位置
垂足
交点
图形
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
3
3
3
都在三角
形内部
直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部
夹钝角两边上的高在三角形外部，另一条高在内部
在相应顶点的对边上
①是直角的顶点
②在斜边上
①在相应顶点的对边的延长线上
②在钝角的对边上
在三角形内部
在直角顶点
在三角形外部
如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线。已知∠BAC＝80°，∠C＝40°，求∠DAE的大小。
E
D
C
B
A
55°
例2
在△ABC中，AE，AD分别是BC边上
的中线和高。说明△ABE的面积与
△AEC的面积相等。
解：
∵
AE是BC边上的中线
∴
BE
=
EC
∵
A
D
E
C
B
S
△ABE=
BE
·
AD
S
△AEC=
EC
·
AD
∴
S
△AEC
S
△ABE
=
三角形的中线将三角形分成面积相等的两等份
C
A
B
D
如图，AD是△BAC的角平分线。已知∠B＝48°，∠C＝63°，求下列各角的度数：（1）∠BAD；（2）∠ADB
变式1：
如图，CD是∠
ACB的平分线,∠A＝30°，∠ACB＝90°，求∠BDC的度数。
变式2：
在
△ABC中,∠ABC=
∠C=2
∠A,
BD是∠
ABC的平分线，求∠A与
∠ADB的度数。
数形结合思想、方程思想
与角平分线有关的计算
3.
试把一块三角形煎饼分成大小相同
的4块，有多少种分法？
课堂达标
课外延伸
如图，在ΔABC中，∠A=
，
∠
ABC，∠
ACB的平分线交于点O，则∠
B0C的度数为
α
60°
变式：如图，CE,CF分别是ΔABC的内角平分线和外角平分线，求∠
ECF的度数.
整体思想(共19张PPT)
儿：爸爸，什么是法盲？
父：法盲就是法国的盲人。
儿：啊！隔壁陈阿姨说你是法盲。
`````````
可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行。
人们在进行各种沟通、交流时常需要用许多名称和术语，为了不产生歧义，对这些名称和术语的含义必须有明确的规定：
例如
（1）商店以比原来标价低的价格出售商品叫做
；
（2）单位体积内所含有某一物质的质量叫做
；
（3）在同一平面内不相交的两条直线叫
。
请尝试说出“法盲”的定义
打折
密度
平行线
例如: 1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”
是“
”的定义;
可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行。
一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2、
“两点之间
线段的长度,叫做这两点之间的距离”
是“
”的定义;
两点之间的距离
中华人民共和国公民
请说出下列名词的定义：
（1）无理数：
（2）直角三角形：
（3）压强：
（4）频率：
无限不循环小数叫做无理数。
有一个角是直角的三角形叫做
直角三角形。
单位面积所受的压力叫做压强。
每一组频数与数据总数（或实验总次数）的比叫做这一组数据（或事件）的频率
相信自己行，你就行！
（1）分式：分母含有字母的代数式，叫分式。
（2）一元二次方程：含有一个未知数，且未知数最高次数是一次的整式方程。
（3）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首
尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
a
b
你认为线段a与线段b哪个比较长？
线段a比线段b长。
线段b比线段a长。
线段a与线段b一样长。
一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
比一比下列句子在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
⑴对顶角相等；
⑵画一个角等于已知角；
⑶两直线平行，同位角相等；
⑷a、b两条直线平行吗？
⑸可爱的李明明。
⑹玫瑰花是动物。
⑺若a2＝4，求a的值。
⑻若a2＝
b2，则a＝b。
（9）鸟是动物；
不是
是
不是
不是
是
不是
是
是
是
2）两条直线相交，有且只有一个交点（
）
4）一个平角的度数是360度（
）
6）取线段AB的中点C；（
）
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（
）
7）画两条相等的线段（
）
判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×
表示。
3）不相等的两个角不是对顶角（
）
5）相等的两个角是对顶角（
）
×
√
×
×
√
√
√
命题：
人 是 动物．
命题的再认识
粉笔 是 动物．
鸟 是 植物．
命题：
两直线平行，同位角相等．
条件
结论
数学上学习的命题可看作由条件
和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
命题的结构
这样的命题可以改写成“如果……那么……”的形式。
例 1
（1）等底等高的两个三角形面积相等．
条件：两个三角形等底等高
结论：这两个三角形面积相等．
如果两个三角形等底等高，
那么这两个三角形面积相等．
改写：
指出命题的条件和结论，并改写成“如果…,那么…”的形式：
（2）对顶角相等．
条件：两个角是对顶角，
结论：这两个角相等．
指出命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
改写：
例题
（3）同位角相等，两直线平行。
条件：两条直线被第三条所截得的同位角相等
结论：两直线平行．
如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，
那么这两直线平行．
改写：
指出命题的条件和结论，并改写成“如果…,那么…”的形式：
例 题
请给下列图形命名，并给出名称的定义．
课内练习1
三条线段首尾顺次相连组成的图形叫做三角形．
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形
下列句子哪些是命题？哪些不是命题？
课内练习2
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短。
（3）
不是无理数
（4）作一条直线和已知直线垂直。
不是命题
是命题
是命题
不是命题
课内练习3
找出命题的条件和结论，并改写成“如果…,那么…”的形式：
（1）绝对值相等的两个数相等。
（2）直角三角形的两个锐角互余．
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．
如果两个角是直角三角形的两个锐角，
那么这两个角互余．
课内练习4
请你说出一个数学中的命题，让你的同桌改写成“如果…，那么…”的形式．
小
结
提命题让我们的社会发展，进步．
下定义让我们的世界规范，和谐．
规定意义
已知
已知
命题：
推出
条件
（已知）
结论
（未知）
定义：(共13张PPT)
(1)什么是定义?
(2)什么是命题?
一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.
一般地,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
命题
可看做由题设(或条件)和结论两部分组成.
命题由哪两部分组成?
1.同角的余角相等。
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。
找出下列命题的条件和结论.
2.直角三角形两个锐角互余。
如果两个角是直角三角形的两个锐角，那么这两个角互余。
3.内错角相等，两直线平行。
4.内错角相等。
两条直线被第三条直线所截，
如果两个角是内错角，那么这两个角相等。
如果内错角相等，那么两直线平行。
8.
对于任何实数
x,
x2
＜0.
如果x为任何实数，那么x２
＜0.
5.
三角形的两边之和大于第三边.
6.
三角形的三个内角的和等于180°.
7.
两点确定一条直线.
如果
是三角形的两边之和，那么
大于第三边.
a+b
a+b
如果
是三角形的两边，那么这两边的和大于第三边.
a，b
如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.
如果经过两点，那么有且只有一条直线.
找出下列命题的条件和结论.
8.
对于任何实数
x,
x2
＜0.
5.
三角形的两边之和大于第三边.
6.
三角形的三个内角的和等于180°.
7.
两点确定一条直线.
1.同角的余角相等。
2.直角三角形两个锐角互余。
3.内错角相等，两直线平行。
4.内错角相等。
上述命题中,哪些正确?哪些不正确?
（×）
（×）
请写出2个命题，一个是真命题，一是假命题。
请补充一个条件或结论，使它成为真命题
1.
若a>0
、b>0，则
2.
两直线平行.
3.如果两个角的两边互相平行，那么这两个角
。
正数
或零
相等
或互补
4.
绝对值等于它本身的数是
。
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
假命题
假命题
说明假命题的方法：
举反例
反例要具有命题的条件，而不具有命题的结论。
假命题
（3）
（a为实数）
判断下列命题的真假，并说明理由。
（4）三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等。
F
E
A
B
C
D
变式一“x，y是实数，若x
≥
y，则x2
≥
y2”
是真命题还是假命题？
变式二：改变变式一的条件或结论使之变成真命题.
“x是任何实数，则x2
+1＜0”是真命题还是假命题？
x，y是实数，若x
≥
y≥0，则x2
≥
y2
x，y是实数，若x
≥
y，则
x-y≥
0
变条件
变结论
判别下列命题的真假,并说明理由:
(1)已知∠1
和∠
2
如图,则∠1＞∠2;
⌒
⌒
1
2
(2)会飞的动物是鸟.
(真命题)
(假命题)
可以举反例
(真命题)
可以检验
可以度量或叠合
(4)两点之间线段最短;
(真命题)
人们经过长期实践后公认为正确的命题，这些命题称为基本事实。
作为判断其他命题的依据。
（5）对顶角相等
∵∠1＋∠3＝180°
∠2＋∠3＝180°
∴∠1＝∠2
1
3
2
推理
(真命题)
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
基本事实：公认为正确的命题叫做基本事实。
定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
定理（举例）：对顶角相等；三角形的三个内角的和等于1800
；
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和……(可以直接引用作为证明的依据)
基本事实（举例）：
1、两点间线段最短。
2、两点可以确定一条直线
3、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
。
4、两直线平行,同位角相等。
5、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
基本事实、定理、真假命题、命题之间的关系:
命题
真命题
假命题（举反例）
基本事实（公认为正确）
定理（推理）
其它不常用的真命题(推理)
推理的依据：基本事实、定义、定理
命
题
命题、真命题、假命题、基本事实、定理之间的关系
真
命
题
假
命
题
基本事实
定义定理
判断下列命题的真假
1.
定理都是真命题
2.
真命题都是定理
3.
基本事实都是命题
4.
真命题都是基本
事实
真
假
真
假(共13张PPT)
复习
现阶段我们在数学上学习的命题由几类？
命题的分类
真命题
（包括定义、公理和定理）
假命题
a
b
一、目测（直观）
错觉！
通过观察,先猜想结论,再动手验证:
如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行?
直观是重要的,但它
有时也会骗人.
二、列举
举不胜举！
当n=6时，
n2-3n+7
=25不是素数
当n=0,1,2,3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是7,5,5,7,11,它们都是素数．那么,命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是素数”是真命题吗?
比一比
图中线段AB与线段CD,哪条长?
若这两条线段是方格纸（单位长度为1）中的格点线段，则应如何比较长短？
测量
有误差
A
B
D
C
F
E
如何判断一个命题是真命题？
二、列举
举不胜举！
一、目测（直观）
错觉！
三、测量
存在误差！
通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做
证明
。
证明
最可靠
根据已知
依据已学
步步递推
证实判断
证明的步骤
一、
已知：如图，DE∥BC，
∠1=∠E.
求证：BE平分∠ABC
证明：∵DE
//
BC
（
）
∠2=
∠E
（
）
∵
∠1=
∠E（
）
∴BE平分∠
ABC
（
）
已知
两直线平行，
内错角相等.
已知
角平分线的意义
逆思顺写
∴
∠1=
∠2
D
C
B
A
2
1
E
二、如图，
AB∥CD，EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE.
求证：∠PEF+∠PFE=90°
P
D
C
B
A
F
E
证明:
∵EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE
(已知)
∴∠PEF=
∠BEF
∠PFE=
∠DFE（角平分线的意义）.
∵
AB∥CD
(已知)
∴∠BEF+∠DFE=180°
(两直线平行，同旁内角互补）
∴
∠PEF+∠PFE=
∠BEF+
∠DFE
=
（
∠BEF+∠DFE）=90°
三、已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,
∠1=∠2.
求证:∠B=∠ADE
）
（
A
B
C
D
E
1
2
四、已知:如图,
∠ACD=2∠B,CE平分∠ACD.
求证:CE∥AB
A
B
C
D
E
）
1
（
2
五、已知：如图，直线EF，GH被直线MN所截，AB⊥GH,
B为垂足，∠1=∠2.
求证：AB⊥EF
M
H
F
C
B
A
2
1
N
G
E
六、已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
D，E分别是AB，AC上的点，且∠ADE=∠AED.
求证：DE//BC
E
D
A
C
B
观察有错觉
测量有误差
说理要严密
小结
根据已知
依据已学
步步递推
证明要严谨
证实判断
严格性之于数学家，犹如道德之于人
——罗素(共17张PPT)
A
B
C
对于三角形，我们已经有哪些认识？
合作探索
定义
分类
内角和
…………
三角形的三个内角的和等于180°.
例1、求证：
A
B
C
已知：
求证：
如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
∠A+∠B+∠C=180°
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。
A
C
B
图1
B
A
C
图2
BA
C
图3
BAC
图4
例1、求证：三角形三个内角的和等于180?.
1
1
2
A
B
D
2
3
C
1
2
实验2：
将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。
在证明三角形内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。他的想法可行吗？
A
B
C
E
D
证明 过点A作DE∥BC.则
∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE
＝∠DAE＝180?（平角的定义）
你还有其他的证明方法么？
辅助线
已知：如图，
△ABC.
求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ=180°
A
B
C
1
2
D
E
证明:
作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则
∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°
∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°
关于辅助线：
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形；
(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
(3)在“证明”中写出推理过程.
依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论：
已知：
求证：
证明：
如图，∠ACD是△ABC的一个外角
∠ACD
=∠A+∠B
A
B
C
D
1、在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°，∠B=50°，则∠C=
°，请说明理由.
2、如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断.
A
B
C
D
70
B
A
C
D
E
1
2
3
做一做
三角形的外角还有什么关系？
三角形不共顶点的三个外角的和等于360°
例4
已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.
求证AB∥DE
本节课你学到什么？
探究：如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是
△ABC的两条角平分线，相交于点O。
（1）当∠ABC=60O,∠ACB=80O时，求∠BOC的度数
（2）当∠A=40O时，求∠BOC的度数
（3）当∠A=100O,120O时，求∠BOC的度数
（4）当∠A=
时，求∠BOC的度数
(用含
代数式表示）(共18张PPT)
（1）
（2）
（3）
（4）
能够重合的两个图形叫做全等图形.
全等图形的形状和大小完全相同.
形状相同,但大小不同,
因此它们不是全等图形.
能够重合的两个三角形叫做全等三角形.
A
B
C
A
B
C
1、互相重合的顶点叫对应顶点
2、互相重合的边叫对应边
3、互相重合的角叫对应角
记作：
ABC≌
A`B`C`
A`
B`
C`
△ABC与△A`B`C`全等
注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
练习
1.
如图已知:
△AOB≌△COD.
A
B
C
D
O
(1)对应点是:＿＿＿＿,
＿＿＿＿,
＿＿＿＿.
(2)
对应边是:＿＿＿＿,
＿＿＿＿,
＿＿＿＿.
(3)
对应角是:＿＿＿＿,
＿＿＿＿,
＿＿＿＿.
2.
如图已知△ABC≌△DCB.
A
B
C
D
(1)对应点是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
(2)对应边是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
(3)对应角是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
点A和点C
点O和点O
点B和点D
AB和CD
AO和CO
BO和DO
∠A和∠C
∠B和∠D
∠AOB∠COD
点A和点D,
点B和点C,
点C和点B
AB和DC,
AC和DB,
BC和CB
∠A和∠D,
∠ABC和∠DCB,
∠ACB和∠DBC.
叫做公共边
A
B
C
D
E
F
3.
如图△ABC≌△DEF.
BC的对应边是＿＿;
∠ACB的
对应角是＿＿＿.
DF的对应
边是＿＿.
4.
如图△ABC≌△ADE.
A
B
C
D
E
∠ACB的对应角是＿＿＿;∠A的对应
角是＿＿＿;
AC的对应边是＿＿;
DE的对应边是＿＿.
EF
∠DFE
AC
∠AED
∠A
AE
BC
叫做公共角
例题
如图,
AD平分∠BAC,
AB=AC.
问:
△ABD与
△ACD全等吗?
BD与CD相等吗?∠B与∠C呢?请说明
理由.
A
B
C
D
1
2
解:
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
把△ABD沿AD翻折,
由于AB=AC,得到:
AB与AC重合.
∴△ABD≌△ACD
∴BD=CD,
∠B=∠C.
(全等三角形的对应边相等,
对应角相等)
射线AC与射线AB重合，
5.
如图,
△ABD≌△CDB.
(1)
对应顶点是:＿＿＿＿,＿＿＿＿,＿＿＿＿＿;
(2)对应边是:＿＿＿＿,＿＿＿＿,＿＿＿＿＿;
(3)对应角是:＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿.
A
B
C
D
点A和点C
点B和点D
点D和点B
AB和CD
AD和CB
BD和DB
∠A和∠C
∠ABD=∠CDB
∠ADB=∠CBD
根据全等三角形的概念:
能够互相重合的三角形叫做
全等三角形.
所以得到:
★★★全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,
对应角相等.
问题
A
B
C
E
F
全等三角形的对应边相等
1.
如图,△ACF≌△ABE,
AB=6cm,
AF=2cm.
理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
∠C=28°,则AC=＿＿cm
,AE=＿＿cm,∠B=＿＿度.
2
28
6
2.
如图,△ABC≌△ADE,
且∠BAC=30°,
∠E=55°,
则∠EAD=＿＿＿,∠C=＿＿＿.
A
B
C
D
E
30°
55°
理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
全等三角形的对应角相等
3.
已知△ABC≌△DEF,
A与D,B与E分别是对应顶点,
∠A=50°,∠B=70°,BC=15cm,则∠F=＿＿,EF=＿＿cm.
∠C=180°-50°-70°
=60°
A
B
C
D
E
F
60°
15
4.
如图,已知△ACE≌△DBF,
下列结论中正确的
个数是(
)
E
A
C
D
F
B
1
2
①AC=DB;
②AB=DC;
③∠1=∠2;
④BC=AE;
⑤
5.
如图,△ABC≌△ADE,
则∠DAE=＿＿＿,
A
B
C
D
E
若∠D=∠B,
∠DAB=＿＿＿.
√
√
√
×
√
∠BAC
∠EAC
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
C
6.
如图,在正方形网格上有一个△ABC.
(1)作一个与它全
等的三角形;
(2)如每一个小正方形的边长为1,
则△ABC
的面积是＿＿＿.
A
B
C
D
E
F
2×4-
×2×2
-
×1×2-
×1×4
=8-2-1-2=3
3
7.
已知△ABC≌△DEF,且BC=EF,∠C=∠F,∠D=50°,
∠E=42°,
AB=10cm,
求∠C和DE.
A
B
C
D
E
F
50°
42°
10
解:
∵△ABC≌△DEF
∴∠F=180°-50°-42°
=88°
∵∠D=50°,∠E=42°
∴∠C=∠F=88
∴DE=BC=10cm
(为什么?)
(为什么?)
同学们，通过这节课你自己的努力，你获得了全等三角形的那些知识？
提高题
1、如图,
△ABC≌△ABD,
∠DAC=80°,点C,
B,
D在
一条直线上.
(1)
求∠C的度数;
(2)
判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
A
C
B
D
解:
∵△ABC≌△ABD
∴∠C=∠D
∵∠C+∠D+∠DAC=180°
∴2∠C=180°-80°=100°,
∴∠C=50°
解:
∵△ABC≌△ABD
,
∴∠ABC=∠ABD
∵∠ABC+∠ABD=180°,
∴2∠ABC=180°,
∴∠ABC=90°
∴
AB⊥CD
2、如图,△ABD≌△AEC,∠B
与∠
E是对应角,
AB与AE是对应边,BC与ED相等吗？为什么？
B
C
E
D
A
解：相等。理由如下：
∵△ABD≌△AEC
∴BD=
EC
∴
BD
-
DC=
EC
–
DC
即
BC=
ED(共22张PPT)
①AB=DE
②
BC=EF
③
CA=FD
④
∠A=
∠D
⑤
∠B=∠E
⑥
∠C=
∠F
A
B
C
D
E
F
2、
什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫
全等三角形。
3、
全等三角形有什么性质？
1、什么叫全等图形？
能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
全等三角形对应边相等，对应角相等。
若△ABC
≌△DEF
，则有六个等量关系成立.
反之，是否一定要满足上述六个条件,才能保证
这两个三角形
全等呢？
A
B
C
至少需要几个条件，才能保证这两个三角形
全等呢？
已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm，
7cm，你能画出这个三角形吗？
画法：
1、画线段AB=4cm；
2、分别以A、B为圆心，5cm和7cm长为半径画两条圆弧，交于点C；
3、连结AC、BC；
△ABC就是所求的三角形。
把所画的三角形与其他同学比一比，发现了什么？
A
B
C
E
F
G
有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)
AC=EG
ABC
≌
EFG
AB=EF
BC=FG
（SSS）
在△ABC和△EFG中
用
数学语言表述：
例1、
如图,
在四边形ABCD中,已知:AB=CD,
AD=CB.
求证:
∠A=∠C.
A
B
C
D
分析
要证明∠A=∠C,需先证明△ABD和△CDB全等,
然后由全等
三角形的性质定理得到结论.
注意观察图中的公共角,公共边,对顶角.
证明:
在△ABD和△CDB中,
AB=CD
AD=CB
BD=DB
∴△ABD≌△CDB
(已知)
(已知)
(公共边)
(SSS)
∴∠A=∠C
(全等三
角形的对应角相等)
变式
做一做
有一些长度适当的木条，用钉子把它们分别钉成三角形和四边形，并拉动它们。
三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形的形状会改变。
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形
状和大小就确定，三角形的这个性质叫
三角形的稳定性。
三角形的稳定性举例
例2、
已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD，并说明正确的理由。
以上是角平分线的尺规画法
B
A
C
作法：
1、以点A为圆心，适当的长为半径，与角的两边分别交于E、F两点。
3、过点A、D作射线AD。
射线AD为所求的平分线。
2、分别以E、F为圆心，大于
EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠BAC内一点D。
请同学们说说理由
练一练：
已知∠α，用直尺和圆规作∠
α的平分线（只要求作出图形，并保留作图痕迹）
α
3.
如图,
AD=BC,
AC=BD,
AC与BD相交于点E,
则下列
中:
①∠1=∠2;
②∠3=∠4;
③AE=BE;
④CE=DE;
⑤△ADE≌△BCE.
其中正确的有
(
)
(A)
2个
(B)
3个
(C)
4个
(D)
5个
A
B
C
D
E
1
2
3
4
D
√
√
√
√
√
△DAB≌△CBA
(
理由?
)
请同学们谈谈本节课的收获与体会
本节课你学到了什么？
发现了什么？
有什么收获？
还存在什么没有解决的问题？
知识运用
1.
如图,
已知△ABC中,AD=AE,
AB=AC=BE=CD,
求证:
△ABD≌△ACE.
A
B
C
D
E
证明:
学生自己写出过程.
BE-DE=CD-DE
BD=CE
分析:
BD=CE
2.
如图,
在△ABC中,AB=AC,
AD是BC边上的中线,则
AD⊥BC.
A
B
C
D
解:
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
AB=AC
(
)
BD=CD
(
)
AD=AD
(
)
已知
已证
公共边
∴△ABD≌△ACD
(
)
SSS
∴∠ADB=∠ADC
(
)
全等三角形的对应角相等
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC
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理解提升：
1.下列判断，其中正确的是（
）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个等边三角形全等
D．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
2．如图1，已知AB=AD，如果要判定△ABC≌△ADC，则需增加条件______________．
C
2．如图2，已知AB=CD，AD=BC，说出∠1=∠2的理由．
解：在_______和_______中
图1
∴____________（
）
∴∠1=∠2（
）
BC=CD
△ABC
△CDA
AB=CD
已知
AD=BC
已知
AC=CA
公共边
△ABC≌△CDA
SSS
全等三角形对应角相等
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3．如图，已知△ABF≌△DEC，且AC=DF，说明△ABC≌△DEF的理由．
解：∵△ABF≌△DEC
∴AB=________
BF=________
又∵BC=BF+_________，EF=CE+________．
∴BC=_________．
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（
）
DE
CE
FC
FC
EF
AB=DE（已证）
BC=EF（已证）
AC=DF（已知）
SSS
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4．如图，△ABC和△DBC中，AB=CD，AC=BD，AC和DB相交于O，说出∠1=∠2的理由．
AB=CD(已知）
AC=BD（已知）
BC=CB（公共边）
∴
△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）
∴∠DBC=∠ACB
（全等三角形对应角相等）
∵∠1=∠ABC-∠DBC，∠2=∠DCB-∠ACB，∴∠1=∠2
练习
1.
如图,点B,
E,
C,
F在同一条直线上,
且AB=DE,
AC=DF,
BE=CF.求证:△ABC≌△DEF.
A
D
B
E
C
F(共18张PPT)
自主
合作
探究
互动
如图，已知：AB=CD，BC=AD，求证：∠A=∠C。
A
C
B
O
D
回顾：
1.两个三角形全等的判定方法一.（SSS）
2.会用“尺规法”画一个角的平分线
要判定两个三角形全等还有其它方法吗?
将你画出的三角形与你的同伴所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？
由此，你得到了什么结论？
4
6
A
B
C
4
6
A′
B′
C′
画△ABC，使∠B=50°，AB=4cm,
BC=6cm
.
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ＳＡＳ”）
表述如下：
Ａ
Ｂ
Ｃ
?注
意
这个角一定要是两条边的夹角
∴
△ABC≌△A′B′C′
(SAS)
以2.5cm，3cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为45°
，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
C
B
D
F
E
2.5cm
3cm
45°
45°
3cm
2.5cm
结论：两边及一角相等，两个三角形不一定全等
1.在下列图中找出全等三角形
1
?
30?
8
cm
9
cm
6
?
30?
8
cm
8
cm
Ⅳ
4
8
cm
5
cm
2
30?
?
8
cm
5
cm
5
30?
8
cm
?
5
cm
8
8
cm
5
cm
?
30?
8
cm
9
cm
7
Ⅲ
?
30?
8
cm
8
cm
3
练习一
OA=OC
，OB=OD
A
B
C
D
O
（已知）
（对顶角相等）
（已知）
（SAS）
你还能找到什么条件？
例3 如图ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ．已知ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ．求证：
．
如图，点D、E分别在AC、AB上。已知AB=AC，AD=AE，求证：BD＝CE。
A
E
D
B
C
生活中的数学
如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长就知道内槽AB的宽。请说明理由。
A
B
Aˊ
Bˊ
O
如图，直线
⊥AB，垂足为O且OA=OB，点C是直线
上任意一点，求证：CA=CB。
B
A
C
O
垂直平分线定义
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
∵
OC⊥AB
OA=OB
∴
OC是线段AB的垂直平分线
A
B
C
l
O
点C是线段AB的垂直平分线上的特殊的
点，还是任意的点？由此你能得到什么结论？
线段垂直平分线
上的点到线段两端的距离相等。
（中垂线的性质）
证明：当点C与点O重合时，
已知OA=OB，显然CA=CB；
当点C与点O不重合时，
OA=OB
∠COA=∠COB
OC=OC
在△COA与△COB中
∴△COA≌△COB（
SAS）
∴CA=CB
（全等三角形对应边相等）
∵直线
⊥AB
∴∠COA=∠BOC=90°
A
C
B
D
如图，AC是线段BD的垂直平分线，求证：
≌
。
补充练习：
①.
如图(1)，
△ABC中，BC=10cm，AB的中垂线交于BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长是______.
A
B
C
D
E
②
如图(2),
△ABC中,DE垂直平分AC,AE=2cm,
△ABD的周长是9cm,则△ABC的周长是_______.
A
B
C
D
E
知识源于悟
自我反思
2、
线段垂直平分线的概念
1、三角形全等的判定方法二：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
3、
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
哎,闯祸了！
星期天，小刚在家玩篮球，不小心将一块三角形玻璃摔坏了（如图所示）。情急之中，小刚量出了AB、BC的长，然后便去了玻璃店，他想重新裁得一块和原来一样的三角形玻璃。小刚能如愿吗？
想一想：
很快的，小刚到了玻璃店。不过，店员告诉他，虽然已经有了两边的长，但还是不能重新裁得一块和原来一样的三角形玻璃。于是，小刚向家里的弟弟打电话。请问：
小刚最少还需询问几个数据就
能如愿，数据可以是_______。(共10张PPT)
三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)
回顾与思考
三角形全等的判定1：
三角形全等的判定2：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
?注
意
这个角一定要是两条边的夹角
小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？
所带的这块玻璃里有几个条件已知？
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？请用量角器和刻度尺画ΔABC，使BC=3，
∠B=450、
∠C=600
将你画的三角形与其他同学画的三角形比较，你发现了什么？
C
B
A
600
450
3cm
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）
合作学习：
A
B
C
A/
B/
C/
∴ΔABC≌ΔA?B?C?（ASA）
在△ABC和△A?B?C?中
∠B=∠B?
BC=
B?C?
∠C=∠C?
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）
数学语言表示：
在△ABC和△ADE中
∠C=∠E (已知)
AC=
AE
(已知)
∠BAC=∠DAE
∴ΔABC≌ΔADE（ASA）
例4.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠E，AC=AE.求证：△ABC≌△ADE
2
1
E
D
C
B
A
证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE
在△ABE和△DCF中
∠A=∠D (已知)
AB=
DC
(已知)
∠B=∠C
∴ΔABE≌ΔDCF（ASA）
例5.已知，如图，点B，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，且AB=CD，∠A=∠D.
求证：AE=DF
证明：∵AB∥CD
∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
F
E
D
C
B
A
∴AE=DF（全等三角形对应边相等）
巩固训练：
1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个直接条件
--------------------------，（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF
2、如图，点D,E分别在AC,AB上，∠B=∠C，AB=AC.
你能得到什么结论？
A
B
C
D
E
F
∠B=∠E或∠A=∠D
C
A
B
D
E
3:如图，AB＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
请说明下列结论成立的理由：
（1）△ABE≌△ACD；（2）AD＝AE．
1
2
请同学们谈谈本节课的收获与体会
本节课你学到了什么？
发现了什么？
有什么收获？
还存在什么没有解决的问题？(共18张PPT)
自主
合作
探究
互动
如图，已知：AB=CD，BC=AD，求证：∠A=∠C。
A
C
B
O
D
1.5.2三角形全等的判定
回顾：
1.两个三角形全等的判定方法一.（SSS）
2.会用“尺规法”画一个角的平分线
要判定两个三角形全等还有其它方法吗?
画一画，比一比：
将你画出的三角形与你的同伴所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？
由此，你得到了什么结论？
4
6
A
B
C
4
6
A′
B′
C′
画△ABC，使∠B=50°，AB=4cm,
BC=6cm
.
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ＳＡＳ”）
表述如下：
Ａ
Ｂ
Ｃ
?注
意
这个角一定要是两条边的夹角
∴
△ABC≌△A′B′C′
(SAS)
以2.5cm，3cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为45°
，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
A
C
B
D
F
E
2.5cm
3cm
45°
45°
3cm
2.5cm
结论：两边及一角相等，两个三角形不一定全等
什么情况下两个三角形的角会相等？
OA=OC
，OB=OD
A
B
C
D
O
（已知）
（对顶角相等）
（已知）
（SAS）
你还能找到什么条件？
例3 如图ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ．已知ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ．求证：
．
如图，点D、E分别在AC、AB上。已知AB=AC，AD=AE，求证：BD＝CE。
A
E
D
B
C
练一练
生活中的数学
如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长就知道内槽AB的宽。请说明理由。
A
B
Aˊ
Bˊ
O
如图，直线
⊥AB，垂足为O且OA=OB，点C是直线
上任意一点，求证：CA=CB。
B
A
C
O
垂直平分线定义
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
∵
OC⊥AB
OA=OB
∴
OC是线段AB的垂直平分线
数学语言：
A
B
C
l
O
点C是线段AB的垂直平分线上的特殊的
点，还是任意的点？由此你能得到什么结论？
线段垂直平分线
上的点到线段两端的距离相等。
（中垂线的性质）
证明：当点C与点O重合时，
已知OA=OB，显然CA=CB；
当点C与点O不重合时，
OA=OB
∠COA=∠COB
OC=OC
在△COA与△COB中
∴△COA≌△COB（
SAS）
∴CA=CB
（全等三角形对应边相等）
∵直线
⊥AB
∴∠COA=∠BOC=90°
A
C
B
D
如图，AC是线段BD的垂直平分线，求证：
≌
。
练一练
知识源于悟
自我反思
2、
线段垂直平分线的概念
1、三角形全等的判定方法二：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
3、
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
哎,闯祸了！
星期天，小刚在家玩篮球，不小心将一块三角形玻璃摔坏了（如图所示）。情急之中，小刚量出了AB、BC的长，然后便去了玻璃店，他想重新裁得一块和原来一样的三角形玻璃。小刚能如愿吗？
想一想：
很快的，小刚到了玻璃店。不过，店员告诉他，虽然已经有了两边的长，但还是不能重新裁得一块和原来一样的三角形玻璃。于是，小刚向家里的弟弟打电话。请问：
小刚最少还需询问几个数据就
能如愿，数据可以是_______。
补充练习：
①.
如图(1)，
△ABC中，BC=10cm，AB的中垂线交于BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长是______.
A
B
C
D
E
②
如图(2),
△ABC中,DE垂直平分AC,AE=2cm,
△ABD的周长是9cm,则△ABC的周长是_______.
A
B
C
D
E
