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浙教版
九年级上
3.4.2圆心角
复习回顾
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
探究一
相等的弦所对的圆心角相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
OE=OF
⌒
⌒
证明：∵AB=CD
∴∠AOB=
∠COD
∴AB=CD
OE=OF
⌒
⌒
探究二
相等的弧所对的圆心角相等吗？
已知：AB=CD
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
OE=OF
⌒
⌒
证明：∵AB=CD
∴∠AOB=
∠COD
∴AB=CD
OE=OF
⌒
⌒
探究三
相等的弦心距所对的圆心角相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD
垂足为E、F，OE=OF
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
AB=CD
⌒
⌒
证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD
在Rt
△AOE和Rt
△COF中
∴
Rt
△AOE
≌
Rt
△COF
∴
∠AOE=
∠COF
∵OA=OB
OC=OD
OE⊥AB，OF⊥CD
∴
∠
AOB=2∠AOE
∠COD=2∠COF
∴∠AOB=
∠COD
⌒
⌒
∴AB=CD
AB=CD
抢答
已知：如图，AB，CD是⊙O的两
条弦，OE，OF为AB、CD的弦心距，
根据这节课所学的定理及推论填空：
（2）如果OE=OF，那么______________,
，
；
⌒
⌒
（3）如果AB=CD，那么
，
，
；
（1）如果∠AOB=∠COD，那么
，
，
;
OE=OF
AB=CD
AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
∠AOB=∠COD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
A
B
C
F
D
E
O
（4）如果AB=CD，那么
，
，
.
归纳
一般地，圆有下面的性质：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等.
B
E
D
A
F
C
O
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
⑴
∠AOB=∠COD
⑵
AB=CD
⑶
OE=OF
⑷
AB=CD
例题解析
例3、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.
D
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解：四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°
同理：∠COD=60°
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形
如图，已知点O是∠EPF
的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF
的两边分别相交于A、B和C、D.
求证：AB=CD
.
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做
证明:
作OM⊥AB，ON⊥CD
,
垂足分别为M
、
N
.
∴AB=CD
M
N
∵OP平分∠EPF，
OM⊥AB，ON⊥CD
∴OM=ON
例题解析
例4、已知：如图,
△ABC为等边三角形，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E.
求证：
解:
连结OD,OE
在等边三角形ABC中，∠A=60°
∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°
∴∠DOE=
180°-∠AOD-∠BOE=60°
∴∠DOE=
∠AOD=∠BOE
∴
如图所示，∠AOB=90°，C、D是三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F．求证：AE=BF．
证明：∵C，D是的三等分点，
练一练
∴∠AOC=∠COD=∠DOB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△AOE与△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE=BF．
课堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径，=
，∠BOD=60°，则∠AOC=（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不正确
2.如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论错误的是（ ）
A．
=
B.
=
C．AC=BD
D．AD=BD
C
D
课堂练习
3.如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是
．
4.如图，AB是⊙O的直径，
，∠COD=34°，则∠AEO的度数是 ．
51°
课堂练习
5.如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．
解：连接OC，
∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，
∵在△AOC和△BOC中，，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A=∠B，
∵OD=OE，∴AD=BE，
∵在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ACD=∠BCE．
在同圆或等圆中,如果
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
课堂小结
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浙教版数学九年级上册3.4.2圆心角导学案
课题
圆心角
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.
重点
难点
关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的性质
圆心角定理的应用
教学过程
知识链接
问题：
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
提出问题：圆心角定理的逆定理能成立吗？
合作探究
一、教材85页
探究
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
探究一、相等的弦所对的圆心角相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD
求证：
∠AOB=
∠COD
弧AB=弧CD
OE=OF
探究二、相等的弧所对的圆心角相等吗？
探究三、相等的弦心距所对的圆心角相等吗？
结论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
、两条
、两个
中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都
.
二、教材第86页
例3、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC，．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.
例4、已知：如图,
△ABC为等边三角形，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E.
求证：
自主尝试
1．下列说法中正确的是(
)
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等
2.
如图，
C，D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有(
)
①AD＝CD＝BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③弧AD＝弧CD＝弧OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3.如图所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，则点P(
)
A．到CD的距离保持不变
B．位置不变
C．等分弧DB
D．随C点的移动而移动
【方法宝典】
利用圆心角定理及推论解答即可。
当堂检测
1.如图所示，已知在⊙O中，BC是直径，，∠AOD=80°，则∠ABC等于(
).
A.40°
B.65°
C.100°
D.105°
2.如图所示，在⊙O中,
,则下列结论：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④
.其中正确的个数是(
)个.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.如果在两个圆中有两条相等的弦，那么(
).
A.这两条弦所对的圆心角相等
B.这两条弦所对的弧相等
C.这两条弦都被与它垂直的半径平分
D.这两条弦所对的弦心距相等
4.如图所示，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，则∠AOC与∠OAB之间的关系是(
).
A.∠AOC＞2∠OAB
B.∠AOC=2∠OAB
C.∠AOC＜2∠OAB
D.不能确定
5.如图所示，在⊙O中,
,那么(
).
A.AB＞2CD
B.AB＜2CD
C.AB=2CD
D.无法比较
6.如图所示，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，150°，则∠AOB的度数为
，∠A的度数为
.
7.如图所示，AB和DE是⊙O的直径，AC∥DE，若BE=3，则CE=
．
8.如图所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，AB＝AC＝10，△ABC的外接圆的半径为
.
9.如图所示，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=3cm．
(1)求证：．
(2)求BD的长．
10.如图所示，M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD.求证：∠AMN=∠CNM．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
圆心角定理推论
参考答案：
当堂检测：
1．B
2.D
3.C
4.B
5．B
6．105°，50°
7.3
8.10
9．(1)∵∠1=∠2，∴.∴,∴
(2)∵，∴AC=BD.∵AC=3cm，∴BD=3cm.
10.如答图所示，连结OM，ON.
∵点O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD.
∵AB=CD，∴OM=ON.
∴∠OMN=∠ONM.
∵∠AMN=90°-∠OMN，∠CNM=90°-∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM.
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精品试卷·第
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