浙教版七年级上册数学 第5讲 平方根同步学案

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第5讲
实
数
一、小题精检
1.
一个面积为64平方米的正方形展厅，它的边长是（
）
A.8米
B.±8米
C.4米
D.±4米
2.
某数的绝对值的算术平方根等于它本身，这个数必为（　　）
A．1或-1
B．1或0
C．-1或0
D．1，-1或0
3.
观察图，每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1，图中阴影部分
的面积是
________，边长是
________.
4.
如果，则的值为________.
5.
若与是同一个数的平方根，则是________.
6.
若与互为相反数，求的算术平方根.
二、考点精讲
考点1：
平方根的定义。一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根，也叫做a的二次方根，记为±，读做“正负根号a”.
考点2：平方根的特性。一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是
0；负数没有平方根。
考点3：算术平方根的定义。正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0.
一个数a（a≥0）的算术平方根记做“”，读做根号a.
重要提示：
算术平方根具有双重非负性：
（1）被开方数是非负数，即a≥0.
（2）算术平方根的本身是非负数，即≥0.
2.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：（1）个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而一个正数的
算术平方根只有一个，且也是正数；
（2）表示方法不同：正数a的平方根为±，正数a的算术平方根为.
特别注意±≠（a>0）.
联系：（1）平方根中包含了算术平方根；
（2）平方根和算术平方根都只有非负数才有；
（3）0的平方根和0的算术平方根都是0.
三、考点精练
重点一：正数有正负两个平方根
例1．若a2=9,b2=16,则a+b的大小为（
）
A.7
B．—7
C．±1或±7
D．均不对
（点拨：注意正负两种情况）
例2．若=3，则a=________；若（）2=5，则b=______.
（点拨：区分平方在内和在外的运算规则）
例3．长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4、2，求阴影部分的面积为_______.
（点拨：由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的长）
例4.
已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的值.
（点拨：根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式
求出b的值）
例5.
如果一个正数x的平方根是a-3与5-2a，求正数x.
（点拨：正数的平方根有两个，且互为相反数）
重点二：算术平方根的双重非负性
例1．已知实数x、y满足
+|y+3|=0，则x+y的值为（　　）
A.
—2
B.2
C.4
D.-4
（点拨：根据非负数的性质，可求出x、y的值）
例2．已知|a|=5，=7，且|a+b|=a+b,则a—b的值为（
）
A.
2或12
B.2或—12
C.—2或12
D.—2或—12
（点拨：绝对值和被开方数的非负性质）
例3．能够说明“
=x不成立”的x的值是_______（写出一个即可）．
（点拨：熟练掌握算术平方根的定义）
例4．已知实数x,y满足|x?5|+=0，求代数式（x+y）2010的值
（点拨：根据非负数的性质列出方程）
例5．如图，数轴上点A表示的数为+1，点A在数轴上向左平移3个单位到达点B，点
B表示的数为m.
（1）求m的值
（2）化简：|m+1|+（-m）2
（点拨：把语言叙述转化成数学式子）
四、课后精练
A组
（一）选择题（共4小题）
1.
若一个数的平方根是它本身，则这个数是（
）
A.1
B.0
C.0或—1
D.0或1
2.
高为2且底面为正方形的长方体的体积为32，则长方体的底面边长为（
）
A.1
B.2个
C.4
D.8
3.
下列说法正确的有（
）
①—0.6是0.36的一个平方根；
②0.64的平方根是0.8；
③=
—；
④±=
±5；
⑤是分数
A.1个
B.
2个
C.3个
D.4个
4.
若a2=4,b2=9,且ab＜0，则a—b的值为（　　）
A．—2
B．±5
C．5
D．—5
填空题（共4小题）
5.
已知一个正数的平方根是2x和x-6，这个数是_______
.
6.
物体自由下落的高度h（米）与所需时间t（秒）满足h=gt2（g=9.8米/秒2），若一
个物体从高度为122.5米的建筑物上落到地面上，需要________秒.
7.
“平方根节”是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两
位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世
纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外）________.
8.
m没有平方根，且|m+1|=2，则m=
______.
（三）解答题（共2小题）
9.
计算：____，____，____，=____，=____，
（1）根据计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己
的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：.
10.
小明想用一块面积为16cm2的正方形纸片，沿边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形
纸片，使它的长宽之比为3：2，他能裁出吗？
B组
选择题（共3小题）
1．式子=成立的条件是（
）
A.
X≥3
B.x≤1
C.1≤x≤3
D.1＜x≤3
2．已知边长为的正方形面积为10，则下列关于的说法中：
①是无理数；②是方程x2-10=0的解；③是10的算术平方根；
④满足不等式且满足.
正确的说法有（　　）个
A.1　　
B.2
　　
C.3　　
D.4
3.
分别取正整数5的绝对值、倒数、相反数、算术平方根，得到的数值仍为正整数的是
（　　）
A.绝对值
B.倒数
C.相反数
D.算术平方根
（二）填空题（共3小题）
4.
实数P在数轴上的位置如图所示，化简+=____________.
5.
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则以下三个命题：
（1）—＜0，（2）=,（3）
＜
中，真命题的序号为
________.
6．下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n行（n是整数，且n≥3）从左向右数第n—2个数是
_______.(用含n的代数式表示）
（三）解答题（共4小题）
7．计算|1—|+|—|+|—|+...+|—|.
8.
若S1=,S2=，S3=，...，Sn=,求S12
+S22+S32+...+S102.
9.
已知，求的平方根.
10.
自由下落的物体的高度h（m）与下落时间t（s）的关系为h=4.9t2．有一学生不慎让
一个玻璃杯从19.6m高的楼上自由下落，刚好另一学生站在与下落的玻璃杯同一直线
的地面上，在玻璃杯下落的同时楼上的学生惊叫一声，这时楼下的学生能躲开吗（声
音的速度为340m/s）？
【提高训练】
1.
已知9.972=99.4009，9.982=99.6004，9.992=99.8001，求之值的个位数字是
_______.
2.
任何实数,可用表示不超过的最大整数，如=4，=1.现对72进行如下操
作：,这样对72只需进行3
次操作后就变为1.类似的，①对81只需进行________次操作后变为1；②只需进行3
次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________.
3.
已知＜0，x＜y,且.
（1）求和的值.
（2）求的值.
4.
已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且满足
，求的值.
参考答案
一、小题精检
1.
A
2.
B【分析】分别利用算术平方根和绝对值的概念即可求解．
【解答】解：设该数是a，则根据题意，得
|a|
=a（a≥0），
∴|a|=a2
a只能是：1，0．
3.
10，
【分析】图中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积．
【解答】S阴影=4×4-4××1×3=16-6=10．边长为.
4.
3【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可
【解答】∵，
∴a-6=0，b-3=0，∴a=6，b=3
∴=
5.
-3
6.
2【分析】+=0，解得x=2，y=-2.
三、考点精练
重点一：
例1.
C
【解答】：∵a2=9，b2=16，
∴a=±3，b=±4，
当a=3，b=4时，a+b=7，
当a=-3，b=4时，a+b=-3+4=1，
当a=3，b=-4时，a+b=-1，
当a=-3，b=-4时，a+b=-7.
例2.
±3,
5
例3.
2—2
【解答】∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，
∴两个正方形的边长分别是2和，
∴阴影部分的面积=（2+）×2-2-4=2—2．
例4．9【解答】∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，∴a=5，
∵3a+b-1的算术平方根是4，
∴3a+b-1=16，
∴3×5+b-1=16，∴b=2，
∴a+2b=5+2×2=9．
例5．1【解答】由题可知a-3+5-2a=0，
解得a=2，
所以a-3=-1，
所以x=（-1）2=1
重点二：
例1．
A【解答】∵+|y+3|=0,∴x-1=0，y+3=0；∴x=1，y=-3，
∴原式=1+（-3）=-2
例2.
D【解答】∵|a|=5，=7，
∴a=5或-5，b=7或-7，
又∵|a+b|=a+b，
∴a+b≥0，
∴a=5或-5，b=7，∴a-b=5-7=-2，或a-b=-5-7=-12．
例3.
-1
例4．1【解答】∵|x?5|+=0，∴x-5=0,y+4=0，
解得x=5,y=—4，
∴（x+y）2010=（5-4）2010=1．
例5．（1）—2
（2）+3
【分析】①根据已知已知把A在数轴上向左平移3个单位得出B点得出
m=+1-3，求出即可；
②把m的值代入，根据绝对值、零指数幂分别求出每一部分的值，代入求出即可．
【解答】①根据题意得：m=（+1）—3=—2
②：∵m=—2，∴|m+1|+（-m）2
=|-1|+4=+3.
四、课后练习
A组
1.
A
2.
C
【分析】首先根据长方体体积公式求出长方体的正方形底面的面积，然后利用算术平方
根的定义即可求出正方形的边长．
【解答】设长方体的底面边长为x，
根据长方体的体积公式得x2=32÷2=16，
解得x=4．
3.
B
【分析】②0.64的平方根是±0.8，原说法错误.
③=，原说法错误.⑤是无理数，不是分数，原说法错误.
4.
B
【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得
出a-b的值．
【解答】∵a2=4，b2=9，
∴a=±2，b=±3，
∵ab＜0，
∴a=2，则b=-3，或a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
5.
16
【分析】由于一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
【解答】∵一个正数的平方根是2x和x-6，
∴2x+x-6=0，
解得x=2，
∴这个数的正平方根为2x=4，
∴这个数是16．
6.
5
7.
2025年5月5日【分析】首先确定月份和日子，最后确定年份即可，考查了平方根的
定义（答案不唯一）
8.
—3【解答】∵|m+1|=2，∴m+1=±2，
∴m=1或—3，
∵m没有平方根，
∴m=—3
9.
3,
0.7,
0，
6，
（1）不一定等于，=
（2）|3.14-π|=π-3.14
10.
不能裁出这样的长方形.
【分析】设长方形的边长分别为3x与2x，根据已知面积求出x的值比较即可做出判断．
【解答】设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，
根据题意得：6x2=12，
解得：x=，
∵正方形的面积为16cm2，
∴正方形的边长为4cm，
∴长方形的长为3＞4，则不能裁出这样的长方形.
B组
1.　D
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解．
【解答】由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0，
解得1＜x≤3．
2.　D
【分析】首先根据正方形的面积公式求得a的值，然后根据算术平方根以及方程的解的
定义即可作出判断.　
3.
A
4.
1
【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．
【解答】由数轴可得，1＜p＜2，∴p-1＞0，p-2＜0，
所以原式=p-1+2-p=1.
5.
（1）和（3）
【分析】先由数轴上a，b两点的位置，判断出a，b的符号及绝对值的大小，再分别代
入各式计算即可解决问题.
【解答】由实数a、b在数轴上的位置得b＜0＜a，|b|＞|a|，
那么a3-ab2=a（a2-b2），a＞0，a2-b2＜0，故a3-ab2＜0，（1）正确
＝|a+b|=-a-b，故（2）错误
＜中分母均为正数，可变形为a＜a-b，因-b＞0，故a＜a-b成立（3）正确.
6.
【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从
2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然
后写出算术平方根即可.
【解答】前（n-1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1），所以，第n（n是
整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数的被开方数是n（n-1）+n-2=n2-2，所以，第
n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数是．
7.
【分析】根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可
【解答】原式=
8.
【解答】∵S12=，S22=，S32=，...，S102=，
S12+S22+S32+…+Sn2=
9.
2x-y的平方根不存在.
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解
【解答】∵
∴x+y-4=0，3x-y=0，
∴x=1，y=3，
∴2x-y=-1＜0，
∴2x-y的平方根不存在.
10.
能躲开.
【分析】求出玻璃杯下落的时间，以及声音传到楼下的学生的时间，两者比较大小.
【解答】∵玻璃杯下落的时间为t=（s）
而声音传到楼下的学生只要19.6÷340≈0.058（s）＜2（s）．
【提高训练】
1.
8
【分析】利用已知得出的范围，进而得出答案.
【解答】∵9.972=99.4009，9.982=99.6004，9.992=99.8001，
∴9.98＜＜9.99，∴998＜＜999.即其个位数字为8．
2.
3；255
【分析】①根据规律依次求出即可；
②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小
不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这
一条件，即最大的正整数为255.
【解答】①
②最大的是255.
而.
3.
（1）
（2）.
【解答】（1）因为＜0，所以x与y异号.又x＜y，所以x为负数，y为正数.
又，所以x=-1,y=2.
（2）把x=-1,y=2代入，原式=
4.
1【分析】运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2=1中求出a、b的值.
【解答】∵2＜＜3，
∴x=2，y=；
∵axy+by2=1，
∴a?2?（）+b（）2=1，即（-2a-6b）+（6a+16b-1）=0．
∵a、b为有理数，
∴-2a-6b=0，6a+16b-1=0
解得：，，
∴
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精品试卷·第
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