浙教版七年级上册数学 第6讲 实数同步学案

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第6讲
实
数
一、小题精检
1.
下列叙述中，不正确的是（　　）
A.绝对值最小的实数是0
B.
算术平方根最小的实数是0
C.平方最小的实数是0
D.立方根最小的实数是0
2.
在下列实数中：0，，—3.1415，，，0.343343334…，无理数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
若，，则b=
________.
4.
在实数0，-π，?
，—4中，最小的数是　　
．
5．已知是的算术平方根，是的立方根.求
的立方根.
二、考点精讲
考点1：
立方根的特性.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；
0的立方根是0.任何数都有立方根.
考点2：实数的定义.有理数和无理数统称实数，而其中无理数是指无限不循环小数.
考点3：实数和数轴上的点事一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点表示；
反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.
考点4：实数运算中，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减.如遇括号，则先进行
括号里的运算；如遇含有绝对值的综合运算，应先分析判断去掉绝对值符号再
运算.
重要提示：
一个数的立方根有且只有一个，即一个数的立方根是唯一的.
立方根是其本身的数有±1和0.
所有开不尽方的数的平方根都是无理数，如，，但不是所有含根号的数都是
无理数，如，；似循环但实际不循环的无限小数是无理数，如0.1010010001…
比较实数大小的常用方法：
（1）数轴法；（2）中间值比较法；（3）作差比较法；（4）作商比较法；
（5）近似值法；（6）平方法等.
三、考点精练
重点一：立方根
例1．下列语句中正确的有（　　）
①平方根是它本身的数有1,0；②算术平方根是它本身的数有1,0；
③立方根是它本身的数有±1,0；
④如果一个数的平方根等于它的立方根，那么这个数是1或0.
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
（点拨：区分开算术平方根、平方根与立方根的特性）
例2.
若x＜0，则等于（
）
A.x
B．2x
C．0
D．-2x
（点拨：开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方数的符号相同）
例3.
若是一个正整数，满足条件的最小正整数n=______.
（点拨：立方与开立方互为逆运算）
例4.
已知,且与互为相反数，求的平方根.
（点拨：绝对值和算术平方根的非负性，立方根的被开方数为任意实数）
例5．若=k-4,求k的值.
（点拨：根据被开方数的乘方与立方根互为相反数，可得方程）
重点二：实数的认识与运算
例1．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；
③负数没有立方根；④—是17的平方根.期中正确的有（
）
A.
0个
B.1个
C.2个
D.3个
（点拨：清楚实数的定义和计算）
例2．我们用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，如：[3.69]=3，[-0.56]=-1，则
按这个规律[-?1]=
______.
（点拨：用整数来估算无理数的大小）
例3．比较大小：_____（填“＞“或“＜“）.
（点拨：作差比较法）
例4．计算：+++···+（其中n=100）.
（点拨：化简后找规律）
例5．计算：
（点拨：实数运算顺序.先乘方开方，再乘除，最后加减）
四、课后精练
A组
（一）选择题（共4小题）
1.
的立方根是（
）
A.-1
B.0
C.1
D.±1
2.
下列说法中，正确的是（
）
A.任何一个数都有平方根
B.任何正数都有两个平方根
C.算术平方根一定大于0
D.一个数不一定有立方根
3.
若，则下列式子正确的是（
）
A.3x=—8
B.
X3=—8
C.（-x）3=—8
D.x=（—8）3
4.
若a、b均为正整数，且a＞，b＞,
则a+b的最小值是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
填空题（共4小题）
5.
已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为_______
.
6.
设，则中最大实数与最小实数的差是______.
7.
已知||+（）2=0，则m—n=________.
8.
已知-1＜a＜0，用“＜”连接a，，-a，a2的式子为_____________________.
（三）解答题（共2小题）
9.
正方体A的体积是棱长为9厘米的正方体B的体积的，正方体A的棱长是
多少厘米？
　
10.
对于两个不相等的有理数a,b，定义一种新的运算如下：a
b=（a+b＞0），例
如，3
2==，求6
（5
4）的值.
B组
（一）选择题（共4小题）
1．下列无理数中，在-2与1之间的是（
）
B.
C.
D.
2．数轴上表示1，的对应点分别为A，B．点B关于点A的对称点为C，则点C所表示
的数是（
）
A、—1　　
B、1—
　　
C、2—
　　
D、—2
3.
如图，数轴上的A，B，C，D四点所表示的数分别为a,b,c,d，且O为原点.根据根据图
中各点位置，判断|a-c|之值与下列何者不同？（　）　
A.|a|+|b|+|c|
B.|a-b|+|c-b|
C.|a-d|-|d-c|
D.|a|+|d|-|c-d|
4.
如果是数的立方根，是的一个平方根，则等于（
）
A.2
B.-2
C.1
D.-1
（二）填空题（共3小题）
5.
设为正整数，且，则的值为__________.
6.
若是169的算术平方根，是-125的立方根，则=
________.
7．我们知道：，利用规律解决下面问题：
已经知道，，那么=________.
（三）解答题（共3小题）
8．计算：
（1）
（3）
（＜＜π）（精确到0.01）
9.
已知的整数部分为，小数部分为,求的值.
10.
我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我
们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求的值.
【提高训练】
1.
计算下列各式的值：
；；；.
观察所得结果，总结存在的规律，应用得到规律可得=_______.
2.
用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，，，，，.
如果从中选出若干个数，使他们的和大于3.那么至少要选
_______个数.
3.
计算：.
4.
已知，为
为正实数，试比较与的大小.
参考答案
一、小题精检
1.
D【分析】没有立方根最小的数，故错误.
2.
B【分析】，0.343343334…是无理数.
3.
1000【分析】由于13.8是1.38的10倍，根据立方根的性质即可知道故被开方数ab
是a的1000倍，这样就可以求出b.
4.
—4【分析】根据0大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
【解答】∵|-4|＞|-π|＞|-|，
∴最小的数为—4．
5.
2【分析】根据算术平方根和立方根的定义得到，.
【解答】根据题意得，
解得，∴，∴
∴的立方根为2.
三、考点精练
重点一：
例1.
B【解答】①1的平方根是正负1，故①说法错误；
②算术平方根等于它本身的数有1，0，故②说法正确；
③立方根等于它本身的数有-1，0，1，故③说法正确；
④0的平方根等于0的立方根，1的平方根有正负1，1的立方根只有1，故④说法错误.
例2.
D【解答】∵x＜0，∴=—x—x=—2x.
例3.
3【解答】∵
∴满足条件的最小正整数n=3.
例4．±3
【解答】∵，
∴x+1=0，y-2=0，
∴x=—1，y=2
又与互为相反数，∴1-2z+3z-5=0，解得z=4．
∴yz-x=2×4-（-1）=9，
∴yz-x的平方根是±3．
例5.
4【解答】由题意，得
k-4=4-k，
解得k=4
重点二：
例1．B　
【解答】①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误；
②不带根号的数不一定是有理数，如π，故②说法错误；
③负数有立方根，故③说法错误；
④∵17的平方根±，
∴?是17的一个平方根．故④说法正确．
例2.
—4【解答】∵2＜＜3，∴-4＜-—1＜-3，
∴
例3.
＞
【解答】∵
=
=＞0
例4．—5050
【解答】原式=—1+（—2）+（—3）+···+（—100）
=—（1+2+3+···+100）=—5050
例5．-10
【分析】按顺序化简即可得到结果.
【解答】原式=
四、课后精练
A组
1.
C
2.
B【解答】A.负数没有平方根；C.0的算术平方根是0;D.任何数都有立方根
3.
B【分析】两边立方，得
4.
B【分析】先根据平方根和立方根估算出a，b的范围，再确定a，b的最小正整数值．
【解答】∵9＜11＜16，∴3＜＜4，
而a＞,∴正整数a的最小值为4，
∵8＜9＜27，∴2＜＜3，
而b＞
∴正整数b的最小值为3，则a+b的最小值为4+3=7．
5.
【分析】根据平方根、立方根的求法，分别求出x、y的值各是多少.
【解答】∵：∵x+2的平方根是±2，∴x+2=22=4，解得x=2；
∵2x+y+7的立方根是3，∴2x+y+7=33=27，∴2×2+y+7=27，解得y=16；
∴x2+y=22+16=4+16=20,∴x2+y的立方根为.
6.
4【解答】
∴则a、b、c中最大实数是b，最小实数是c，
∴a、b、c中最大实数与最小实数的差是b-c=1-（-3）=4.
7．—17
8.
＜a＜a2＜?a
【分析】在a的取值范围，用取特殊值进行计算再比较即可解决问题．
【解答】令a=
—0.3，
则
=—，—a=0.3，a2=0.09，
∵0.3＞0.09＞-0.3＞—，∴＜a＜a2＜?a．
9.
3厘米
【解答】正方体B体积为9×9×9=729cm3
因为正方体A的体积是B的，A的体积为729×=27cm3
所以A的棱长为=3cm.
10.
1【解答】5
4===3，
6
(5
4)=6
3===1
B组
1.
B　
2.
ｃ
【分析】首先根据表示1、
的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，
然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．
　　【解答】∵表示1、的对应点分别为点A、点B，
　　　　　　　∴AB=—1，
　　　　　　　∵点B关于点A的对称点为点C，
　　　　　　　∴CA=AB，
　　　　　　　∴点C的坐标为：1—（—1）=2—．
3.
A
【分析】根据绝对值的性质计算出各绝对值表示的线段长，与|a-c|的长进行比较即可
【解答】A、∵|a|+|b|+|c|=AO+BO+CO≠AC，故本选项正确；
B、∵|a-b|+|c-b|=AB+BC=AC，故本选项错误；
C、∵|a-d|-|d-c|=AD-CD=AC，故本选项错误；
D、∵|a|+|d|-|c-d|=AO+DO-CD=AC，故本选项错误；
4.
B
【解答】=-2,=,原式=
-（）=
-2
5.
8
6.
8
7.
2.01
8.（1）；（2）；
（3）1.73【解答】由＜＜π可得，-π＜0，＜0.
所以原式=
9.
【分析】先估算出
的取值范围，进而可求6—的取值范围，从而可求a，b.
【解答】因为＜＜，所以3＜＜4，
所以2＜6—＜3，所以a=2，得出b=6——2=4—，
所以=2×2-（4-）=
10.
（1）结论成立.
（2）-1
【分析】取一对相反数作为例子代入题干即可.
【解答】（1）∵2+（-2）=0，
而且23=8，（-2）3=-8，有8-8=0，
∴结论成立；
∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）由（1）验证的结果知，1-2x+3x-5=0，
∴x=4，
∴.
【提高训练】
1.
【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案，考查了二次根式的
性质与化简.
【解答】=10；=100=；=1000=；
=10000=，
可得
2.
4【分析】因为1＞＞＞···＞，所以只要从大数开始依次求和即可.
用计算器将这组数依次化为小数，分别约为，1,0.7937，0.6934,0.6300，···0.3684，
而1+++1+0.7937+0.6934+0.6300=3.1171＞3.
3.
【解答】将被除数与除数相互交换，所求的结果与原来式子的结果互为倒数.
因为=30=
=10+5-12-15=-12，所以原式=
4.
【分析】先将两个代数式作差，将（）—（）化简变形后，根据所得结
果的符号，即可得出大小关系．
【解答】作差，得：
—（）=
=
=
因为，为正实数，所以0，
所以.
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